第七講：三角形（一）
【知識要點】
一、三角形的三種重要線段：包括：三條________線、三條________線、三條________線.
注意：三角形的三條角平分線相交於_________一點，三條中線相交於_________一點，三角形的三條高線也相交於一點，但銳角三角形的交點在三角形的直角三角形的交點在三角形的鈍角三角形的交點在三角形的填「形內」或「形外」）
二、三角形三條邊的關係
三角形的任意兩邊之和_________第三邊，三角形的任意兩邊之差_________之差.
推論：另兩邊之差的絕對值＜第三邊＜另兩邊之和
等腰三角形三邊關係:(1)腰底關係:底＜腰 0＜底＜2倍腰
（2）和周長關係：周長＜腰＜周長 0＜底＜周長
三、三角形的內角和定理：三角形三個內角的和等於180° 如圖中： ∠1 ＞∠3 ∠1=∠3＋∠4；
推論1：直角三角形的兩個銳角互餘2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；
推論2：三角形的乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。 ∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。
推論3：三角形的乙個外角大於任何乙個和它不相鄰的內角。
四、三角形的穩定性：即三邊的長度確定後，三角形的形狀保持不變.
五、三角形的分類：（1）按邊分：不等邊三角形和等腰三角形（含等邊三角形）.
（2）按角分三角形和_________三角形和_________三角形.
六、簡單的面積問題
（1）三角形的面積公式：（2）兩個等底三角形面積之比，等於它們的高之比．
（3）兩個等高三角形面積之比等於它們的底之比．（三角形的中線把其面積二等分）
【典型問題例析】
☆考點一：三角形三邊關係
一、求邊的取值範圍
例1 兩根木棒的長分別是4cm和7cm，要選擇第三根木棒將它們釘成乙個三角形，那麼第三根木棒x的範圍是
二、判斷能否構成三角形
例2 以下列各組線段長為邊，能組成三角形的是（ ）
a.1cm，3cm，4cm b.9cm，6cm，4cm c.12cm，5cm，6cm d.2cm，3cm，6cm
三、求邊長：例3、(深圳)已知三角形的三邊長分別是；若的值為偶數，則的值有（ ）
ａ．個個個個
四、求最大邊長：例4三角形的三邊長都為整數，周長為11，且一邊長為4，則此三角形的最大邊長為（ ）
a. 7 b. 6 c. 5 d. 4
五、求周長範圍：例5 已知三角形兩邊長是3和5，則周長ι的取值範圍是
六、化簡求值
例6 若a、b、c是三角形的三條邊，則
◎◎變式練習◎◎
1 在△abc中，ab=9，bc=2，並且ac的長為奇數，那麼△abc的周長是
2．不等邊△abc的三條邊為整數且+(b－２)2＝0，則c
3．等腰三角形的周長為20，則其底邊a的取值範圍是 ，腰長b的取值範圍是 。
4.有五根細木棒，長度分別為1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，現任取其中的三根木棒，組成乙個三角形，問有幾種可能（ ）。a.
1種 b.2種 c.3種 d.
4種5、等腰三角形底邊為4，則腰x的範圍是
6、a、b、c為△abc三邊，化簡|a-b-c|+|a-c+b
☆考點二：三角形的內角和及推論
例7（1）（陝西中考題）如圖1，在銳角△abc中，cd、be分別是ab、ac邊上的高，
且cd、be交於一點p，若∠a=，則∠bpc的度數是（ ）．
a． b． c． d．
（2）、如圖，把△abc紙片沿de摺疊，當點a落在四邊形bcde內部時，則與之間有一種數量關係始終保持不變，請試著找一找這個規律，你發現的規律是（ ）
a. b.
c. d.
例8. 在△abc中,∠bac=50°,高be與,角平分線ad所在的直線交於點o, 求∠bod的度數.
