由來古埃及人約於西元前17世紀初已使用分數，中國《九章算術》中也載有分數的各種運算。分數的使用是由於除法運算的需要。除法運算可以看作求解方程px=q(p0)，如果p，q是整數，則方程不一定有整數解。
為了使它恒有解，就必須把整數系擴大成為有理系。關於有理數系的嚴格理論，可用如下方法建立。在z(z -)即整數有序對(但第二元不等於零)的集上定義的如下等價關係：
設 p1，p2 z，q1，q2 z - ，如果p1q2=p2q1。則稱(p1，q2)～(p2，q1)。z(z -)關於這個等價關係的等價類，稱為有理數。
(p，q)所在的有理數，記為 。一切有理數所成之集記為q。令整數p對應一於，即(p，1)所在的等價類，就把整數集嵌入到有理數的集中。
因此，有理數系可說是由整數系擴大後的數系。有理數集合是乙個數域。任何數域必然包含有理數域。
即有理數集合是最小的數域。有理數是實數的緊密子集：每個實數都有任意接近的有理數。
乙個相關的性質是，僅有理數可化為有限連分數。依照它們的序列，有理數具有乙個序拓撲。有理數是實數的(稠密)子集，因此它同時具有乙個子空間拓撲。
採用度量，有理數構成乙個度量空間，這是上的第三個拓撲。幸運的是，所有三個拓撲一致並將有理數轉化到乙個拓撲域。有理數是非區域性緊緻空間的乙個重要的例項。
這個空間也是完全不連通的。有理數不構成完備的度量空間;實數是的完備集。p進數除了上述的絕對值度量，還有其他的度量將轉化到拓撲域：
設p是素數，對任何非零整數a設 | a | p= p- n，這裡pn是p的最高次冪除a另外 | 0 | p= 0。對任何有理數，設。則在上定義了乙個度量。
度量空間不完備，它的完備集是p進數域。乙個困難的問題：有理數的邊界在**?
根據定義，無限迴圈小數和有限小數(整數可認為是小數點後是0的小數)，統稱為有理數，無限不迴圈小數是無理數。但人類不可能寫出乙個位數最多的有理數，對全地球人類，或比地球人更智慧型的生物來說是有理數的數，對每個地球人來說，可能是無法知道它是有理數還是無理數了。因此有理數和無理數的邊界，竟然緊靠無理數，任何兩個十分接近的無理數中間，都可以加入無窮多的有理數，反之也成立。
竟然沒有人知道有理數的邊界，或者說有理數的邊界是無限接近無理數的。定理：位數最多的非無限迴圈有理數是不可能被寫出的，儘管它的定義是有有限位，但它是無限趨近於無理數的，以致於沒有手段進行判斷。
證明：假設位數最多的非無限迴圈有理數被寫出，我們在這個數的最後再加一位，這個數還是有限位有理數，但位數比已寫出有理數多一位，證明原來寫出的不是位數最多的非無限迴圈有理數。所以位數最多的非無限迴圈有理數是不可能被寫出的。
才有理數有理數零正有理數有理數零負有理數
第二章才有理數 一 有理數的意義 2 1 正數和負數 一 知識點 1 像5 8 2.4 等大於0的數叫正數。像 1 5.2 7 等在正數前面加上 號的數叫負數。2 0既不是正數，也不是負數。3正整數 整數 0 負整數 有理數零 正分數分數 負分數正整數 正有理數 正分數有理數零 負整數負有理數 負分...
有理數的乘法
一 判斷 1 同號兩數相乘，符號不變。2 兩數相乘，積一定大於每乙個乘數 3 兩個有理數的積，一定等於它們絕對值之積。4 兩個數的積為0，這兩個數全為0 5 互為相反數的兩數相乘，積為負數 二 選擇1 五個數相乘，積為負，則正因數的個數為 a 0 b 2 c 4 d 0，2或4 2 x和5x的大小關...
有理數的加法
七年級數學講學稿 內容 有理數的加法 二 課型 新授時間 2010.9 學習目標 1 鞏固掌握加法法則 2 能夠熟練的使用加法法則。學習重點 有理數加法法則 學習難點 熟練的使用有理數加法的法則 教學方法 習題練習 教學過程 一 知識回顧 回顧上一節課的理論知識。有理數的加法法則如下 1 同號兩數相...