1．如圖，正方形aa1d1d與矩形abcd所在平面互相垂直，ab=2ad=2，點e為ab上一點
(i) 當點e為ab的中點時,求證；bd1//平面a1de
(ii )求點a1到平面bdd1的距離；
(iii) 當時，求二面角d1-ec-d的大小.
2．已知滿足，，
（1）求，並猜想的表示式；
（2）用數學歸納法證明對的猜想.
參***
1．（1）略 （2）a1到面bdd1的距離為 （3）d1-ec-d的大小為
【解析】(i) 要證bd1//平面a1de，只要證明bd1平行該面內的一條直線，取中點，由中位線可證得；(ii )等積法求高；(iii)可以用傳統法找出平面角也可以向量法求。
解法一：（i）證明：鏈結ad1交a1d於f，則f為中點，鏈結ef，如圖．
∵ e為中點，∴ ef//bd1．又ef面a1de，bd1面a1de，
∴ bd1//面a1de．……………3分
（ii）在rt△abd中，ab=2ad=2，可得bd=，
∴ ，，
設a1到面bdd1的距離為d，則由有
，即，解得 ，
即a1到面bdd1的距離為8分
（iii）鏈結ec．由，有，，
過d作dh⊥ec於h，鏈結d1h，由已知面aa1d1d⊥面abcd且dd1⊥ad，
∴dd1⊥面abcd．由三垂線定理知：d1h⊥ec，∴ ∠dhd1為d1-ec-d的平面角．
rt△ebc中，由，bc=1，得．又dh·ec=dc·bc，代入解得，
∴在rt△dhd1中，．∴，即二面角d1-ec-d的大小為．…………12分
解法二：（i）同解法一．………………3分
（ii）由麵abcd⊥面add1a，且四邊形aa1d1d為正方形，四邊形abcd為矩形，可得d1d⊥ad，d1d⊥dc，dc⊥da．
於是以d為原點，da，dc，dd1分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角座標系．
由ab=2ad=2知：d(0，0，0)，d1(0，0，1)，a1(1，0，1)，b(1，2，0)，
∴ =(1，2，0)，=(0，0，1)，=(0，2，-1)．設面bdd1的乙個法向量為n1，
則即 ∴．
∴ 點a1到面bdd1的距離8分
（iii）由（ii）及題意知：e(1，，0)，c(0，2，0)，，．
設面d1ec的乙個法向量為，
則即可得．
又易知面dec的乙個法向量是(0，0，1)，
設d1-ec-d的大小為θ，則，得．
即d1-ec-d的大小為
2．（1）
（2）見解析
【解析】（1）代入即可求出，然後根據式子特點歸納表示式；（2）利用數學歸納法的步驟嚴格證明
（111
猜想2（2）下面用數學歸納法證明（）
①當時，，顯然成立1
②假設當）時，猜想成立，即1
則當時，
即對時，猜想也成立；結合①②可知，猜想對一切都成立.
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