一、單選題
1．已知三稜錐，是直角三角形，其斜邊，平面, ,則三稜錐的外接球的表面積為( )
a. b. c. d.
2．多面體的三檢視如圖所示，則該多面體的外接球的表面積為（ ）
a. b. c. d.
3．已知三稜錐的四個頂點都在球的表面上，平面，且，則球的表面積為 （ ）
a. b. c. d.
4．四面體中，，，，則四面體外接球的表面積為（ ）
a. b. c. d.
5．如圖，某三稜錐的正檢視、側檢視和俯檢視分別是直角三角形、等腰三角形和等邊三角形．若該三稜錐的頂點都在同乙個球面上，則該球的表面積為（ ）
a. b. c. d.
6．三稜錐中，側稜底面，，，，，則該三稜錐的外接球的表面積為（ ）
a. b. c. d.
7．已知稜長為2的正方體，球與該正方體的各個面相切，則平面截此球所得的截面的面積為（ ）
a. b. c. d.
8．四面體的四個頂點都在球的球面上，，且平面平面，則球的表面積為（ ）
a. b. c. d.
9．三稜錐中，，，互相垂直，，是線段上一動點，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三稜錐的外接球表面積是( )
a. b. c. d.
10．已知三稜錐的四個頂點均在同一球面上，其中是正三角形，平面，，則該球的表面積為（ ）
a. b. c. d.
11．乙個正四面體的稜長為，則這個正四面體的外接球的表面積為 （ ）
a. b. c. d.
12．球面上有四個點，若兩兩互相垂直，且.則球的表面積為（ ）
a. b. c. d.
二、填空題
13．三稜錐中，底面是邊長為的等邊三角形，面，,則三稜錐外接球的表面積是
14．某多面體的三檢視，如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為________.
15．已知三稜錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑，若平面平面，，，三稜錐的體積為，則球的表面積為
16．在四面體中，，二面角的余弦值是，則該四面體的外接球的表面積是
17．已知直角梯形，沿摺疊成三稜錐，當三稜錐的體積最大時，其外接球的表面積為
18．如圖，多面體，兩兩垂直，，，，則經過的外接球的表面積是
19．在四面體中，，二面角的余弦值是，則該四面體的外接球的表面積是
20． ,底面為等邊三角形，且,求三稜錐外接球的表面積
21．已知直三稜柱的各頂點都在同一球面上，若，，則該球的表面積等於
22．設正三稜錐的所有頂點都在球的球面上，，分別是，的中點，，且，則球的表面積為
23．三稜錐中，，，平面，，則該三稜錐的外接球表面積為
24．已知空間四邊形中，，，，若平面平面，則該幾何體的外接球表面積為
25．在三稜錐中，平面，，，，則三稜錐的外接球的體積為
26．已知求的直徑是該球球面上的點，，則稜錐的體積為
參***
1．a【解析】
如圖所示，直角三角形的外接圓的圓心為的中點，過作面的垂線，球心在該垂線上，過作球的弦的垂線，垂足為，則為的中點，球半徑，，稜錐的外接球的表面積為，故選a.
【方法點睛】本題主要考查三稜錐外接球表面積的求法，屬於難題.要求外接球的表面積和體積，關鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見方法有：①若三條稜兩垂直則用（為三稜的長）；②若麵（），則（為外接圓半徑）；③可以轉化為長方體的外接球；④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.
2．d【解析】如圖所示，由三稜錐的三檢視得：該三稜錐的底面是腰長為6的等腰直角三角形，設該三稜錐的外接球的半徑為球心為則
故則該三稜錐的外接球的表面積為
選d3．c
【解析】由題意可知ca,cb,cd兩兩垂直，所以補形為長方形，三稜錐與長方體共球，，求的外接球的表面積，選c
【點睛】
求共點三條側稜兩兩垂直的三稜錐外接球相關問題，我們常用的方法為補形成長方體，轉化為求長方體的外接球問題。充分體現補形轉化思想。
4．c【解析】將四面體置於乙個長方體中，所以四面體的外接球即為長方體的外接球，設長方體的長、寬、高分別為，則根據圖形可有，則外接球的直徑，所以，則球的表面積為，故選擇c.
方法點睛：解決關於四面體外接球的問題關鍵是抓住外接的特點，即四面體各個頂點在球面上，且球心到多面體的頂點的距離都等於球的半徑，同時要作一圓面起襯托作用.對於特殊型別的問題，我們可以將其還原為規則的幾何題，如正方體、正四稜柱、長方體、正三稜柱等等，還原後可以轉化為求長方體等特殊幾何體的外接球，使問題變得簡單、易於理解.
5．c【解析】三檢視還原，如圖：
面，為等邊三角形，
求外接球，可以補形成三稜柱，如下圖，其中為重心。
顯然，三稜柱的外接球與三稜錐的外接球為同球。且球心為中點。
，。選c.
