華中師大一附中2017-2018學年度上學期高三年級期中檢測
數學（理）試題
命題人：尹友軍審題人：吳巨龍
時間：120分鐘滿分：150分
第卷一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知複數，則下列命題中正確的個數為
的虛部為 ④在復平面上對應點在第一象限
a．1b．2c．3d．4
2．下列函式為偶函式且在(0，＋∞)上為增函式的是
ab．cd．3．已知集合，集合，則集合且為
ab．cd．4．下列說法正確的是
a．「，若，則且」是真命題
b．在同一座標系中，函式與的圖象關於軸對稱．
c．命題「，使得」的否定是「，都有」
d．，「」是「」的充分不必要條件
5．如圖，在中，，是上的一點，
若，則實數的值為
abc．1d．3
6．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：「今有女子善織，日益功，疾，初日織五尺，今一月織七匹三丈（1匹=尺，一丈=尺），問日益幾何？」其意思為：
「有一女子擅長織布，每天比前一天更加用功，織布的速度也越來越快，從第二天起，每天比前一天多織相同量的布，第一天織尺，一月織了七匹三丈，問每天增加多少尺布？」若這乙個月有天，記該女子乙個月中的第天所織布的尺數為，則的值為
abcd．
7．若，則的值為
abcd．
8．某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：）滿足函式關係（為自然對數的底數，為常數），若該食品在0的保鮮時間是小時，在的保鮮時間是小時，則該食品在的保鮮時間是( )小時．
abcd．
9．已知函式的部分影象如所示，為了得到的影象需將的影象
a．向右平移個單位長度
b．向左平移個單位長度
c．向右平移個單位長度
d．向左平移個單位長度
10．已知定義在上的偶函式，滿足，且時，，則方程在區間上根的個數是
abcd．
11．在和中，是的中點，，若，則與的夾角的余弦值為
abcd．
12．設函式（其中為自然對數的底數）恰有兩個極值點，則下列說法中正確的是
ab．cd．第卷二、填空題（每題5分，共20分，將答案填在答題紙上）
13．函式的單調遞增區間是________．
14．已知向量，，且，則
15．已知數列的通項公式為，當取得最大值時，的值為
16．若函式滿足（其中），則稱函式為「中心對稱函式」，稱點為函式的「中心點」．現有如下命題：
函式是「中心對稱函式」；
若「中心對稱函式」在上的「中心點」為，則函式是上的奇函式；
函式是「中心對稱函式」，且它的「中心點」一定為；
函式是「中心對稱函式」，且它的「中心點」一定為．
其中正確的命題是寫出所有正確命題的序號）
三、解答題 （本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（本小題滿分10分）
已知向量，，函式．
（ⅰ）求的對稱中心；
（ⅱ）求函式在區間上的最大值和最小值，並求出相應的值．
18．（本小題滿分12分)
已知函式＝＋()．
（ⅰ）當時，若方程－＝0有解，求實數的取值範圍；
（ⅱ）試討論的奇偶性．
19．(本小題滿分12分)
已知數列，，為數列的前項和，且滿足，，（）．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）試問能否為等差數列，請說明理由；
（）若數列的通項公式為，令為的前項的和，求．
20．（本小題滿分12分)
已知函式（，為自然對數的底數）．
（ⅰ）討論函式的單調性；
（ⅱ）若，函式在上為增函式，求實數的取值範圍．
21．(本小題滿分12分)
如圖所示，某住宅小區一側有一塊三角形空地，其中
．物業管理擬在中間開挖乙個三角形人工湖，其中都在邊上（不與重合，在之間），且．
（ⅰ）若在距離點處，求點之間的距離；
（ⅱ）為節省投入資金，三角形人工湖的面積要盡可能小．試確定的位置，使的面積最小，並求出最小面積．
22．（本小題滿分12分）
已知數列滿足．
（ⅰ）設，，證明：；
（ⅱ）證明：（為自然對數底數）；
（ⅲ）設，，試比較與與的大小關係，並說明理由．
高三上學期期中試題
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