在生活、生產、科研中，經常會遇到的表示和數的運算的問題，例如：
（1）天氣預報2023年12月某天北京的溫度為，它的確切含義是什麼？這一天北京的溫差是多少？
（2）有三個對參加的足球比賽中，紅隊勝黃隊（4:1），黃隊勝藍隊（1:0），藍隊勝紅隊（1:0），如何確定三個對的淨勝球數和排名順序？
（3）某機器零件的長度設計為100mm，加工圖紙標註的尺寸為（mm），這裡的代表什麼意思？合格產品的長度範圍是多少？
（4）奈米是一種非常小的長度單位，它與長度單位「公尺」的關係為1奈米=公尺，應怎樣理解這種記數法的表示？
上面的例子涉及「」等新問題，通過本章的學習，我們講認識一種新的數——負數，並在有理數的範圍內研究數的表示、大小比較和運算等，提高運用數學解決問題的能力.
我國在《九章算術》《方程》章中就引入了負數（negative number）的概念和正負數加減法的運算法則。在某些問題中，以賣出的數目為正（因是收入），**的數目為負（因是付款）；餘錢為正，不足錢為負。在關於糧穀計算中，則以加進去的為正，減掉的為負。
「正」．「負」這一對術語從這時起一直沿用到現在。
在《方程》章中，引入的正負數加法法則稱為「正負術」。正負數的乘除法則出現得比較晚，在1299 年朱世傑編寫的《算學啟蒙》中，《明正負術》一項講了正負數加減法法則，一共八條，比《九章算術》更加明確。在「明乘除段」中有「同名相乘為正，異名相乘為負」之句，也就是(±a)×(±b)=+ab，(±a)×( b)=-ab，這樣的正負數乘法法則，是我國最早的記載。
宋末李冶還創用在算籌上加斜劃表示負數，負數概念的引入是中國古代數學最傑出的創造之一。
一、正數、負數、有理數
隨著同學們視野的拓展，小學學過的自然數、分數和小數已經不能滿足認知需要了.譬如一些具有
相反意義的量，收入300元和支出200元，向東50公尺和向西30公尺，零上6℃和零下4℃等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數量，怎麼表示它們呢？
我們把一種意義的量規定為正的，把另一種和它意義相反的量規定為負的，這樣就產生了正數和負數.
（1）正數：像、、等的數，叫做正數；
在小學學過的數，除外都是正數，正數都大於．
（2）負數：像．．．等在正數前加上「－」（讀作負）號的數，叫做負數．
負數都小於；
小貼士：
既不是正數，也不是負數；
乙個數字前面的「＋」，「－」號叫做它的符號；
正數前面的「＋」可以省略，注意與表示是同乙個正數．
（3）用正．負數表示相反意義的量：
如果正數表示某種意義，那麼負數表示它的相反的意義，反之亦然．
譬如：用正數表示向南，那麼向北可以用負數表示為．
「相反意義的量」包括兩個方面的含意：一是相反意義；二是相反意義的基礎上要有量．
**變式練習：
（1）判斷題(正確的在括號內畫「√」，錯誤的畫「×」)
( )某倉庫運出30噸貨記作－30噸，則運進20噸貨記作＋20噸．
( )節約4噸水與浪費4噸水是一對具有相反意義的量．
( )身高增長1.2cm和體重減輕1.2kg是一對具有相反意義的量．
( )在小學學過的數前面添上「－」號，得到的就是負數．
（2）填空題
1) 學校在大橋東面9千公尺處，那麼大橋在學校______面－9千公尺處．
2) 如果以每月生產180個零件為準，超過的零件數記作正數，不足的零件數記作負數，那麼1月生產160個零件記作______個，2月生產200個零件記作______個．
3) 甲冷庫的溫度為－6℃，乙冷庫的溫度比甲冷庫低5℃，則乙冷庫的溫度是______．
4) 把下列各數填在相應的大括號內：
正數集合
負數集合
二、有理數的分類
有理數: 整數與分數統稱有理數.
**變式練習：在下表適當的空格裡打上「√」
小貼士一：
小貼士二：
⑴正數和零統稱為非負數；
⑵負數和零統稱為非正數；
⑶正整數和零統稱為非負整數；
⑷負整數和零統稱為非正整數.
小貼士三：「0」的9 種說法：
（1）既不是正數也不是負數的數．
（2）最大的非正數．
（3）最小的非負數．
（4）與其相反數相等的數．
（5）最小的非負整數．
（6）最大的非正整數．
（7）最小的自然數．
（8）絕對值最小的有理數．
（9）沒有倒數的數．
三、數軸
數軸：規定了原點．正方向和單位長度的直線.
注意：⑴原點．正方向．單位長度稱為數軸的三要素，三者缺一不可.
⑵單位長度和長度單位是兩個不同的概念，前者指所取度量單位的長度，後者指所取度量單位的名稱，即單位長度是一條人為規定的代表「1』的線段，這條線段可長可短，按實際情況來規定，同一數軸上的單位長度一旦確定，則不能再改變.
⑶數軸的畫法及常見錯誤分析
①畫一條水平的直線；
②在這條直線上適當位置取一實心點作為原點：
③確定向右的方向為正方向，用箭頭表示；
④選取適當的長度作單位長度，用細**畫出，並對應標註各數，同時要注意同一數軸的單位長度要一致.
數軸畫法的常見錯誤舉例：
有理數與數軸的關係：
一切有理數都可以用數軸上的點表示出來.
在數軸上，右邊的點所對應的數總比左邊的點所對應的數大.
正數都大於0，負數都小於0，正數大於一切負數.