【點睛】
由於長方體與柱球的外接球更容易計算與理解,所以我們在做一些外接時候,我們先考慮是否可以補成柱體來做.如本題直接找球心會有些困難,但是補成三稜柱後,球心就非常容易找,而且容易計算.
6．b【解析】由題，側稜底面，，，，則根據餘弦定理可得，的外接圓圓心
三稜錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑，則該三稜錐的外接球的表面積為
點睛：本題考查的知識點是球內接多面體，熟練掌握球的半徑公式是解答的關鍵．
7．d【解析】因為球與各面相切，所以直徑為2，且的中點在所求的切面圓上，所以所求截面為此三點構成的邊長為正三角形的外接圓，由正弦定理知，所以面積，選d．
8．b【解析】如圖，分別為的中點，易知球心點**段上，因為，則．又∵平面平面，平面平面=bc，∴平面abc，∴，∴．因為點是的中點，∴，且．
設球心的半徑為，，則，在中，有，在中，有，解得，所以，故選b．
【點睛】本題主要考查球內接多面體，球的表面積，屬於中檔題， 其中依據題意分析出球心必位於兩垂直平面的交線上，然後再利用勾股定理，即可求出球的半徑，進而可求出球的表面積，此類題目主要靈活運用線面垂直的判定及性質，面面垂直的判定及性質是解題的關鍵.
9．b【解析】 如圖所示，過點作，連線，
則為直線與平面所成最大角，
設，則中，，
所以，解得，
此時可把該三稜錐補成乙個長方體，所以長方體的對角線長等於球的直徑，
即，所以球的表面積為，故選b.
點睛：本題主要考查了的直線與平面所成的角的應用和組合體的性質等知識點，解答此類問題的關鍵在於正確作出幾何體的結構圖，找到線面角的最大值，確定的長，進而利用組合體得到球的直徑，計算球的表面積.
10．b
【解析】由題意畫出幾何體的圖形如圖，
把擴充套件為三稜柱，上下底面中心連線的中點與的距離為球半徑，是正三角形，，
，所求球的表面積為：，故選b.
11．a
【解析】正四面體可看作正方體的各面對角線圍成,由正四面體的稜長為知正方體的稜長,則正方體的外接球就是此正四面體的外接球 ,正方體的外接球直徑等於正方體的體對角線,即外接球半徑與正方體的稜長之間的關係為,可得,則.故本題選.
點睛: 正方體的稜長為,球的半徑為則正方體的外接球中; 正方體的內切球,則; 球與正方體的各稜相切,則; 長方體的同一頂點的三條稜長分別為,外接球的半徑為,則; 正四面體的外接球與內切球的半徑之比為.
12．a
【解析】由題可知四點為球內接正方體的四個頂點,且正方體的邊長為.由正方體的外接球半徑與正方體邊長的關係可知,又.故本題答案選.
點睛:兩個常用結論：(1)球的內接長方體(正方體)的體對角線長是球的直徑;(2)稜長為的正方體的外接球的半徑為.
要能夠構造出長方體(正方體)的外接球,理解正方體的稜長與球的半徑間的關係.
13．【解析】由題意可知三稜錐外接球，即為以為底面以為高的正三稜柱的外接球
∵是邊長為的正三角形
∴的外接圓半徑，球心到的外接圓圓心的距離為
∴球的半徑為
∴外接球的表面積為
故答案為
點睛：本題主要考查三稜錐外接球表面積的求法，屬於難題. 要求外接球的表面積和體積，關鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見方法有：
①若三條稜兩垂直則用（為三稜的長）；②若麵（），則（為外接圓半徑）；③可以轉化為長方體的外接球；④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.
14．【解析】由三檢視可得該幾何體為正三稜柱，其中底面為正三角形，邊長為4，稜柱的高為.
設幾何體外置球的半徑為，則有，
所以外接球的表面積為.
答案：點睛：（1）由三檢視還原直觀圖的方法
①還原後的幾何體一般為較熟悉的柱、錐、臺、球的組合體．
②注意圖中實、虛線，實際是原幾何體中的可視線與被遮擋線．
③想象原形，並畫出草圖後進行三檢視還原，把握三檢視和幾何體之間的關係，與所給三檢視比較，通過調整準確畫出幾何體．
（2）解決關於外接球的問題的關鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離都等於球的半徑，同時要作一圓面起襯托作用．
15．【解析】
點睛：(1)求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法——分割法、補形法、等體積法.
(2)涉及球與稜柱、稜錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關係，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關係，列方程(組)求解.
16．【解析】
取中點，連線，平面為二面角，在中，，取等邊的中心，作平面，過作平面為外接球球心，，二面角的余弦值是，點為四面體的外接球球心，其半徑為，表面積為，故答案為.
17．【解析】
如圖，，即，取的中點為的中點為，連線三稜錐體積最大，平面平面，根據勾股定理可得，即，故是外接球的球心，是球的半徑，於是三稜錐外接球的表面積是，故答案為.
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