例9、如圖所示，∠boc=100o，∠c=20o，∠b=25o，求∠a。
◎◎變式練習◎◎
1、（吉林中考）把一副三角板按如圖方式放置，則兩條斜邊所形成的鈍角α=_______度
2、乙個三角形的外角中最多有a個銳角，b個鈍角，c個直角，則ba+c
4. 如圖，已知△abc中，ad⊥bc於d，ae為∠bac的平分線，且∠b=35，∠c=65，求∠dae的度數。 （山西·中考題）
☆考點三：三角形中的分類討論
（一）、題目條件不明確需分類討論
例10、（1）已知等腰三角形乙個角為1000，則其餘兩個角為 ；
（2）、若等腰三角形一角為500，則其餘兩個角為
例11、（1）等腰三角形兩邊長5cm、9cm,則周長為 ；（2）、等腰三角形兩邊長5cm、10cm,則周長為 。
（二）、題目圖形不明確需分類討論：
例12、等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為450，則其頂角為 。
例13、等腰三角形一腰上的中線把其周長分成24cm和12cm兩部分，求底長。
◎◎變式練習◎◎
1．已知等腰三角形abc的底邊bc=8cm，且|ac-bc|=2cm，且腰長ac為（ ）
a．10cm或6cm b．10cm c．6cm d．6cm或8cm
2．等腰三角形一腰上的中線把周長分成15 cm和12cm兩部分，求等腰三角形的腰長．
☆考點四：利用邊角關係判斷三角形的形狀
例14、（1） 滿足下列條件的三角形，按角分類有三個屬於同一類，則另乙個是（ ）。
a.∠a：∠b：∠c＝1：2：3 b.∠a－∠b＝∠c c.∠a＝∠c＝40° d.∠a＝2∠b＝2∠c
(2)已知三角形的三邊分別為a、b、c,且a2+b2+c2=ab+bc+ac，則三角形的形狀是______。
2．（1）如圖（1），△abc中，∠b、∠c的平分線交於o，則∠boc=+∠a，試說明理由；
（2）如圖（2），△abc的兩外角∠cbm和△bcn的平分線交於o，則∠boc=-∠a，說明理由；
（3）如圖（3），∠acd是△abc的外角，be平分∠abc，ce平分∠acd，則∠e=∠a，說明理由．
（123）
2．已知：如圖（1）所示，在△abc中，∠a>∠b，ae平分∠bac，f為ae上一點，且fd⊥bc於d，則有∠efd=（∠c-∠b）．
（1）請你說明理由；
（2）當f在ae的延長線上時，如圖（2）所示，其餘條件不變，則上述結論還成立嗎？為什麼？
◎◎變式練習◎◎
1、在△abc中，∠a=∠b=∠c，則△abc是（ ）三角形。a．銳角 b．直角 c．鈍角 d．無法確定
2三角形的三邊為a、b、c，且(a+b-c)(a-b)=0，則三角形的形狀為______。
3、如果乙個三角形的三條高的交點恰是三角形的乙個頂點，那麼這個三角形是（ ）
a 銳角三角形 b、 直角三角形 c 、鈍角三角形 d 、任意三角形
4．在△abc中，，則△abc是（ ）
a．銳角三角形b．直角三角形 c．鈍角三角形 d．以上都有可能
☆考點五：三角形的高與簡單的面積問題
例15、（1） 如圖所示，△abc的高的畫法正確的是（ ）
（2）在△abc中，ad⊥bc，be⊥ac，bc=12，ac=8，ad=6，則be=
（3）如圖三角形abc的面積等於12cm2，d為ab的中點，e為ac邊上一點，且ae=2ec，
o為db與be的交點，若△dbo的面積為acm2，△ceo的面積為bcm2，則a－b=
例16、角形abc,ab=ac,點p是bc上任一點，peab於e，pfac於f，cdab於點d，試說明cd=pe+pf
◎◎變式練習◎◎
1、已知：如圖所示，ad是△abc的中線，ae= ad，s△ace=4cm2， 則s△abc
2、如圖所示，△abc沿bc邊上的中線ad摺疊成圖，ab與dc相交於e，
則s△aec s△bed。
3、如圖,在△abc中,已知點d,e,f分別為邊bc,ad,ce 的中點,
且sabc=4cm2,則陰影面積等於（ ）。
a.2cm2 b.1cm2 c. cm2 d. cm2
作業1、一等腰三角形周長為40，腰為y,用底x表示y為寫出x、y的範圍為 。
2、若a、b、c是△abc的三邊，化簡|a－b－c|+|b－c－a|+|c－a－b
*3、abc的三邊a、b、c均為自然數，且a≤b≤c，a+b+c=13，則以a、b、c為三邊的三角形共個。
4、等腰三角形兩邊長是4cm和10cm，則它的周長是（ ）a．18cm b．24cm c．18cm或24cm d、4cm
5、等腰三角形的一邊長是8 cm，周長是18 cm，則等腰三角形的腰長是（ ）
a．5 cm b．8 cm c．2 cm d．5 cm或8 cm
*6、（重慶市）如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形，點a、b是格點在這5×5的方格中，找出格點c使△abc的面積為2個平方單位，滿足條件的格點有個。
7、如圖，在△abc中∠b的平分線bd和∠c的平分線ce相交於點p，
（1）若∠abc=600，∠acb=700則∠bpc= ；（2）若∠a =500，則∠bpc= ；
（3）若∠a =1100，則∠bpc= ；發現∠bpc與∠a有什麼關係
（4）若∠c的外角平分線與∠b的平分線交於點d，如圖，則 ∠d與∠a有何相等關係？
8．如圖所示，已知∠a＝30°，試求∠b＋∠c＋∠d＋∠e的度數．（長春·中考題）
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