江蘇省淮安市漣水縣第一中學2014—2015學年度第二學期
高二數學試題2（文科）
一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案直接填寫在相應位置）
1．函式的最小正週期是
解：函式的最小正週期是=π
2．命題「，」的否定為
， 3．複數的虛部是
解：因為，，所以，複數的虛部是
4．中，「」是「」的條件（從「充分不必要」，「必要不充分」，「充要」，「既不充分也不必要」中選出符合題意的乙個填空）．
充分不必要
5．冪函式過點，則
2解：因為，冪函式過點，即，，
所以， =2.
67．如果複數滿足，那麼的最大值是
表示圓上的點z到點p（-1，0）的距離，而點p在圓內，所以的最大值是ap的長度+半徑，即
8．函式的單調遞增區間是
9．已知為偶函式，則12
10．已知不等式對恆成立，若為假，則實數的範圍是
11．e，f是等腰直角△abc斜邊bc上的三等分點，則
（11題圖12題圖13題圖）
11.解：過a作ad⊥bc於d。
∵ab=ac，ab⊥ac，ad⊥bc，∴ad=bd=cd；
∵be=ef=fc，∴ae=af，de=df=ef，∠ead=∠fad=∠eaf
∴ad=3de,∴tan∠ead=
∴tan∠eaf=。
12．函式，，在上的部分圖象如圖所示，
則13．已知函式y=f(x)(x∈(0，2))的圖象是如圖所示的圓c的一段圓弧．現給出如下命題：
①；②；③為減函式；④若，則a+b=2．
其中所有正確命題的序號為
解：因為，x=1時，是極值點，所以，①正確；
因為函式的圖象先上公升後下降，即函式由增變為減，所以，②不正確；
由圖象可知，所以，③為減函式正確；
，即，整理得，，所以，a+b=2。
綜上知，答案為①③④
14．已知，當時，則的取值範圍為
二、解答題（本大題共6小題，共90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15．已知集合，,．
（1）當時，求； （2）若，求實數的取值範圍．
解：由題意得，，。 4分
（1）時，，
8分（2）因為，所以，解之得，
所以實數的取值範圍是。 14分
16.已知複數, , ()，在復平面內對應的點分別為.
(1) 若是純虛數,求的值；
(2) 若在復平面內對應的點位於第四象限,求的取值範圍；
(3) 若都是虛數,且,求.
解：（1）因為複數()是純虛數,
所以,且,解得4分
（2）因為複數()在復平面內對應的點位於第四象限,
所以,解之得9分
（3）因為複數, , ()，
所以在復平面內對應的點分別為，
又因為複數都是虛數,且，
所以，且
解之得12分
所以。 ……14分
17．已知均為銳角，且，．
（1）求的值； （2）求的值．
解：（1）由而而
（2）由（1）可得，
而，為銳角，故
18．已知函式，．
（1）若，求證：函式是上的奇函式；
（2）若函式在區間上沒有零點，求實數的取值範圍．
解：（1 ）定義域為關於原點對稱．
因為，所以函式是定義在上的奇函式
（2）是實數集上的單調遞增函式（不說明單調性扣2分）
又函式的圖象不間斷，在區間恰有乙個零點，有
即解之得，故函式在區間沒有零點時，
實數的取值範圍是14分
19.函式，其中為常數．
（1）證明：對任意，函式影象恆過定點；
（2）當時，不等式在上有解，求實數的取值範圍；
（3）若對任意時，函式在定義域上恆單調遞增，求的最小值．
解：（1）令，得，且，
∴函式影象恆過定點4分
（2）當時，，
∴，即，
令，得6分
∴，∵在）上有解，
∴，即，∴實數b的取值範圍為．………… 10分
（3），即，令，
由題意可知，對任意，在恆成立，
即在恆成立12分
∵，令，得（舍）或．
列表如下：
∴，解得．
∴m的最小值為16分
20．已知函式
（1）討論函式的單調性；
（2）若時，關於的方程有唯一解，求的值；
（3）當時，證明: 對一切，都有成立．
解：（1）由已知得x＞0且．
當k是奇數時，，則f(x)在(0,+)上是增函式;
當k是偶數時，則．
所以當x時，，當x時，．
故當k是偶數時，f (x)在上是減函式，在上是增函式．…………4分
（2）若，則．
記,若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解； 令,得．因為，所以（捨去），． 當時，，在是單調遞減函式；
當時，，在上是單調遞增函式．
當x=x2時,，． 因為有唯一解，所以．
則即設函式，
因為在x>0時，h (x)是增函式，所以h (x) = 0至多有一解．
因為h (1) = 0，所以方程(*)的解為x 2 = 1，從而解得…………10分
另解:即有唯一解,所以:,令,則,設，顯然是增函式且，所以當時，當時，於是時有唯一的最小值，所以，綜上：．
（3）當時， 問題等價於證明
由導數可求的最小值是，當且僅當時取到，
設，則，
易得，當且僅當時取到，
從而對一切，都有成立．故命題成立．…………16分
不等式恆成立問題，往往通過建構函式，研究函式的最值，使問題得解。
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