1.已知:如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸、y軸分別相交於點a（-1，0）、b（0，3）兩點，其頂點為d.
（1） 求該拋物線的解析式；
（2） 若該拋物線與x軸的另乙個交點為e. 求四邊形abde的面積；
（3） △aob與△bde是否相似？如果相似，請予以證明；如果不相似，請說明理由.
（注：拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點座標為）
.4.在△abc中，∠a＝90°，ab＝4，ac＝3，m是ab上的動點（不與a，b重合），過m點作mn∥bc交ac於點n．以mn為直徑作⊙o，並在⊙o內作內接矩形ampn．令am＝x．
（1）用含x的代數式表示△ｍnp的面積s；
（2）當x為何值時，⊙o與直線bc相切？
（3）在動點m的運動過程中，記△ｍnp與梯形bcnm重合的面積為y，試求y關於x的函式表示式，並求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？
5、如圖1，已知雙曲線y= (k>0)與直線y=k′x交於a，b兩點，點a在第一象限.試解答下列問題：(1)若點a的座標為(4，2).
則點b的座標為 ；若點a的橫座標為m，則點b的座標可表示為 ；
10.如圖，拋物線交軸於a、b兩點，交軸於m點.拋物線向右平移2個單位後得到拋物線，交軸於c、d兩點.
（1）求拋物線對應的函式表示式；
（2）拋物線或在軸上方的部分是否存在點n，使以a，c，m，n為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，求出點n的座標；若不存在，請說明理由；
（3）若點p是拋物線上的乙個動點（p不與點a、b重合），那麼點p關於原點的對稱點q是否在拋物線上，請說明理由.
15．我們把乙個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為「蛋圓」，如果一條直線與「蛋圓」只有乙個交點，那麼這條直線叫做「蛋圓」的切線.
如圖12，點a、b、c、d分別是「蛋圓」與座標軸的交點，已知點d的座標為(0，-3)，ab為半圓的直徑，半圓圓心m的座標為(1,0)，半圓半徑為2.
(1) 請你求出「蛋圓」拋物線部分的解析式，並寫出自變數的取值範圍；
(2) 你能求出經過點c的「蛋圓」切線的解析式嗎？
17如圖16，在平面直角座標系中，直線與軸交於點，與軸交於點，拋物線經過三點．
（1）求過三點拋物線的解析式並求出頂點的座標；
（2）在拋物線上是否存在點，使為直角三角形，若存在，直接寫出點座標；若不存在，請說明理由；
（3）試**在直線上是否存在一點，使得的周長最小，若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由．
18.如圖所示，在平面直角座標系中，矩形的邊在軸的負半軸上，邊在軸的正半軸上，且，，矩形繞點按順時針方向旋轉後得到矩形．點的對應點為點，點的對應點為點，點的對應點為點，拋物線過點．
（1）判斷點是否在軸上，並說明理由；
（2）求拋物線的函式表示式；
（3）在軸的上方是否存在點，點，使以點為頂點的平行四邊形的面積是矩形面積的2倍，且點在拋物線上，若存在，請求出點，點的座標；若不存在，請說明理由．
19. 已知：如圖14，拋物線與軸交於點，點，與直線相交於點，點，直線與軸交於點．
（1）寫出直線的解析式．
（2）求的面積．
（3）若點**段上以每秒1個單位長度的速度從向運動（不與重合），同時，點在射線上以每秒2個單位長度的速度從向運動．設運動時間為秒，請寫出的面積與的函式關係式，並求出點運動多少時間時，的面積最大，最大面積是多少？
21.(2023年樂山市)在平面直角座標系中△abc的邊ab在x軸上，且oa>ob,以ab為直徑的圓過點c若c的座標為(0,2),ab=5, a,b兩點的橫座標xa,xb是關於x的方程的兩根:
(1) 求m，n的值
(2) 若∠acb的平分線所在的直線交x軸於點d，試求直線對應的一次函式的解析式
(3) 過點d任作一直線分別交射線ca，cb（點c除外）於點m，n，則的值是否為定值，若是，求出定值，若不是，請說明理由
27.）已知：如圖①，在rt△acb中，∠c＝90°，ac＝4cm，bc＝3cm，點p由b出發沿ba方向向點a勻速運動，速度為1cm/s；點q由a出發沿ac方向向點c勻速運動，速度為2cm/s；連線pq．若設運動的時間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問題：
（1）當t為何值時，pq∥bc？
（2）設△aqp的面積為y（），求y與t之間的函式關係式；
（3）是否存在某一時刻t，使線段pq恰好把rt△acb的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；
