【課程目標】
1．熟練運用三角形內角和定理及其推論．
2．掌握用代數表示式表達關鍵角（代數思想）
3．掌握對三角形內角和180°的方程式的轉化表達形式
4．掌握方程思想、代數思想、轉化思想、等量代換的綜合應用
【重點難點】
重點：三角形內角和定理及外角定理的綜合應用。
難點：對關鍵角的設元，以及對方程的轉化。
【考點指要】
三角形壓軸題是期中考試期末考試大題壓軸的必考點。複雜的三角形問題通常借助平面直角座標系，對所學知識作綜合考查。需要學生在掌握基本模型和規範書寫的基礎上，對大題作預估性探索，對關鍵角作分析。
要在探索中尋求解決問題的辦法，不要怕難題，否則下不了筆。
【課程內容】（課堂筆記、課後作業要求：寫出主幹過程就行）
一．三角形外角定理的應用與代數表達
1、如圖1，在∠a內部有一點p，連線bp、cp，請回答下列問題：
①求證：∠p=∠1+∠a+∠2；
②如圖2，利用上面的結論，你能求出五角星五個「角」的和嗎？
③如圖3，如果在∠bac間有兩個向上突起的角，請你根據前面的結論猜想∠1、∠2、∠3、∠4、
∠5、∠a之間有什麼等量關係，並說明理由．
2、如圖，四邊形abcd中，ab∥cd，p為bc上一點，設∠cdp=α，∠cpd=β，當點p在bc上移動時，猜想α，β與∠b的關係，並說明理由．
二．角平分線問題
3、如圖、ce為△abc外角∠acd的角平分線，ce交ba的延長線於點e。
（1）試判斷∠bac與∠b的大小關係。
（2）若∠b=30°，∠bac=80°，求∠e的度數。
4、（1）已知△abc中，bo、co分別是∠abc、∠acb的平分線，且bo、co相交於點o，試探索∠boc與∠a之間的數量關係，並說明理由．
（2）已知bo、co分別是△abc的外角∠dbc、∠ecb的角平分線，bo、co相交於o，試探索∠boc與∠a之間的數量關係，並說明理由．
（3）已知：bd為△abc的角平分線，co為△abc的外角平分線，它與bo的延長線交於點o，試探索∠boc與∠a的數量關係，並說明理由．
5、如圖，ae、ob、oc分別平分∠bac、∠abc、∠acb，od⊥bc，求證：∠1=∠2．
6、如圖，af平分∠eac，fb平分∠gbc．求∠ｄ，∠ｃ，∠f的關係．
7、如圖，若e為ba延長線上一動點，連ec，∠aec與∠ace的角平分線交於q，∠abc與∠acd的角平分線交於a1，當e滑動時有下面兩個結論：①∠q+∠a1的值為定值；②∠q-∠a1的值為定值，其中有且只有乙個是正確的，請寫出正確的結論，並求出其值．
,三．摺疊問題
8．如圖①，一張三角形abc紙片，點d、e分別是△abc邊上兩點．
（1）：如果沿直線de摺疊，使a點落在ce上，則∠bda′與∠a的數量關係是
（2）：如果折成圖②的形狀，猜想∠bda′、∠cea和∠a的數量關係是
（3）：如果折成圖③的形狀，猜想∠bda′、∠cea′和∠a的數量關係，並說明理由．
（4）：將問題1推廣，如圖，將四邊形abcd紙片沿ef摺疊，使點a、b落在四邊形efcd的內部時，∠1+∠2與∠a、∠b之間的數量關係是
四．平面直角座標系中的三角形問題
9．如圖,已知∠xoy＝90°,點a、b分別在射線ox,oy上移動，be是∠aby的平分線，be的反向延長線與∠oab的平分線相交於點c，試問∠c的大小是否隨點a、b的移動而發生變化？如果保持不變，求出∠c的大小，如果隨點a、b的移動而發生變化，請求出變化範圍.
10．如圖，在平面直角座標系中，△aob是直角三角形，∠aob=90°，斜邊ab與y軸交於點c.
(1)若∠a=∠aoc，求證：∠b=∠boc；
(2)延長ab交x軸於點e，過o作od⊥ab，且∠dob=∠eob，∠oae=∠oea，求∠a度數；
(3)如圖，of平分∠aom，∠bco的平分線交fo的延長線於點p.當△abo繞o點旋轉時（斜邊ab與y軸正半軸始終相交於點c），在(2)的條件下，試問∠p的度數是否發生改變？若不變，請求其度數；若改變，請說明理由．
11、在直角座標系中，已知△abc的三個頂點是a（0，a），b（b，0），c（c，0），d是線段上ab上任一點，直線od交直線ac於e，∠ado和∠abo的平分線交於點p。
（1）若|a-2b-c|+（a+2b）2+（b+1）2n=0（其中n為正整數），求a、b、c的座標，並求△abc的面積。
（2）若e點在ca邊的延長線上，∠acb與∠aed的平分線交於q點，下面兩個結論：①∠p+∠q的值不變；②∠p－∠q的值不變，其中只有乙個結論是正確的，請選擇正確的結論並給出證明，求出定值。
（3）若e點ac邊上的延長線上，第（2）問的結論是否仍然成立呢？若成立，請給出證明；若不成立，不否存在其它的特性呢？試探索，並說明理由。
12、如圖，直角座標系中，a點是第二象限一點，ab⊥x軸於b，且c（0，2）是y軸正半軸上一點，ob—oc=2，s四邊形aboc =11。
（1）求a點座標；
（2）設d為線段ob上一動點，當∠cdo=∠a時，cd與ac之間存在怎樣的位置關係？並證明。
（3）當d點**段ob上運動時，作de⊥cd交ab於e，∠bed，∠dco的平分線交於m，現給出兩個結論。①∠m的大小不變；②∠bed+∠cdo的大小不變。其中只有乙個結論正確，請你判斷哪個結論正確，並說明理由。
13、把一付學生用三角板（30°、60°、90°和45°、45°、90°）如圖（1）放置在平面直角座標系中，點a在y軸正半軸上，直角邊ac與y軸重合，斜邊ad與y軸重合，直角邊ae交x軸於f，斜邊ab交x軸於g，o是ac中點，ac=8.
