2014－2015學年度高一調查測試
數學試卷
本試卷滿分共160分；考試時間120分鐘。
參考公式
樣本資料x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝xi．
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．只要求寫出結果，不必寫出計算和推理過程．請把答案寫在答題卡相應位置上．
1．已知集合，則 ▲ ．
2．已知角的終邊過點，則 ▲ ．
3．方程的解
4. 某單位有青年職工、中年職工、老年職工共900人，其中青年職工450人，為迅速了解職工的家庭狀況，採用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為15人，則抽取的樣本容量為 ▲ ．
5．下圖是乙個演算法的流程圖，當是 ▲ 時運算結束.
6．已知函式是奇函式，則實數 ▲ ．
7．現有7根鐵絲，長度（單位：cm）分別為2.01，2.
2，2.4，2.5，2.
7，3.0，3.5，若從中一次隨機抽取兩根鐵絲，則它們長度恰好相差0.
3cm的概率是 ▲ ．
8．已知函式，則的最大值為 ▲ ．
9．已知等比數列中，，公比，則 ▲ ．
10. 已知實數滿足,則的最大值是 ▲ .
11．已知函式，若函式有3個零點，則實數的取值範圍是
12．如圖，在中，若，，
，則實數 ▲ ．
13．已知公差不為的等差數列，其前n項和為，若成等比數列，則的值為
14．已知函式的定義域為，若對任意都有不等式恆成立，則正實數m的取值範圍是
二.解答題:本大題共6小題,共計90分.解答時應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.請把答案寫在答題卡相應位置上.
15.(本小題滿分14分)
已知數列的前項和.
（1）求數列的通項公式；
（2）設等差數列滿足，，求數列的前項和.
16.在平面直角座標系上，第二象限角的終邊與單位圓交於點．
（1）求的值；
（2）若向量與夾角為，且，求直線的斜率．
17. (本小題滿分14分)
下面的莖葉圖記錄了甲、乙兩代表隊各10名同學在一次英語聽力比賽中的成績(單位:分).已知甲代表隊資料的中位數為76，
乙代表隊資料的平均數是75.
（1）求，的值；
（2）若分別從甲、乙兩隊隨機各抽取1名成績
不低於80分的學生，求抽到的學生中，甲隊
學生成績不低於乙隊學生成績的概率；
（3）判斷甲、乙兩隊誰的成績更穩定，並說明
理由（方差較小者穩定）.
18．(本小題滿分16分)
對於函式，如果存在實數使得，那麼稱為的生成函式．
（1）下面給出兩組函式，是否分別為的生成函式？並說明理由；
第一組：；
第二組：；
（2）設，生成函式．
若不等式在上有解，求實數的取值範圍.
19. (本小題滿分16分)
如圖，有一直徑為8公尺的半圓形空地，現計畫種植甲、乙兩種水果，已知單位面積種植甲水果的經濟價值是種植乙水果經濟價值的5倍，但種植甲水果需要有輔助光照．半圓周上的處恰有一可旋轉光源滿足甲水果生長的需要，
該光源照射範圍是,點在直徑上，
且．（1）若，求的長；
（2）設, 求該空地產生最大經濟價值時種植甲種水果的面積．
20．(本小題滿分16分)
已知數列的前項和滿足：，數列滿足：對任意有.
（1）求數列與數列的通項公式；
（2）記，數列的前項和為，證明：當時，．
2014－2015學年度高一調查測試
數學試卷參***與評分標準 2015.6
一、填空題：
1． 2． 3． 4. 5．5 6． 7． 8．2
9．11 10.13 11． 12． 13．2 14．
二.解答題:
15.（1）因為數列的前項和.
所以2分
當時4分
因為時也適合，所以6分
（2）設等差數列的首項為，公差為，因為，，
所以10分
解得12分
所以數列前項和.……………………14分
16.（1）因為角的終邊與單位圓交於點，所以，
解得=，又因為角是第二象限角，
所以=，所以2分
所以6分
（2）由（1）知，，設點座標為，則=，
因為，所以8分
又因為與夾角為，所以，
即10分
聯立解得或，
所以點座標為(,)或（，），…12分
所以或，
所以直線的斜率為14分
17.（1）因為甲代表隊的中位數為76，其中已知
高於76的有77，80，82，88，低於76的有71，71，
65，64，所以2分
因為乙代表隊的平均數為75，其中超過75的差值為
5，11，13，14，和為43，少於75的差值為3，5，
7，7，19，和為41，所以；…………4分
（2）甲隊中成績不低於80的有80，82，88；
乙隊中成績不低於80的有80，86，88，89，
甲、 乙兩隊各隨機抽取一名，種數為6分
其中甲隊學生成績不低於乙隊學生成績的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88。種數為3+1+1=58分
所以甲隊學生成績不低於乙隊學生成績的概率為10分
（3）因為甲的平均數為
11分所以甲的方差
， ……………12分
又乙的方差
， ……………13分
因為甲隊的方差小於乙隊的方差，所以甲隊成績較為穩定14分
18．（1）① 設，即，
取，所以是的生成函式4分
② 設，即，
則，該方程組無解。所以不是的生成函式．………8分
（2）因為，
所以，不等式在上有解，
等價於在上有解，………12分
令，則，由，
知取得最小值，所以16分
19．（1）鏈結，已知點在以為直徑的半圓周上，所以為直角三角形，
因為，，所以，，
在中由餘弦定理，且，
所以，解得或，…………6分
（2）因為，，
所以，所以，
在中由正弦定理得：
所以8分
在中，由正弦定理得：
所以10分
若產生最大經濟效益，則的面積最大，
，………………14分
因為，所以
所以當時，取最大值為，此時該地塊產生的經濟價值最大．…16分
20.（1）當時，，所以，
當時，，
所以數列是以，公比的等比數列，
通項公式為2分
由題意有，得.
當時，，於是得
故數列的通項公式為6分
（2） 證明： ==，所以=，
錯位相減得=，
所以，即10分
下證：當時，，令=，
==當時，，即當時，單調減，又，
所以當時，，即，即當時，.……16分
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