【專題十】新型問題解題策略專題輔導
【考情分析】
從最近幾年來高考中探索性問題和創新題型比重逐年攀公升，對探索性問題和創新型問題的**研究應該是我們備考的重點。
**11年高考探索性問題重點出在函式、數列、不等式、立體幾何和解析幾何等方面，估計新課標省市試題中此類題目分值10分左右（上海、廣東、江蘇較為典型），並且主觀題、客觀題設定較為靈活。今年高考多會結合合情推理知識點出探索性問題（特別是解答題），應加強對這些內容的研究；創新題型多出現與經濟、生活密切相關（像概率、線性規劃等）的數學問題相關的問題有關，題目新穎，數學知識並不複雜。
【知識交匯】
1．探索型問題
常見的探索性問題，就其命題特點考慮，可分為歸納型、題設開放型、結論開放型、題設和結論均開放型以及解題方法的開放型幾類問題；
（1）結論開放型探索性問題的特點是給出一定的條件而未給出結論，要求在給定的前提條件下，探索結論的多樣性，然後通過推理證明確定結論；
（2）題設開放型探索性問題的特點是給出結論，不給出條件或條件殘缺，需在給定結論的前提下，探索結論成立的條件，但滿足結論成立的條件往往不唯一，答案與已知條件對整個問題而言只要是充分的、相容的、獨立的，就視為正確的；
（3）全開放型，題設、結論都不確定或不太明確的開放型探索性問題，與此同時解決問題的方法也具有開放型的探索性問題，需要我們進行比較全面深入的探索，才能研究出解決問題的辦法來。
解探索性問題應注意三個基本問題:認真審題,確定目標；深刻理解題意;開闊思路,發散思維，運用觀察、比較、模擬、聯想、猜想等帶有非邏輯思維成分的合理推理,以便為邏輯思維定向。方向確定後，又需借助邏輯思維,進行嚴格推理論證,這兩種推理的靈活運用,兩種思維成分的交織融合,便是處理這類問題的基本思想方法和解題策略。
解決探索性問題，對觀察、聯想、模擬、猜測、抽象、概括諸方面有較高要求，高考題中一般解這類問題有如下方法：
（1）直接法：直接從給出的結論入手，尋求成立的充分條件；直接從給出的條件入手，尋求結論；假設結論存在（或不存在），然後經過推理求得符合條件的結果（或匯出矛盾）等；
（2）觀察——猜測——證明
（3）特殊—一般—特殊
其解法是先根據若干個特殊值，得到一般的結論，然後再用特殊值解決問題；
（4）聯想模擬
（5）賦值推斷
（6）幾何意義法
幾何意義法就是利用探索性問題的題設所給的數或式的幾何意義去探索結論，由於數學語言的抽象性，有些探索性問題的題設表述不易理解，在解題時若能積極地考慮題設中數或式的幾何意義所體現的內在聯絡，巧妙地轉換思維角度，將有利於問題的解決；
2．創新題型
根據現行的教學大綱和國家數學課程標準的要求，結合中學數學教材的內容及我國的經濟發展的要求，在實際問題中側重如下幾種模型：
（1）社會經濟模型
現值、終值的計算及應用（計息、分期付款、貼現等），投資收益，折舊，庫存，經濟圖表的運用；
（2）擬合模型
資料的利用、分析與**（線形回歸、曲線擬合）等問題；
（3）優化模型科學規劃，勞動力利用，工期效益，合理施肥，最值問題，工程網路，物資呼叫等問題；
（4）概率統計模型彩票與模型，市場統計，評估**，風險決策，抽樣估計等問題；
（5）幾何應用模型工廠選址，展開、摺疊，檢視，容器設計，空間量的計算，軌跡的應用等；
（6）邊緣學科模型與理、化、生、地、醫等相關方面的問題。
