初一培優講義
板塊一、正數、負數、有理數
隨著同學們視野的拓展，小學學過的自然數、分數和小數已經不能滿足認知需要了.譬如一些具有相反意義的量，收入300元和支出200元，向東50公尺和向西30公尺，零上和零下等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數量，怎麼表示它們呢？我們把一種意義的量規定為正的，把另一種和它意義相反的量規定為負的，這樣就產生了正數和負數.
正數：像、、等的數，叫做正數.在小學學過的數，除外都是正數.正數都大於.
負數：像、、、等在正數前加上「－」（讀作負）號的數，叫做負數.負數都小於.
既不是正數，也不是負數.乙個數字前面的「＋」，「－」號叫做它的符號.
正數前面的「＋」可以省略，注意與表示是同乙個正數.
用正、負數表示相反意義的量：
如果正數表示某種意義，那麼負數表示它的相反的意義，反之亦然.
譬如：用正數表示向南，那麼向北可以用負數表示為.
「相反意義的量」包括兩個方面的含意：一是相反意義；二是相反意義的基礎上要有量.
有理數:按定義整數與分數統稱有理數.
注：⑴正數和零統稱為非負數；⑵負數和零統稱為非正數；
⑶正整數和零統稱為非負整數；⑷負整數和零統稱為非正整數.
⑴如果收入2000元，可以記作元，那麼支出5000元，記為
⑵高於海平面300公尺的高度記為海拔公尺，則海拔高度為公尺表示
⑶某地區5月平均溫度為，記錄表上有5月份5天的記錄分別為，，，，，
那麼這5項記錄表示的實際溫度分別是
⑷向南走公尺，表示
【鞏固】 珠穆朗瑪峰海拔高度為公尺，吐魯番盆地海拔高度為公尺，則海平面為
【例1】 下列說法正確的是（ ）
a．一定是負數 b．乙個數不是正數就是負數
c．是負數 d．在正數前面加「-」號，就成了負數
【鞏固】 下列個數中：中負分數有個；負整數有個；
自然數有個
【例2】 檢查籃球的質量，把超過標準質量的克數記為正數，不足標準質量的克數記為負數，檢查的
結果如下表：
最接近標準質量的是號籃球；質量最大的籃球比質量最小的籃球重剋.
【鞏固】 若是負數，則
【例3】 ⑴在下列各數：，，，，中，負數的個數為個．
⑵①；②；③；④一定是負數的是填序號）．
【鞏固】 ⑴下列說法正確的是（ ）a．表示負有理數b．乙個數的絕對值一定不是負數
c．兩個數的和一定大於每個加數 d．絕對值相等的兩個有理數相等
⑵兩數相加，其和小於其中乙個加數而大於另乙個加數，那麼（ ）
a．這兩個加數的符號都是正的 b．這兩個加數的符號都是負的
c．這兩個加數的符號不能相同 d．這兩個加數的符號不能確定
板塊二、倒數
【例4】 ⑴（2010朝陽二模）的倒數是（ ）
ab． c． d．
⑵（2010東城二模）的倒數是（ ）
a．-5b．5cd．
⑶（2010房山二模）的倒數是（ a. 4b. -4cd.
4 (2010宣武二模)的倒數為（ ）abcd.
5 （2010順義二模）5的倒數是（ ）abcd．
⑹（2010西城二模）的倒數是（ a. 2010b. c. d. －2010
【鞏固】 有理數等於它的倒數，有理數等於它的相反數，則
【鞏固】 若，和互為倒數，的絕對值為，求代數式的值
【例5】 在一列數中，已知，從第二個數起，每個數都等於「與它前面的那個數的差的倒數」
⑴ 求的值
⑵ 根據以上計算結果，求的值
板塊三數軸
數軸：規定了原點、正方向和單位長度的直線.
注意：⑴原點、正方向、單位長度稱為數軸的三要素，三者缺一不可.
⑵單位長度和長度單位是兩個不同的概念，前者指所取度量單位的長度，後者指所取度量單位的名稱，即單位長度是一條人為規定的代表「1』的線段，這條線段可長可短，按實際情況來規定，同一數軸上的單位長度一旦確定，則不能再改變.
⑶數軸的畫法及常見錯誤分析
①畫一條水平的直線；②在這條直線上適當位置取一實心點作為原點：③確定向右的方向為正方向，用箭頭表示；④選取適當的長度作單位長度，用細**畫出，並對應標註各數，同時要注意同一數軸的單位長度要一致.
數軸畫法的常見錯誤舉例：
有理數與數軸的關係：
一切有理數都可以用數軸上的點表示出來.在數軸上，右邊的點所對應的數總比左邊的點所對應的數大.
正數都大於0，負數都小於0，正數大於一切負數.注意：數軸上的點不都代表有理數，如.
利用數軸比較有理數的大小：
數軸上右邊的數總大於左邊的數.因此，正數總大於零，負數總小於零，正數大於負數.
