競賽講座2
－整數的整除性
1． 整數的整除性的有關概念、性質
（1）整除的定義：對於兩個整數a、d（d≠0），若存在乙個整數p，使得成立，則稱d整除a，或a被d整除，記作d|a。
若d不能整除a，則記作d a ，如2|6，4 6。
（2）性質
1） 若b|a，則b|(-a)，且對任意的非零整數m有bm|am
2） 若a|b，b|a，則|a|=|b|;
3） 若b|a，c|b，則c|a
4） 若b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互質），則b|c；
5） 若b|ac，而b為質數，則b|a，或b|c；
6） 若c|a，c|b，則c|（ma+nb），其中m、n為任意整數（這一性質還可以推廣到更多項的和）
例1 x，y，z均為整數，若11｜（7x+2y-5z），求證：11｜（3x-7y+12z）。
2.整除性問題的證明方法
(1)利用數的整除性特徵
例2（加拿大競賽題）設72｜，試求的值。
（2）利用連續整數之積的性質
① 任意兩個連續整數之積必定是乙個奇數與乙個偶數之積，因此一定可被2整除。
② 任意三個連續整數之中至少有乙個偶數且至少有乙個是3的倍數，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。
這個性質可以推廣到任意個整數連續之積。
例3（北京競賽題）證明：對任何整數n都為整數，且用3除時餘2。
證明：例4 一整數a若不能被2和3整除，則a2+23必能被24整除.
(3)利用整數的奇偶性
例5求證:不存在這樣的整數a、b、c、d使：
a·b·c·d-aa·b·c·d-b= ②
a·b·c·d-ca·b·c·d-d= ④
例6設有n個實數x1,x2,…，xn，其中每乙個不是 +1就是-1，且，試證：n是4的倍數.
例7(美國第4屆數學邀請賽題)使n3+100能被n+10整除的正整數n的最大值是多少?
例8設a、b、c為滿足不等式1＜a＜b＜c的整數，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能陣列（a，b，c）.
練習二1．若數n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130，則不是n的因數的最小質數是（ ）.
（a）19 （b）17 （c）13 （d）非上述答案
2. 在整數0、1、2…、8、9中質數有x個，偶數有y個，完全平方數有z個，則x+y+z等於（ ）.
（a）14 （b）13 （c）12 （d）11
3. 可除盡311+518的最小整數是（ ）.
（a）2 （b）3 （c）5 （d）311+518
4.（加拿大數學競賽題）把100000表示為兩個整數的乘積，使其中沒有乙個是10的整倍數的表示式為
5.乙個自然數與3的和是5的倍數,與3的差是6的倍數,這樣的自然數中最小的是_____.
6. 在十進位制中,各位數碼是0或1,並且能被225整除的最小自然數是________.
7. 求使為整數的最小自然數a的值.
8. (加拿大數學競賽題)證明:對一切整數n,n2+2n+12不是121的倍數.
9. 設是乙個四位正整數,已知三位正整數與246的和是一位正整數d的111倍,又是18的倍數.求出這個四位數,並寫出推理運算過程.
10.(蘇聯數學競賽題)能否有正整數m、n滿足方程m2+1954=n2.
11. 證明：（1）133|（11n+2+122n+1），其中n為非負整數.
(2)若將(1)中的11改為任意乙個正整數a,則(1)中的12,133將作何改動?證明改動後的結論.
12. 設a、b、c是三個互不相等的正整數.求證:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三個數中,至少有乙個能被10整除.
13. 100個正整數之和為101101,則它們的最大公約數的最大可能值是多少?證明你的結論.
競賽培訓專題6整數的整除性
1整數的整除性的有關概念 性質 1 整除的定義 對於兩個整數a d d 0 若存在乙個整數p，使得成立，則稱d整除a，或a被d整除，記作d a。若d不能整除a，則記作d a，如2 6，4 6。2 性質 1 若b a，則b a 且對任意的非零整數m有bm am 2 若a b，b a，則 a b 3 若...
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