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甘肅省徽縣第四中學 （742300） 成衛平
分析和解決槓桿問題，正確理解槓桿的基本概念，善於用槓桿的觀點分析具體問題中涉及的物體是解題的基礎，而靈活運用槓桿的平衡條件將槓桿問題中的相關物理量聯絡起來列出等量關係式則是解題的關鍵。
由槓桿的平衡條件f1l1＝f2l2可知：槓桿在平衡時涉及的這四個物理量只要知道其中三個物理量（或者這三個量之間的依賴關係），就可以將第四個物理量計算出來；乙個槓桿（或者可以看成槓桿的裝置）只要滿足槓桿的平衡條件f1l1＝f2l2，這個槓桿（裝置）就會處於平衡狀態。
例1、如圖，ob是一根長為1m不計自重的直木桿，其左端固定在牆上並能繞端點o轉動，在直木桿的右端懸掛乙個重為12n的物體，一根線繩一端鏈結在直木桿上的a點上，一端固定在牆上，此時直木桿在水平方向處於靜止狀態。已知線繩與直木桿之間的夾角是30°，oa＝0.6m，計算此時線繩對直木桿的拉力f的大小是多少n?
分析：直木桿能繞著它與牆的交點o轉動可以將其看成槓桿，點o為支點。將線繩對直木桿的拉力f看作動力f1，方向沿細線向上，物體對直木桿的拉力看作阻力f2，在數值上f2＝g；過支點o作動力f的作用線（即線繩所在的線段）的垂線與線繩相交於點c，則垂線段oc的長度就等於動力臂l1，在rt△aco中，∠oac＝30°，根據直角三角形中30°角所對的邊長是斜邊長的一半的性質有l1＝oc＝0.
3m，又由於直木桿在水平方向靜止，物體對直木桿的拉力即阻力f2的方向為豎直向下，所以支點o到阻力f2的作用線的距離即阻力臂l2＝ob＝1m。直木桿在水平方向靜止時處於平衡狀態，將這些已知量代入槓桿的平衡條件中去就可以計算出拉力f的大小。
解：將直木桿看成槓桿，點o為支點，直木桿在水平方向靜止時處於平衡狀態。l1＝oc＝oa＝0.
3m，f2＝g＝12n，l2＝1m，根據槓桿的平衡條件f1l1＝f2l2有：f·0.3m＝12n·1m，解得f＝40n.
例2、如圖，乙個輕直杆（不計自重）安在三角形支架上，在輕杆兩端分別懸掛著用密度為ρ的同種金屬製成的大小不同的兩個實心金屬球1和2，此時輕杆在水平方向處於靜止狀態。如果在不改變支架在輕杆上的安裝位置的情況下把這兩個金屬球同時浸沒在水中靜止後，判斷輕杆是否還會在水平方向處於平衡狀態？
分析：輕杆可以繞著它與支架的交點o轉動可以將其看成槓桿，點o為支點；設大、小兩個金屬球的重力分別為g1和g2，質量分別為m1和m2，體積分別為v1和v2，將大、小兩個金屬球對輕杆的拉力分別看作動力f1和阻力f2，在數值上f1＝g1＝m1g＝ρ**1，和 f2＝g2＝m2g＝ρ**2；輕杆在水平方向平衡時，由於兩個金屬球對輕杆的拉力方向是豎直向下，與輕杆的方向互相垂直，由力臂的定義可知：支點o到動力f1的作用線的距離即動力臂l1＝oa，支點o到阻力f2的作用線的距離即阻力臂l2＝ob；於是，在兩個金屬球放入水中之前輕杆在水平方向平衡時，根據槓桿的平衡條件f1l1＝f2l2有：
g1·oa＝g2·ob，即ρ**1·oa＝ρ**2·ob於是可知v1·oa＝v2·ob.