【例6】 數軸上有一點它表示的有理數是，將點向左移動個單位得到點，再向右移動個單位，得到點，則點表示的數是 ，點表示的數是 ．
【鞏固】 如右圖所示，數軸上的點和分別對應有理數、，那麼以下結論正確的是( )
ab.，，
cd.，，
【例7】 數所對應的點在數軸上的位置如圖所示，那麼與的大小關係為（ ）
a. b. c. d.不確定的
【鞏固】 如圖，數軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距個單位，點對應的數分別為整數，並且，那麼數軸的原點對應點為（ ）
a．a點 b．b點 c．c點 d．d點
【鞏固】 在數軸上，下面說法中不正確的是( )．
a．兩個正數，小的離原點b．兩個有理數，大數對應的點在右邊
c．兩個負數，較大的數對應的點離原點近 d．兩個有理數，大的離原點較遠
【例8】 ⑴數軸上點對應的數為，那麼與相距個長度的點所對應的數是
⑵數軸上的點、分別表示數和，點是、的中點，則點所表示的數是
⑶乙個點從數軸的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度，則終點表示的數是
【鞏固】 數軸上有一點到原點的距離是，那麼這個點表示的數是
【鞏固】 數軸上的乙個點表示乙個數，當這個點表示的是整數時，我們稱它是整數點．如果有一條數軸的單位長度是1厘公尺時，有一條2公尺長的線段放在數軸上它可以蓋住多少個整數點？
【鞏固】 已知數軸上有兩點，之間的距離為，點與原點的距離為，那麼點所對應的
數為【例9】 一輛貨車從超市出發，向東走了到達小彬家，繼續向前走了到達小穎家，然後向西走了到達小明家，最後回到超市
⑴以超市為原點，向東作為正方向，用個單位長度表示，在數軸上表示出小明，小彬，小穎家的位置
⑵小明家距離小彬家多遠？
⑶貨車一共行駛了多少千公尺？
【例10】 初一（4）班在一次聯歡活動中，把全班分成5個隊參加活動，遊戲結束後，5個隊的得分如下：
隊：-50分；隊：150分；隊：-300分；隊：0分；隊：100分．
將5個隊按由低分到高分的順序排序；
把每個隊的得分標在數軸上，並將代表該隊的字母標上；
⑶從數軸上看隊與隊相差多少分？隊與隊呢？
【鞏固】 在數軸上，點和點都在與對應的點上，若點以每秒個單位長度的速度向右運動，點以每秒個單位長度的速度向左運動，則秒之後，點和點所處的位置對應的數是什麼？這時線段的長度是多少？
【例11】 在數軸上任取一條長度為的線段，則此線段在這條數軸上最多能蓋住的整數點的個數
為【鞏固】 數軸上表示整數的點稱為整點。某數軸的單位長度是1厘公尺，若在這個數軸上隨意畫出一條長為2004厘公尺的線段，則線段蓋住的整點的個數是（ ）
a. 2002或2003b. 2003或2004
c. 2004或2005d. 2005或2006
【例12】 數軸上座標是整數的點稱為整點，某數軸的單位長度是1厘公尺，若在這數軸上隨意畫出一條長為1995厘公尺的線段，則線段蓋住的整點有( )個．
a．1994或1995 b．1994或1996 c．1995或1996 d．1995或1997
板塊四、相反數
相反數：只有符號不同的兩個數互稱為相反數．特別地，0的相反數是0.
相反數的性質：
⑴代數意義：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，特別地，0的相反數是0．相反數必須成對出現，不能單獨存在．
例如和互為相反數，或者說是的相反數，是的相反數，而單獨的乙個數不能說是相反數．
另外，定義中的「只有」指除符號以外，兩個數完全相同，注意應與「只要符號不同」區分開．
例如與互為相反數，而與雖然符號不同，但它們不是相反數．
⑵幾何意義：一對相反數在數軸上應分別位於原點兩側，並且到原點的距離相等．這兩點是關於原點對稱的．
⑶求任意乙個數的相反數，只要在這個數的前面添上「—」號即可．
一般地，數的相反數是；這裡以表示任意乙個數，可以為正數、0、負數，也可以是任意乙個代數式．注意不一定是負數．
當時，；當時，；當時，.
⑷互為相反數的兩個數的和為零，即若與互為相反數，則，反之，若，則與互為相反數．
有理數的基本概念
在生活 生產 科研中，經常會遇到的表示和數的運算的問題，例如 1 天氣預報2013年12月某天北京的溫度為，它的確切含義是什麼？這一天北京的溫差是多少？2 有三個對參加的足球比賽中，紅隊勝黃隊 4 1 黃隊勝藍隊 1 0 藍隊勝紅隊 1 0 如何確定三個對的淨勝球數和排名順序？3 某機器零件的長度設...
2 2有理數大小比較 講義學生版
1 代數法 正數大於非正數，零大於負數，對於兩個負數，絕對值大的反而小 2 數軸法 數軸右邊的數比左邊的數大 3 作差法 4 作商法 若，5 取倒法 分子一樣，通過比較分母從而判定兩數的大小 板塊一 數軸法 例1 為有理數，在數軸上如圖所示，則 a.b.c.d.鞏固 在數軸上表示下列各數，再按大小順...
暑期銜接 數學 江蘇 初一T同步 有理數 基本概念與性質
有理數 基本概念與性質 1.讓學生複習奇數 偶數 最小公因數 最大公倍數，素數 合數等數的概念及意義。2.通過加深對已學知識點的鞏固，培養學生繼續對數這一概念的興趣學習。3.初步培 養學生的分類歸納思想。3分鐘 1 還記得你的小夥伴麼？熟悉吧，書上的內容你還記得麼，今天讓我們一同來回顧一下。2 溫故...