1．平衡問題與正交分解法
題型1．物體在粗糙水平面上的勻速運動
例1．如圖所示，物體與水平面間的動摩擦因數為μ＝0.3, 物體質量為m=5.0kg．現對物體施加乙個跟水平方向成θ=37°斜向上的拉力f，使物體沿水平面做勻速運動．求拉力f的大小．
解析：物體受四個力：mg 、 fn、f、f ．建立座標系如圖所示．將拉力f沿座標軸分解．
fx = f cosθ fy = fsinθ
根據共點力平衡條件，得
x軸：∑ fx = 0 fcosθ — f = 0 ………⑴
y軸：∑ fy = 0 fsinθ + fn — mg = 0………⑵
公式 f = μ fn
將⑵⑶代入⑴ f cosθ= μ fn = μ (mg — fsinθ )
解得 f = =歸納解題程式：定物體，分析力→建座標，分解力→找依據，列方程→解方程，得結果．
變式1：如果已知θ 、m、f，求摩擦因數μ。
變式2：如果將斜向上的拉力改為斜向下的推力f，θ、m、μ均不變，則推力需要多大，才能使物體沿水平面做勻速運動。
結果 f = 23.71n
討論：當θ增大到某乙個角度時，不論多大的推力f,都不能推動物體。求這個臨界角。這裡的無論多大，可以看成是無窮大。則由上式變形為
cosθ—μsinθ = 時
當 f→∞時， → ０ 則令cosθ—μsinθ = 0
所以有 co t θ= μ 或 tantan—1
變式3．如果先用乙個水平拉力f0恰好使物體沿水平面做勻速運動．則這個f0有多大？現在用同樣大小的力f0推物體，使物體仍然保持勻速運動，則這個推力跟水平方向的夾角多大？
解法一：物體受五個力：mg 、 fn、f 、兩個 f0。由共點力平平衡條件得
當只有乙個f0沿水平方向作用時，物體勻速運動 f0 = f = μ mg
水平方向∑fx = 0 f0+ f0cosθ — f = 0
豎直方向∑fy=0 fn— f0sinθ —mg = 0
解得 μ = cotθ θ = cot —1μ .
解法二：物體保持原來的速度勻速運動，則施加推力f0後，增加的動力部分跟增加的阻力部分相等，則有 f0 cosθ = △f = μ fsinθ
所以得 co t θ = μ
題型2．物體在粗糙斜面的勻速運動
例2．（見教材p65例2）物體a在水平力f1=400n的作用下，沿傾角θ =60°的斜面勻速下滑，如圖⑴所示，物體a受的重力g =400n.．求斜面對物體a的支援力和a與斜面間的動摩擦因數μ．
解析：物體勻速下滑，摩擦力f沿斜面向上，物體受力： mg ，fn ，f．f．如圖所示．建立座標系，分解mg和f．由共點力平衡條件得
x軸 mgsin60° —f—fcos60° = 0………⑴
y軸 fn —mgcos60°—fsin60° = 0 ………⑵
公式 f = μ fn ……… ⑶
由⑴ f = mg sin60°— fcos60° = 400×/2 —400×0.5 = 146n
由⑵ fn =mgcos60° + fsin60° = 546n
由⑶ μ = f / fn = 146 /546 = 0.27．
變式1．如果m、θ= 60°、μ= 0..27保持不變，要使物體沿斜面向上勻速運動，需要多大的水平推力？
解析：物體沿斜面向上做勻速運動，只將動摩擦力f改為沿斜面向下。
物體勻速下滑，摩擦力f沿斜面向上，物體受力： mg ，fn ，f．f．如圖所示．建立座標系，分解mg和f．由共點力平衡條件得
x軸 fcos60°—f—mgsin60°= 0………⑴
y軸 fn —mgcos60°—fsin60° = 0 ………⑵
公式 f = μ fn**:學|科|網z|x|x|k]
由以上三式得
f = 1481.5n
變式2．如果物體a的質量m，a與斜面間的動摩擦因數μ，斜面傾角θ=60°是已知，假設物體的滑動摩擦力等於它的最大靜摩擦力，則水平推力f多大時，物體能保持不動．
解析：⑴用滑動摩擦力等於最大靜摩擦力，當物體恰好不下滑時，最大靜摩擦力fmax= μ fn ,方向沿斜面向上，
物體受力： mg ，fn ，fmax．f．如圖⑴所示．建立座標系，分解mg和f．
由共點力平衡條件得
x軸 mgsinθ —fmax—fcosθ = ………0⑴
y軸 fn —mgcosθ—fsinθ = 0……… ⑵
公式 f = μ fn ……… ⑶
由⑴⑵⑶解得 f =
⑵當物體恰好不上滑時，fmax沿斜面向上，物體受力如圖⑵所示，在兩坐軸上的方程如下
x軸 fcosθ—fmax—mgsinθ= 0………⑷
y軸 fn —mgcosθ—fsinθ = 0 ………⑸
公式 f = μ fn
由以上三式解得 f =
要使物體能在斜面上保持靜止，則水平推力f的取值範圍是
≤ f≤
變式練習：如果推力f沿斜面向上，要使物體在斜面上保持靜止，則這個推力的取值範圍如何？
題型3．物體沿豎直牆壁運動
例3．物體與豎直牆壁之間的動摩擦因數為μ，用乙個斜向上的推力f可以使物體沿豎直牆壁做勻速運動，物體質量為m．求f的大小．
解析：題中沒有指明運動方向，所以有兩種可能情況。
⑴物體沿牆壁向上做勻速運動，受力情況及力的分解如圖⑴所示。由共點力平衡條件得
x軸 f1sinθ = fn………1 ⑴
y軸 f1cosθ = mg + f1……… ⑵
公式 f1 = μ fn1
由⑴⑵⑶得 f1 =
變式1．如圖所示，物體重10n，物體與豎直牆的動摩擦因數為0.5，用乙個與水平成45°角的力f作用在物體上，要使物體a靜止於牆上，則f的取值是
[**:z&xx&
變式2．重為30n的物體與豎直牆壁的動摩擦因數為0.4，若用斜向上與水平面成θ=53°的推力f=50n托住物體。物體處於靜止，如圖所示。這時物體受到的摩擦力是多少？
題型4．質量為5kg的木塊放在木板上，當木板與水平方向的夾角為37°時,木塊恰能沿木板勻速下滑．當木板水平放置時，要使木塊能沿木板勻速滑動，給木塊施加的水平拉力應多大？（sin37°=0.6, cos37°=0.