【思想方法】
題型1：探索問題之直接法
例1．（2023年上海理10）平面內兩直線有三種位置關係：相交，平行與重合。已知兩個相交平面與兩直線，又知在內的射影為，在內的射影為。
試寫出與滿足的條件，使之一定能成為是異面直線的充分條件
解析：，並且與相交（，並且與相交）； 作圖易得「能成為是異面直線的充分條件」的是「，並且與相交」或「，並且與相交」。
例2．（2010遼寧理，12)有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成乙個三稜錐形的鐵架，則a的取值範圍是
(a)（0b)（1,）
(cd) （0,）
【答案】a
【命題立意】本題考查了學生的空間想象能力以及靈活運用知識解決數學問題的能力。
【解析】根據條件，四根長為2的直鐵條與兩根長為a的直鐵條要組成三稜鏡形的鐵架，有以下兩種情況：（1）地面是邊長為2的正三角形，三條側稜長為2，a，a，如圖，此時a可以取最大值，可知ad=，sd=，則有<2+，即，即有a<
(2)構成三稜錐的兩條對角線長為a，其他各邊長為2，如圖所示，此時a>0;
綜上分析可知a∈（0,）
點評：這也是一道結論探索型問題，結論不唯一，應從題設出發，通過分類以簡化思維，再利用射影的概念，得到正確的結論。
例3．已知函式(a,c∈r,a＞0,b是自然數）是奇函式，f(x)有最大值，且f(1)＞.（1）求函式f(x)的解析式；（2）是否存在直線l與y=f(x)的圖象交於p、q兩點，並且使得p、q兩點關於點（1，0）對稱，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由.
分析：本題考查待定係數法求函式解析式、最值問題、直線方程及綜合分析問題的能力.
解析：（1）∵f(x)是奇函式，
∴f(–x)=－f(x)，即，∴－bx+c=－bx–c，∴c=0，
∴f(x)=.由a＞0，b是自然數得當x≤0時，f(x)≤0，
當x＞0時，f(x)＞0，∴f(x)的最大值在x＞0時取得.
∴x＞0時，當且僅當
即時，f(x)有最大值∴=1,∴a=b2
又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2 ②
把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2，又b∈n,∴b=1,a=1,∴f(x)=
（2）設存在直線l與y=f(x)的圖象交於p、q兩點，且p、q關於點（1，0）對稱，
p(x0,y0)則q（2–x0,–y0)，∴,消去y0，得x02–2x0–1=0
解之，得x0=1±,∴p點座標為()或()，
進而相應q點座標為q（）或q()，
過p、q的直線l的方程：x－4y－1=0即為所求。
點評：充分利用題設條件是解題關鍵.本題是存在型探索題目，注意在假設存在的條件下推理創新，若由此匯出矛盾，則否定假設，否則，給出肯定的結論，並加以論證。
題型2：探索問題「觀察——猜測——證明」
例4．（2023年北京理，20）已知集合對於，，定義a與b的差為a與b之間的距離為
（ⅰ）證明：，且;
（ⅱ）證明：三個數中至少有乙個是偶數
(ⅲ) 設p，p中有m(m≥2)個元素，記p中所有兩元素間距離的平均值為.
證明：≤.
