第三章統計案例
1 回歸分析與獨立性檢驗的理解與加深
一、回歸分析
1．線性回歸方程y＝bx＋a，其中：
b＝＝，a＝－b.
(注：b＝主要方便計算，其中(xi，yi)為樣本資料，(，)為樣本點的中心)
公式作用：通過刻畫線性相關的兩變數之間的關係，估計和分析資料的情況，解釋一些實際問題，以及資料的變化趨勢．
2．樣本相關係數的具體計算公式：r＝＝
公式作用：反映兩個變數之間線性相關關係的強弱．當r的絕對值接近1時，表明兩個變數的線性相關性越強；當r的絕對值接近0時，表明兩個變數之間幾乎不存**性相關關係．
公式聯絡：(1)由於分子與回歸方程中的斜率b的分子一樣(這也給出了公式的內在聯絡以及公式的記法)，因此，當r>0時，兩個變數正相關；當r<0時，兩個變數負相關．
(2)常配合散點圖判斷兩個隨機變數是否線性相關．
散點圖是從形上進行粗略地分析判斷，這個判斷是可行的、可靠的，也是進行線性回歸分析的基礎，否則回歸方程失效；它形象直觀地反映了資料點的分布情況．
相關係數r是從數上反映了兩個隨機變數是否具有線性相關關係，以及線性相關關係的強弱，它較精確地反映了資料點的分布情況，準確可靠．
二、獨立性檢驗
(一)基礎概念的梳理與理解
1．分類變數：對於宗教信仰來說，其取值為信宗教信仰與不信宗教信仰兩種．像這樣的變數的不同「值」表示個體所屬的不同類別的變數稱為分類變數．例如性別變數其取值為男和女兩種，吸菸變數其取值為吸菸與不吸菸兩種．
2．兩個分類變數：是否吸菸與是否患肺癌，性別男和女與是否喜歡數學課程等等，這些關係是我們所關心的．
3．2×2列聯表：列出的兩個分類變數a和b，它們的取值分別為和的樣本頻數表稱為2×2列聯表(如表1)．
表1(二)獨立性檢驗的基本思想
從理論上說明兩類分類變數是否有關，請同學們從中體會其思想方法．
1．基本思想與圖形的聯絡
假設兩類分類變數是無關的，可知如下的比應差不多，即：≈|ad－bc|＝0.
構造隨機變數χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)(此公式如何記憶，其特點是什麼？結合2×2列聯表理解)
顯然所構造的隨機變數與|ad－bc|的大小具有一致性．
2．獨立性檢驗的思想方法
如果χ2的值較大，說明其發生(無關係)的概率很小，此時不接受假設，也就是兩分類變數是有關係的(稱小概率事件發生)；如果χ2的值較小，此時接受假設，說明兩分類變數是無關係的．其思想方法類似於數學上的反證法．
3．得到χ2的值常與以下幾個臨界值加以比較：
如果χ2>2.706，就有90%的把握認為兩分類變數a和b有關係；如果χ2>3.841，就有95%的把握認為兩分類變數a和b有關係；如果χ2>6.
635，就有99%的把握認為兩分類變數a和b有關係；如果χ2≤2.706，就認為沒有充分的證據說明變數a和b有關係．
像這種利用隨機變數χ2來確定在多大程度上可以認為「兩個分類變數有關係」的方法稱為兩個分類變數的獨立性檢驗.
2 回歸分析題目擊破
一、基本概念
函式關係是一種確定關係，而相關關係是一種非確定關係，回歸分析是對具有相關關係的兩個變數進行統計分析的一種常用方法．
例1 下列變數之間的關係是相關關係的是________．
(1)正方形的邊長與面積之間的關係；
(2)水稻產量與施肥量之間的關係；
(3)人的身高與年齡之間的關係；
(4)降雪量與交通事故發生率之間的關係．
分析兩變數之間的關係有兩種：函式關係和帶有隨機性的相關關係．
解析 (1)是函式關係；(2)不是嚴格的函式關係，但是具有相關性，因而是相關關係；(3)既不是函式關係，也不是相關關係，因為人的年齡達到一定時期身高就不發生明顯變化了，因而它們不具有相關關係；(4)降雪量與交通事故發生率之間具有相關關係．
答案 (2)(4)
點評該例主要考查對變數相關關係概念的掌握．
二、線性回歸方程
設x與y是具有相關關係的兩個變數，且相應於n個觀測值的n個點大致分布在一條直線的附近，這條直線就叫作回歸直線．
例2 假設關於某裝置的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統計資料：
若由資料知y對x呈線性相關關係，試求：
(1)回歸方程y＝a＋bx；
(2)估計使用年限10年時，維修費用是多少？
分析因為y對x呈線性相關關係，所以可以用線性相關的方法解決問題．
解 (1)製表
於是有b＝＝1.23，
a＝－b＝5－1.23×4＝0.08.