8,g=10n/kg）.
解析：木塊沿木板勻速下滑時，有 mgsinθ = f = μ mgcosθ
得 μ = tan θ = 0.75
當木板在水平狀態時，要木塊沿木板勻速運動，所施加的水平拉力
f = f = μ mg = 0.75×5×10 n = 37.5n
變式題．質量為3kg的物體，放在傾角為30°的斜面上恰能勻速下滑，若要使該物體物體能否保持勻速運動
解析：物體自由地勻速下滑時，有 mgsinθ — μ mgcosθ = 0………⑴
或變為 sinθ — μ cosθ = 0………⑵
當對物體施加乙個豎直向下的力f時，將f和mg等效為乙個豎直向下的作用力
g′ = f + mg ………⑶
則物體沿斜面方向受的合力為
∑f = g′sinθ—μg′cosθ = ( f + mg )sinθ—μ (f+ mg)cosθ………⑷
將⑴式代入⑶得∑ f = f (sinθ — μ cosθ ) = 0
即物體仍然做勻速運動。
變式題：如圖所示，乙個空木箱恰好能沿斜面勻速下滑．現將質量為m的球放到箱子中，這時木箱能否保持勻速運動，這時球與木箱之間的相互作用力有多大？
解析：設木箱的質量為m，木箱勻速下滑時，有：ｍgsinθ — μｍgcosθ = 0
在木箱中放一質量為m的小球後，整體受合力為
∑f =( m +m) g sinθ— μ( m+m) g cosθ = mg ( sinθ —μ cosθ ) = 0
木箱仍然能保持勻速運動。小球與木箱前壁之間存在彈力，對小球有 fn = mgsinθ
題型6．如圖所示，質量為m＝5kg的物體，置於傾角為 ＝30°的粗糙斜面塊上，用小等於3n的力推物塊，物塊仍保持靜止，如圖（原圖所示，則物塊所受的摩擦力大小等於( )
a．5n b．4n c．3n d． n
解答：在斜面平面內物體的受力分析如圖1-33所示，根據平衡條件得
，其中f＝3n，m＝0.8kg， θ=30°，代入得 f=5n。
本題的正確選項為（a）。
題型7．如圖所示，oa、ob、oc三條輕繩共同連線於o點，a、b固定在天花板上，c端系一重物，繩的方向如圖。oa、ob、oc這三條繩能夠承受的最大拉力分別為150n、100n和200n，為保證繩子都不斷，oc繩所懸重物不得超過多重？
解析：結點o受三個力： fao 、fbo、 fco 而平衡，根據任兩個力的合力與第三個力等大反向完成向量圖
設bo 繩恰好拉斷，即 fbo =100n，則
fao = fbo cot 30° = 100n＞150n，fco= fbo / sin30°= 2 fbo = 200n, co繩也恰好拉斷。所以，在bo和co還達到承受限度之前，ao繩已被拉斷。
應設ao繩恰好被拉斷，由此得到懸持的重物的最大重力為
g = fao / cos30° = 150 / /2 = 100n
/ 0.8=250n
＜300n，co繩不會被拉斷。所以，co繩懸掛的重物的最大質量為m， mg = fco．m = fco / g = 25 kg
變式2．如圖，不計重力的細繩ab與豎直牆夾角為60，輕杆bc與豎直牆夾角為30，杆可繞c自由轉動，若細繩承受的最大拉力為200n，輕杆能承受的最大壓力為300n，則在b點最多能掛多重的物體？
題型8（整體法也隔離法的應用）
例題．如圖所示，光滑的金屬球b放在縱截面為等腰三角形的物體a與豎直牆壁之間，恰好勻速下滑，已知物體a的重力是b的重力的6倍，不計球跟斜面和牆壁之間摩擦，問：物體a與水平面之間的動摩擦因數μ是多少？（）
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