專題複習：《數列》
一、基礎知識回顧：
1.數列通項的求法：
（1）公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式。
（2）作差法：特點為「和式」與通項的關係。已知（即）求，用作差法：。有時先求，再求；有時也可直接求。
（3）作商法：特點為「積式」與通項的關係。已知，求,用作商法：。
（4）累加法：特點為「差式」。若，求.用累加法：
。（5）累乘法：已知求，用累乘法： 。
（6）構造法：（也叫待定係數法），已知遞推關係求，用構造法（構造等差、等比數列）。
特別地，
①形如,（為常數）的遞推數列都可以用待定係數法轉化為公比為的等比數列後，再求；形如的遞推數列都可以除以得到乙個等差數列後，再求。
②形如的遞推數列都可以用倒數法求通項。
③形如的遞推數列都可以用對數法求通項。
（7）奇偶法：特點為「隔項遞推」。當遇到時，分奇數項偶數項討論，結果可能是分段形式。
2.數列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差數列求和公式；②等比數列求和公式。
（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將「和式」中「同類項」先合併在一起，再運用公式法求和。
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前和公式的推導方法）.
（4）錯位相減法：如果數列的通項是由乙個等差數列的通項與乙個等比數列的通項相乘構成，那麼常選用錯位相減法（這也是等比數列前和公式的推導方法）.
（5）裂項相消法：如果數列的通項可「**成兩項差」的形式，且相鄰項**後相關聯，那麼常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：
①; ②
③，；④；
3.數列等差數列前項和的最值問題：
（1）若等差數列的首項，公差，則前項和有最大值。
①若已知通項，則最大；
②若已知，則當取最靠近的非零自然數時最大；
（2）若等差數列的首項，公差，則前項和有最小值
①若已知通項，則最小；
②若已知，則當取最靠近的非零自然數時最小；
二、例題與練習
1、求數列通項公式的常用方法：
（1）公式法：略。
（2）由求：。解題要求是要分兩種情況來處理該問題，而且最後要進行檢驗。
例題設數列的前項和為，.已知，且對任意時，都有.
(1)求數列的通項公式參***：（1）（2）
(2)若數列滿足，求數列的前項和。
【練習】 數列滿足，求.
（3）求差（商）法：
例題已知數列滿足 （1） 參***：
【練習】 已知遞增等比數列的二項為方程的兩根，數列滿足。。
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和參***：（1）（2）
（4）累乘法
例題數列中，，求.
【練習】 已知數列中，，滿足，求數列的通項公式。參***：
（5）等差型遞推公式
由，求，用迭加法. .
當時，.
.例題數列，，求數列的通項公式。
【練習】 數列滿足，且對任意的，都有，則 。
參***：
（6）等比型遞推公式
（為常數，）可轉化為等比數列，設，則有
，令，.
是首項為，為公比的等比數列.
例題數列滿足，求數列的通項公式。 參***：
【練習】 數列滿足，求數列的通項公式。 參***：
（7）倒數法
例題數列滿足，求. 參***：
【練習】 在數列中，已知，，求數列的通項公式。參***：
2、數列前項和的常用方法：
（1）公式法：等差、等比前項和公式
（2）裂項法：把數列各項拆成兩項或多項之和，使之出現成對互為相反數的項。
例題數列是公差為的等差數列，求參***：
【練習】 求和。 提示： 參***：
（3）錯位相減法：
若為等差數列，為等差比數列，求數列的前項和，可由求，其中為數列的公比.
例題參***：
【練習】 求和參***：
（4）倒序相加法：把數列的各項順序倒寫，再與原來順序的數列相加。
兩式相加，得
例題已知，則參***：
【練習】（倒序相乘）在數1和100之間插入個實數，使得這個數構成遞增的等比數列，將這個數的乘積記作，再令。
（1）求的通項公式參***：（1）（2）
（2）設，求數列的前項和。
3、綜合例題與練習
例題等差數列中，.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前10項和，其中表示不超過的最大整數，如.
參***：（1） ；（2）24
例題已知是公差為3的等差數列，數列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)求的前項和參***：（1） ；（2）
【練習】
1.已知為等比數列，是它的前項和．若，且與的等差中項為，則等於( )
a．35b．33 c．31 d．29
參***: .
2.設公比為的等比數列的前項和為.若，，，則________.
參***: .
3.等比數列滿足：對任意,，則公比________.
參***: .
4.已知是等差數列，，公差，為其前項和，若成等比數列，則________.
參***: .
5.已知數列，，則( )
a． b． c． d．
參***: .
6.已知數列中，，且，若，則數列的前項和為( )
ab. c. d.
參***: .
7.數列1,1＋2,1＋2＋4，…，的前項和，那麼的最小值是( )
a．7 b．8 c．9 d．10
參***: .
8.在數列中，，若為數列的前項和，則_______.
參***: .
9.數列的前項和為，前項之積為，且，則________.
參***: .
10.在數列中，已知，則( )
a． b. c． d.
參***: .
11.設數列的前項和為，.已知，且當時，.
(1)求的值；
(2)證明：為等比數列；
(3)求數列的通項公式參***：（1）（2）
12.設數列的前項積為，且．
(1)求證：數列是等差數列；
(2)設，求數列的前項和. 參***：（2）
13.已知正項數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.參***：（1）（2）
14.在等差數列中，已知公差，是與的等比中項．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，記，求.參***：（1）（2）
15.等差數列的首項且公差，其前項和為，且，，分別是等比數列的，，項．
(1)求數列與的通項公式；
16.在數列中, ,其前項和滿足.
(1)求的通項公式;
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