∴回歸方程為y＝1.23x＋0.08.
(2)當x＝10時，y＝1.23×10＋0.08＝12.38，
即估計使用10年時維修費用約是12.38萬元．
點評已知y對x呈線性相關關係，無須進行相關性檢驗，否則，應首先進行相關性檢驗．
三、非線性回歸問題
分析非線性回歸問題的具體做法是：
(1)若問題中已給出經驗公式，這時可以將解釋變數進行變換(換元)，將變數的非線性關係轉化為線性關係，將問題化為線性回歸分析問題來解決．
(2)若問題中沒有給出經驗公式，需要我們畫出已知資料的散點圖，通過與各種函式(如指數函式、對數函式、冪函式等)的影象作比較，選擇一種與這些散點擬合得最好的函式，然後採用適當的變數變換，將問題化為線性回歸分析問題來解決．
下面舉例說明非線性回歸分析問題的解法．
例3 某地區對本地的企業進行了一次抽樣調查，表中是這次抽查中所得到的各企業的人均資本x(單位：萬元)與人均產值y(單位：萬元)的資料：
(1)設y與x之間具有近似關係y≈axb (a，b為常數)，試根據表中資料估計a和b的值；
(2)估計企業人均資本為16萬元時的人均產值(精確到0.01)．
解 (1)在y≈axb的兩邊取常用對數，可得lg y≈lg a＋blg x，設lg y＝z，lg a＝a，lg x＝x，則z≈a＋bx.
相關資料計算如圖所示．
由公式(1)可得
由lg a＝－0.215 5，
得a≈0.608 8，
即a，b的估計值分別為0.608 8和1.567 7.
(2)由(1)知y＝0.608 8x1.567 7.
樣本資料及回歸曲線的圖形如圖所示．
當x＝16時，y＝0.608 8×161.567 7≈47.01(萬元)，故當企業人均資本為16萬元時，人均產值約為47.01萬元．
3 巧解非線性回歸問題
如果題目所給樣本點的分布不呈帶狀分布，即兩個變數不呈線性關係，那麼，就不能直接利用線性回歸方程建立兩個變數之間的關係，這時我們可以把散點圖和已經學過的各種函式，如冪函式、指數函式、對數函式、二次函式等作比較，挑選出與這些散點擬合最好的函式，然後利用變數置換，把非線性回歸方程問題轉化為線性回歸方程的問題來解決，這是解決此類問題的通法，體現了轉化思想．
一、案例分析
例乙個昆蟲的某項指標和溫度有關，現收集了7組資料如下表：
試建立某項指標y關於溫度x的回歸模型，並判斷你所建立的回歸模型的擬合效果．
分析根據表中的資料畫出散點圖，再由圖設出相應的回歸模型．
解畫出散點圖如圖所示，樣本點並沒有分布在某個帶狀區域內，而是分布在某一條二次函式曲線y＝bx2＋a的周圍．
令x＝x2，則變換後的樣本點應該分布在y＝bx＋a(b＝b，a＝a)的周圍．
由已知資料可得變換後的樣本資料表：
計算得到線性回歸方程為y＝0.199 94x＋4.999 03.
用x2替換x，得某項指標y關於溫度x的回歸方程y＝0.199 94x2＋4.999 03.
計算得r≈0.999 997，幾乎為1，說明回歸模型的擬合效果非常好．
點評本題是非線性回歸分析問題，解決這類問題應該先畫出散點圖，把它與我們所學過的函式影象相對照，選擇一種跟這些樣本點擬合的最好的函式，然後採用適當的變數變換轉化為線性回歸分析問題，使之得以解決．
二、知識拓展
常見的非線性函式轉換方法：
(1)冪型函式y＝axm(a為正數，x，y取正值)
解決方案：對y＝axm兩邊取常用對數，有lg y＝lg a＋mlg x，令u＝lg y，v＝lg x，則原式可變為u＝mv＋lg a，其中m，lg a為常數，該式表示u，v的線性函式．
(2)指數型函式y＝c·ax(a，c>0，且a≠1)
解決方案：對y＝cax兩邊取常用對數，則有lg y＝lg c＋xlg a，令u＝lg y，則原式可變為u＝xlg a＋lg c，其中lg a和lg c為常數，該式表示u，x的線性函式．與冪函式不同的是x保持不變，用y的對數lg y代替了y.
(3)反比例函式y＝(k>0)
解決方案：令u＝，則y＝ku，該式表示y，u的線性函式．
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