（4）如圖②，連線pc，並把△pqc沿qc翻摺，得到四邊形pqp′c，那麼是否存在某一時刻t，使四邊形pqp′c為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由．
壓軸題答案
1. 解：（ 1）由已知得： 解得
c=3,b=2
∴拋物線的線的解析式為
(2)由頂點座標公式得頂點座標為（1，4）
所以對稱軸為x=1,a,e關於x=1對稱，所以e(3,0)
設對稱軸與x軸的交點為f
所以四邊形abde的面積===
=9（3）相似
如圖，bd=
be=de=
所以,即：,所以是直角三角形
所以,且,
所以△aob與△bde相似
4. 解：（1）∵mn∥bc，∴∠amn=∠b，∠anm＝∠c．
∴ △amn ∽ △abc．
∴，即．
∴ an＝x． ……………2分
∴=．（0＜＜4） ……………3分
（2）如圖2，設直線bc與⊙o相切於點d，鏈結ao，od，則ao =od =mn．
在rt△abc中，bc ＝=5．
由（1）知 △amn ∽ △abc．
∴，即．
∴，5分
過m點作mq⊥bc 於q，則．
在rt△bmq與rt△bca中，∠b是公共角，
∴ △bmq∽△bca．
∴．∴，．
∴ x＝．
∴ 當x＝時，⊙o與直線bc相切7分
（3）隨點m的運動，當p點落在直線bc上時，鏈結ap，則o點為ap的中點．
∵ mn∥bc，∴ ∠amn=∠b，∠aom＝∠apc．
∴ △amo ∽ △abp．
∴． am＝mb＝2．
故以下分兩種情況討論：
當0＜≤2時，．
∴ 當＝2時8分
當2＜＜4時，設pm，pn分別交bc於e，f．
∵ 四邊形ampn是矩形，
∴ pn∥am，pn＝am＝x．
又∵ mn∥bc，
∴ 四邊形mbfn是平行四邊形．
∴ fn＝bm＝4－x．
∴． 又△pef ∽ △acb．
∴．9分
10分當2＜＜4時， ．
∴ 當時，滿足2＜＜411分
綜上所述，當時，值最大，最大值是212分
5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,-）
10.15. 解：(1)解法1：根據題意可得：a(-1,0)，b(3,0)；
則設拋物線的解析式為(a≠0)
又點d(0，-3)在拋物線上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1
∴y=x2-2x-3 3分
自變數範圍：-1≤x≤3 4分
解法2：設拋物線的解析式為(a≠0)
根據題意可知，a(-1,0)，b(3,0)，d(0，-3)三點都在拋物線上
解之得：
∴y=x2-2x-3 3分
自變數範圍：-1≤x≤3 4分
2)設經過點c「蛋圓」的切線ce交x軸於點e，鏈結cm，
在rt△moc中，∵om=1，cm=2，∴∠cmo=60°,oc=
在rt△mce中，∵oc=2，∠cmo=60°，∴me=4
∴點c、e的座標分別為(0，)，(-3,0) 6分
∴切線ce的解析式為 8分
(3)設過點d(0，-3)，「蛋圓」切線的解析式為：y=kx-3(k≠0) 9分
由題意可知方程組只有一組解
即有兩個相等實根，∴k=-2 11分
∴過點d「蛋圓」切線的解析式y=-2x-3 12分
17. 解：（1）直線與軸交於點，與軸交於點．
， 1分
點都在拋物線上，
拋物線的解析式為 3分
頂點 4分
（2）存在 5分
7分9分（3）存在 10分
理由：解法一：
延長到點，使，連線交直線於點，則點就是所求的點．
11分過點作於點．
點在拋物線上，
在中，，
，，在中，，
，， 12分
設直線的解析式為
解得13分解得在直線上存在點，使得的周長最小，此時． 14分
解法二：
過點作的垂線交軸於點，則點為點關於直線的對稱點．連線交於點，則點即為所求． 11分
過點作軸於點，則，．
， 同方法一可求得．
在中，，，可求得，
為線段的垂直平分線，可證得為等邊三角形，
垂直平分．
即點為點關於的對稱點． 12分
設直線的解析式為，由題意得
解得13分解得在直線上存在點，使得的周長最小，此時． 1
18. 解：（1）點在軸上 1分
理由如下：
連線，如圖所示，在中，，，
， 由題意可知：
點在軸上，點在軸上． 3分
（2）過點作軸於點
， 在中，，
點在第一象限，
點的座標為 5分
由（1）知，點在軸的正半軸上
點的座標為
點的座標為 6分
拋物線經過點，
由題意，將，代入中得
解得所求拋物線表示式為： 9分
（3）存在符合條件的點，點． 10分
理由如下：矩形的面積
以為頂點的平行四邊形面積為．
由題意可知為此平行四邊形一邊，
又邊上的高為2 11分
依題意設點的座標為
點在拋物線上
解得，，
， 以為頂點的四邊形是平行四邊形，
，，當點的座標為時，
點的座標分別為，；
當點的座標為時，
點的座標分別為，． 14分
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