當兩個金屬球同時浸沒在水中靜止後，輕直杆是否還會在水平方向處於平衡狀態取決於此時槓桿的平衡條件f1l1＝f2l2對這個輕直杆是否還會成立。因為兩個金屬球浸沒在水中後支架在輕直杆上的安裝位置沒有改變，所以支點o的位置也沒有改變，故支點o距輕直杆左右兩端的距離也沒有變，如果輕直杆此時還會在水平方向處於平衡狀態，那麼此時的動力臂l1和阻力臂l2仍然應該分別為oa和ob；兩個金屬球同時浸沒在水中由於受到水對它們施加的豎直向上的浮力作用，所以此時兩個金屬球對槓桿的拉力（即動力f′1和阻力f′2）分別等於它們的重力（g1和g2）減去它們受到的浮力（分別用f浮1和f浮2表示）；兩金屬球浸沒在水中時它們排開水的體積（分別用v排1和v排2表示）分別等於它們各自的體積v1和v2。將這些等量關係和槓桿的平衡條件聯絡起來就可以進行判斷。
解：將輕直杆看成槓桿，點o為支點；在兩個金屬球放入水中之前輕杆在水平方向平衡時，f1＝g1＝m1g＝ρ**1，f2＝g2＝m2g＝ρ**2，l1＝oa，l2＝ob。根據槓桿的平衡條件f1l1＝f2l2有：
g1·oa＝g2·ob，即ρ**1·oa＝ρ**2·ob於是有v1·oa＝v2·ob（1）。
兩金屬球浸沒在水中靜止後由浮力公式f浮＝ρ水**排得大金屬球受到的浮力f浮1＝ρ水**排＝ρ水**1，此時的動力f′1＝g1－f浮1＝ρ**1－ρ水**1＝（ρ－ρ水）**1，小金屬球受到的浮力f浮2＝ρ水**排2，此時的阻力f′2＝g2－f浮2＝ρ**2－ρ水**2＝（ρ－ρ水）**2，這時f′1l1＝（ρ－ρ水）**1·oa，f′2l2＝（ρ－ρ水）g v2·ob；由（1）式有v1·oa＝v2·ob，所以（ρ－ρ水）**1l1＝（ρ－ρ水）**2，於是兩個金屬球浸沒在水中靜止後仍滿足f1l1＝f2l2，所以輕杆在兩個金屬球浸沒在水中靜止後還會在水平方向處於平衡狀態。
根據槓桿的平衡條件f1l1＝f2l2還可以知道：槓桿處於平衡狀態時，當阻力和阻力臂的乘積f2l2一定時，動力f1和動力臂l1之間成反比關係，當動力臂l1最大時，動力f1就最小。
例3、如圖，曲杆abc在o點用支架支起，a端懸掛乙個重為g的物體，如果要在曲杆的c端施加乙個最小的力f使曲杆處於靜止狀態，並要求曲杆的ab段保持在水平方向，請在圖中畫出力f和力f的力臂的示意圖。
分析：曲杆abc能繞著它與支架的交點o轉動可以將其看成槓桿，點o為支點。在曲杆c端施加的拉力f看成動力f1，物體對曲杆的拉力看作阻力f2，在數值上f2＝g；根據題意，曲杆處於靜止狀態時ab段保持在水平方向，所以ab段與重物對曲杆的拉力方向互相垂直，支點到阻力作用線的距離即阻力臂l2＝oa ，此時阻力f2和阻力臂l2的乘積是定值。
由於曲杆處於靜止狀態即處於平衡狀態，由槓桿的平衡條件f1l1＝f2l2可知：當f2l2一定時，動力f1與動力臂l1成反比關係，要使動力f1最小，就要設法使動力臂l1最大。在下圖中，點o是支點，點c是動力f在曲杆上的作用點，cd是動力f的作用線，od是支點o到動力作用線cd的距離即動力臂l1；從圖形上可以看出，動力臂和動力的作用線互相垂直，線段oc、cd、od組成乙個直角三角形，其中oc是斜邊，od是一條直角邊。
由於直角三角形中斜邊最長，所以直角邊od總是小於斜邊oc，如果讓斜邊oc即支點o和動力作用點c這兩點之間的連線充當動力臂l1時，動力臂l1就最大，此時在c點施加的使曲杆處於靜止狀態的拉力f就最小。於是，動力臂就是支點o和動力f的作用點c這兩點之間的連線oc。由力臂的定義可知，在c點施加的拉力f的方向首先應該和動力臂oc垂直，又因為拉力f要使曲杆處於靜止狀態，所以拉力f的方向還要垂直於動力臂oc向下（如上圖）。
例4、如圖是一根質量均勻，重為g的圓柱形木頭的橫截面，要在這根圓柱形木頭的側面施加乙個最小的推力f將其推上台階，判斷最小推力f的作用點及方向。
分析：圓柱形木頭被推上台階的過程就是它繞著它與台階的交點b轉動的過程，可以將這根圓柱形木頭看成是槓桿，點b是支點。圓柱形木頭在被推離地面時地面對它的支援力為0，它的側面受到的推力f是動力f1，木頭受到的豎直向下的重力g（重心在圓心o點處）是阻力f2，過支點b作阻力作用線的垂線與阻力的作用線相交於點c，則垂線段bc的長就是阻力臂l2。