注意：數軸上的點不都代表有理數，如.
利用數軸比較有理數的大小：
數軸上右邊的數總大於左邊的數.因此，正數總大於零，負數總小於零，正數大於負數.
**變式練習：
（1）規定了和______的______叫數軸．
（2）所有的有理數都能用數軸上的______來表示．
（3）數軸上，表示－3的點到原點的距離是______個單位長，與原點距離為3個單位長的點表示的數是______。
（4）數軸上a，b兩點分別在原點的兩旁，並且與原點的距離相等，已知點a表示的數是－10，則點b表示的數為______．
（5）如圖，有理數a，b在數軸上對應的點如下，則有( )．
(a)a＞0＞b (b)a＞b＞0 (c)a＜0＜b (d)a＜b＜0
（6）若p，q兩數在數軸上的位置如下圖所示，請用「＜」或「＞」填空．
①p______q； ②－p______0； ③－q______0；
④－p______－q； ⑤－p______q； ⑥p______－q．
四、相反數
相反數：只有符號不同的兩個數互稱為相反數．特別地，0的相反數是0.
相反數的性質：
⑴代數意義：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，特別地，0的相反數是0．
相反數必須成對出現，不能單獨存在．
例如和互為相反數，或者說是的相反數，是的相反數，
而單獨的乙個數不能說是相反數．
另外，定義中的「只有」指除符號以外，兩個數完全相同，注意應與「只要符號不同」區分開．
例如與互為相反數，而與雖然符號不同，但它們不是相反數．
⑵幾何意義：一對相反數在數軸上應分別位於原點兩側，並且到原點的距離相等．
這兩點是關於原點對稱的．
⑶求任意乙個數的相反數，只要在這個數的前面添上「—」號即可．
一般地，數的相反數是；這裡以表示任意乙個數，可以為正數．0．負數，也可以是任意乙個代數式．注意不一定是負數．
當時，；當時，；當時，.
⑷互為相反數的兩個數的和為零，即若與互為相反數，則，
反之，若，則與互為相反數．
⑸多重符號的化簡：乙個正數前面不管有多少個「＋」號，都可以全部去掉；
乙個正數前面有偶數個「－」號，也可以把「－」號全部去掉；
乙個正數前面有奇數個「－」號，則化簡後只保留乙個「－」號，既「奇負偶正」（其中「奇偶」是指正數前面的「－」號的個數的奇偶數，「負正」是指化簡的最後結果的符號）.
**變式練習：
（1的兩個數，叫做互為相反數；零的相反數是______．
（2）0.4與______互為相反數，______與－(－7)互為相反數，a的相反數是______．
（3）下面各組數中，互為相反數的有( )．
和6)和＋(－6) ③－(－4)和＋(＋4)
④－(＋1)和＋(－1) ⑤和和
(a)4組 (b)3組 (c)2組 (d)1組
（4）下列說法中正確的有( )
①－3和＋3互為相反數；②符號不同的兩個數互為相反數；③互為相反數的兩個數必定乙個是正數，乙個是負數；④ 的相反數是－3.14；⑤乙個數和它的相反數不可能相等．
(a)0個 (b)1個 (c)2個 (d)3個或更多
五、絕對值
絕對值的意義及其化簡
（1）絕對值的幾何意義：乙個數a的絕對值就是數軸上表示a的點與原點的距離。數a的絕對值記作
（2）絕對值的代數意義：乙個正數的絕對值是它本身；乙個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.
（3）絕對值的性質：①，②或
（4）絕對值其他的重要性質：
①任何乙個數的絕對值都不小於這個數，也不小於這個數的相反數，即且
②若，則或
③，（）
4 絕對值的非負性
（1）非負性：若有幾個非負數的和為，那麼這幾個非負數均為
（2） 絕對值的非負性；若，則必有，，
絕對值的幾何意義
（1）的幾何意義：在數軸上，表示這個數的點離開原點的距離．
（2）的幾何意義：在數軸上，表示數、對應數軸上兩點間的距離．
**變式練習：
（1）填表：
（2）乙個正數的絕對值是數的絕對值是它的相反數；______的絕對值是零；絕對值最小的數是______．
（3）絕對值小於4的整數中，最大的整數是______，最小的整數是______．
（4）若a＞b，a，b均是正數，比較大小：｜a|______｜b｜；
若a＜b，a，b均是負數，比較大小：｜a｜______｜b｜．
（5）若m，n互為相反數，則｜m｜______｜n｜．
（6）若｜x｜＝｜y｜，則x，y的關係是______．
1 1有理數基本概念 講義學生列印版
初一培優講義 板塊一 正數 負數 有理數 隨著同學們視野的拓展，小學學過的自然數 分數和小數已經不能滿足認知需要了.譬如一些具有相反意義的量，收入300元和支出200元，向東50公尺和向西30公尺，零上和零下等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數量，怎麼表示它們呢？我們把一種意義的量規定為正的，把...
有理數概念
考點 熱點回顧 一 學習目標 1 有理數的靈活運用。2 有理數的概念及巧算。3 有理數的絕對值 奇 偶數的規律的掌握。二 知識概念 1.有理數 1 凡能寫成形式的數，都是有理數.正整數 0 負整數統稱整數 正分數 負分數統稱分數 整數和分數統稱有理數.注意 0即不是正數，也不是負數 a不一定是負數，...
有理數的概念二
有理數加法法則 1 同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加。2 絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0.3 乙個數同0相加，仍得這個數。有理數減法法則 減去乙個數，等於加這個數的相反數。表示式 a b a b 有理數乘法...