（1）把圖1中的rt△aed繞a點順時針旋轉α度 (0≤α＜90°) 得圖2，此時△agh的面積是10，△ahf的面積是8，分別求f、h、b三點的座標.
（2）如圖3，設∠ahf的平分線和∠agh的平分線交於點m，∠efh的平分線和∠foc的平分線交於點n，當改變α的大小時，∠n +∠m的值是否會改變，若改變，請說明理由，若不改變，請求出其值.
【課後作業】
1、在△abc中
（1）如圖①，∠a=60°，∠b、∠c的平分線交於點p，求∠bpc的度數．
（2）如圖②，∠a=60°，∠b、∠c的三等分線交於點p（∠1=∠abc，∠2=∠acb），求∠bpc的度數．
（3）如圖③，∠a=x°，∠b、∠c的n等分線（n≥3）交於點p，求∠bpc的度數．
2．已知如圖，△abc(1)如圖①，若p點是∠abc和∠acb的角平分線的交點，點e是外角∠mbc，∠bcn的角平分線的交點。(2)如圖②，若p點是∠abc和∠acb的角平分線的交點，點e是∠abc和外角∠ach的角平分線的交點。(3)如圖③，若p點是∠abc和外角∠ach的角平分線的交點，點e是外角∠mbc，∠bcn的角平分線的交點。
請猜測三種情況下，∠bpc與∠e的數量關係，並選擇其中一種情況說明理由。
3、如圖，在△abc中，∠b＜∠c＜∠a，∠bac和∠abc的外角平分線ae、bd分別與bc、ca的延長線交於e、d．若∠abc=∠aeb，∠d=∠bad．求∠bac的度數．
4、如圖，在△abc中，ad平分∠bac，p為線段ad上的乙個動點，pe⊥ad交直線bc於點e．（1）若∠b=35°，∠acb=85°，求∠e的度數；（2）當p點**段ad上運動時，猜想∠e與∠b、∠acb的數量關係，寫出結論無需證明．
5、已知：如圖1，△abc中，∠b＞∠c，ad是△abc的角平分線，點p是ad上的一點，過點p畫ph⊥bc於h
（1）求證：∠dph=（∠b﹣∠c）；
（2）如圖2，當點p是線段ad的延長線上的點時，過點p畫ph⊥bc於h，上述結論任然成立嗎？請你作出判斷並加以說明．
6、如圖, 直線ab分別交x軸、y軸於a、b, c在y軸正半軸上, 作∠ocd＝∠oab, cd交oa於d.
(1) 請說明cd與ab的位置關係, 並予以證明；
(2) ∠adc的平分線de與∠oab的平分線交於f, 求∠f；
(3) m是線段ad上任意一點(不同於a、d), 作mn⊥x軸交af於n, 作∠ade與∠anm的平分線交於p點, 在前面的條件下, 給出下列結論：①∠p－∠man的值不變；②∠p
的值不變. 可以證明, 其中有且只有乙個結論是正確的, 請你作出正確的選擇並求值.
7.平面直角座標系中，op平分∠xoy，b為y軸正半軸上一點，d為第四象限內一點，bd交x軸於c，過d作de∥op交x軸於點e，ca平分∠bce交op於a。
⑴若∠d=75，如圖1,求∠oac的度數；
⑵若ac、ed的延長線交於f，如圖2,則∠f與∠bco是否具有某種確定的相等關係？請寫出這種關係，並證明你的結論。
⑶∠bde的平分線交op於g,交直線ac於m,如圖3,以下兩個結論:①∠gma=∠gam;②為定值,其中只有乙個結論是正確的,請確定正確的結論,並結出證明.
8、如圖：在直角座標系中，已知b（b，0），c（0，c），且|b+3|+（2c﹣8）2=0．
（1）求b、c的座標；
（2）點a、d是第二象限內的點，點m、n分別是x軸和y軸負半軸上的點，∠abm=∠cbo，cd∥ab，mc、nb所在直線分別交ab、cd於e、f，若∠mea=70°，∠cfb=30°．求∠cmb﹣∠cnb的值；
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