【分析】：這道題目的難點主要出現在讀題上，這裡簡要分析一下。
題目所給的條件其實包含兩個定義，第乙個是關於的，其實中的元素就是乙個n維的座標，其中每個座標值都是0或者1， 也可以這樣理解，就是乙個n位數字的陣列，每個數字都只能是0和1， 第二個定義叫距離，距離定義在兩者之間，如果直觀理解就是看兩個陣列有多少位不同，因為只有0和1才能產生乙個單位的距離，因此這個大題最核心的就是處理陣列上的每一位數，然後將處理的結果綜合起來，就能看到整體的性質了。
第一問，因為每個數字上都是0或者1，取差的絕對值仍然是0或者1，符合的要求。然後是減去c的數字，不管減去的是0還是1， 每乙個a和每乙個b都是同時減去的，因此不影響他們原先的差。
第二問，先比較a和b有幾個不同（因為距離就是不同的有幾個），然後比較a和c有幾個不同，這兩者重複的（就是某一位上a和b不同，a和c不同，那麼這一位上b和c就相同）去掉兩次（因為在前兩次比較中各計算了一次），剩下的就是b和c的不同數目，很容易得到這樣的關係式：，從而三者不可能同為奇數。
第三問，首先理解p中會出現個距離，所以平均距離就是距離總和再除以，而距離的總和仍然可以分解到每個數字上，第一位一共產生了多少個不同，第二位一共產生了多少個不同，如此下去，直到第n位。然後思考，第一位一共m個數，只有0和1會產生乙個單位距離，因此只要分開0和1的數目即可，等算出來一切就水到渠成了。
此外，這個問題需要注意一下數學語言的書寫規範。
解析：（1）設
因，故，即
又當時，有；
當時，有，故。
（2）設
記記，由第一問可知：
即中1的個數為k，中1的個數為l，
設t是使成立的i的個數，則有，
由此可知，不可能全為奇數，即三個數中至少有乙個是偶數。
（3）顯然p中會產生個距離，也就是說，其中表示p中每兩個元素距離的總和。分別考察第i個位置，不妨設p中第i個位置一共出現了個1， 那麼自然有個0，因此在這個位置上所產生的距離總和為，
那麼n個位置的總和即
例5.（2003高考上海卷）已知數列（n為正整數）是首項是a1，公比為q的等比數列。
（1）求和：
（2）由（1）的結果歸納概括出關於正整數n的乙個結論，並加以證明.
（3）設q≠1，sn是等比數列的前n項和，求：，
解析：（1）
（2）歸納概括的結論為：
若數列是首項為a1，公比為q的等比數列，
則：（3）因為
例6.由下列各式：
你能得出怎樣的結論，並進行證明。
分析：對所給各式進行比較觀察，注意各不等式左邊的最後一項的分母特點：1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，…，一般的有2n-1，對應各式右端為一般也有。
解析：歸納得一般結論
證明：當n=1時，結論顯然成立.
當n≥2時，
故結論得證。
題型3：**問題之「特殊—一般—特殊」
例7．設二次函式f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈r,a≠0)滿足條件：
①當x∈r時，f(x－4)=f(2－x)，且f(x)≥x；
②當x∈(0,2)時，f(x)≤；
③f(x)在r上的最小值為0。
求最大值m(m>1)，使得存在t∈r，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x
分析：本題先根據題設求出函式f（x）解析式，然後假設t存在，取x=1得t的範圍，再令x=m求出m的取值範圍，進而根據t的範圍求出m的最大值。
解法一：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函式的圖象關於x= -1對稱
∴即b=2a
2019屆高考數學專題突破 新型問題解題策略
一 知識 1 探索型問題 常見的探索性問題，就其命題特點考慮，可分為歸納型 題設開放型 結論開放型 題設和結論均開放型以及解題方法的開放型幾類問題 1 結論開放型探索性問題的特點是給出一定的條件而未給出結論，要求在給定的前提條件下，探索結論的多樣性，然後通過推理證明確定結論 2 題設開放型探索性問題...
高考物理專題訓練17共點力平衡問題解題方法與技巧
1 平衡問題與正交分解法 題型1 物體在粗糙水平面上的勻速運動 例1 如圖所示，物體與水平面間的動摩擦因數為 0.3,物體質量為m 5.0kg 現對物體施加乙個跟水平方向成 37 斜向上的拉力f，使物體沿水平面做勻速運動 求拉力f的大小 解析 物體受四個力 mg fn f f 建立座標系如圖所示 將...
生物實驗題解題方法與策略
考試說明 明確指出，堅持以能力立意的命題趨勢不變，強調理解和綜合，主要考查學生對生物概念 基本原理 生理過程和生物實驗的理解，掌握和綜合應用情況。實驗在高考中是重中之重，在理綜生物卷中，實驗經常能達到10 20分的分值。高中階段生物學實驗主要分為評價型實驗 補充完善型實驗題 設計型實驗題 綜合性實驗...