圓柱形木棒在被推離地面推上台階的瞬間可以認為它仍然靜止而處於平衡狀態，並且阻力f2和阻力臂l2的大小均不變，由槓桿的平衡條件f1l1＝f2l2可知：在f2l2一定的情況下，要使動力f1最小，就要設法讓動力臂l1最大。根據例3的分析過程可知，這時應該讓支點b和動力f在圓柱形木棒側面上的作用點a之間的連線充當動力臂，因為b、a兩點都在圓周上，所以線段ba就是⊙o的弦，而在同乙個圓中直徑是最長的弦，因此，最小推力f的作用點應該在過支點b和圓心o的直徑ba與圓周的另乙個交點a上，因此要將圓木推起，最小推力f的作用點要在a點，方向要垂直於直徑ba向上。
另外，槓桿的平衡條件也適用於繞著自身上的乙個點作勻速轉動的物體，此時也可以在給定的條件下利用槓桿的平衡條件f1l1＝f2l2分析相關問題。
例5、如圖，一根質量均勻的直木棒重為g，該木棒的a端固定並可以繞a點轉動，在該木棒的b端施加乙個方向始終水平向右的拉力f將其緩慢勻速拉起，判斷木棒在被緩慢勻速拉起的過程中拉力f的變化情況。
分析：直木棒被水平向右的拉力f緩慢勻速拉起的過程就是該木棒繞著固定點a轉動的過程，可以將這根直木棒看成槓桿，a點是支點，b點受到的水平向右的拉力f是動力，木棒自身受到的豎直向下的重力g是阻力，因為直木棒的質量均勻，所以該木棒的重心o在木棒的中點處；過支點a作拉力f的作用線的垂線與拉力f的作用線相交於c點，則動力臂l1＝ac，過支點a作重力g的作用線的垂線與重力g的作用線相交於d點，則阻力臂l2＝ad；木棒在被緩慢勻速拉起的過程中處於平衡狀態，由槓桿的平衡條件f1l1＝f2l2得：f·ac＝g·ad，變形後得：
（1）。直木棒在拉力f作用下被緩慢勻速拉起的過程中，拉力作用點的位置隨木棒的拉起而向上向右公升高，又由於拉力f的方向始終是水平向右，所以動力臂l1＝ac隨之減小；另一方面，直木棒在拉力f作用下被緩慢勻速拉起的過程中，木棒的重心o的位置也隨著木棒的拉起而向上向右公升高，但由於木棒的重力g的方向始終是豎直向下，所以這個過程中阻力臂l2＝ad隨之增大；結合分析並根據（1）式可知：木棒在被緩慢勻速拉起的過程中拉力f將變大。
例6、如圖，某人用不計自重的動滑輪分別用豎直向上的拉力f1和斜向上的拉力f3兩種方式勻速提公升重為g的物體，試判斷f1和f3的大小關係。
分析：滑輪的輪廓是乙個圓，滑輪的本質就是槓桿。用動滑輪提公升重物的過程就是動滑輪繞著它的圓心o轉動的過程。
將左圖中的動滑輪看成槓桿時，吊著動滑輪的左邊一段繩子與動滑輪相切的點a是支點，在右邊一段繩子的末端施加的拉力f1是動力，由於不計動滑輪的自重，所以動滑輪吊著的重物對動滑輪的拉力f2就是阻力，在數值上f2＝g；右邊一段繩子與動滑輪相切的點是b，由於動滑輪在豎直向上的拉力f1的作用下勻速轉動提公升物體，所以吊著動滑輪的兩段繩子相對於動滑輪的位置具有對稱性，即兩段繩子均保持在豎直方向，所以支點a到動力作用線的距離即動力臂l1就是左右兩段繩子與動滑輪相切的兩個點之間的距離ab，也就是動滑輪所在的圓的直徑；支點a到阻力作用線的距離即阻力臂l2就是切點a到圓心o之間的距離ao，也就是動滑輪所在的圓的半徑；因為吊著重物勻速轉動上公升的動滑輪處於平衡狀態，由槓桿的平衡條件f1l1＝f2l2得：f1·ab＝g·ao（1）.
在右圖中吊著動滑輪的左右兩段繩子均保持在斜向上方向，這兩段繩子與動滑輪相切的點由a、b分別變為d、c，支點的位置由原來的a點變成d點，過支點d做動力f3的作用線的垂線與動力f3的作用線相交於點e，即此時的動力臂阻力l1＝de。由於動滑輪在拉力f3作用下勻速轉動提公升重物，所以兩段繩子所在的位置關於動滑輪也是對稱的，即兩段繩子與動滑輪相切的兩個點d、c到直徑ab的距離相等，dc∥ab，在數值上豎直向下的阻力f2＝g，阻力f2的作用線oh垂直平分線段dc，垂足是h點，則阻力臂l2＝dh。由於此時動滑輪勻速轉動上公升而處於平衡狀態，由槓桿的平衡條件f1l1＝f2l2可得：
f3·de＝g·dh（2），（2）式除以（1）得：（3），從右圖中可知：dh＝dc，ao＝ab，故（3）式轉化成，即，在rt△dec中，dc是斜邊，de是其中一條直角邊，所以dc＞de，因此f3＞f1.
追及問題解題方法
追及問題 含義 兩個運動物體在不同地點同時出發 或者在同一地點而不是同時出發 或者在不同地點又不是同時出發 作同向運動，在後面的行進速度要快些 在前面的行進速度較慢些。在一定時間之內，後面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。數量關係 追及時間 追及路程 快速 慢速 追及路程 快速 慢速 追及...
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