解斜三角形
●知識梳理
1.正弦定理：在乙個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題.
（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；
（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進一步求出其他的邊和角）
2.餘弦定理：三角形任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即
a2=b2+c2－2bccosa
b2=c2+a2－2cacosb
c2=a2+b2－2abcosc
在餘弦定理中，令c=90°，這時cosc=0，所以c2=a2+b2.
由此可知餘弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得
cosa=；
cosb=；
cosc=.
利用餘弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：
（1）已知三邊，求三個角；
（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.
特別提示
兩定理的形式、內容、證法及變形應用必須引起足夠的重視，通過向量的數量積把三角形和三角函式聯絡起來，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識應用的例項.另外，解三角形問題可能出現一解、兩解或無解的情況，這時應結合「三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解」.
●點選雙基
1.（2023年上海）在△abc中，若2cosbsina=sinc，則△abc的形狀一定是
a.等腰直角三角形b.直角三角形
c.等腰三角形d.等邊三角形
解析：由2cosbsina=sinc得×a=c，∴a=b.
答案：c
2.下列條件中，△abc是銳角三角形的是
解析：由sina+cosa=
得2sinacosa=－＜0，∴a為鈍角.
由·＞0，得·＜0，∴cos〈，〉＜0.∴b為鈍角.
由tana+tanb+tanc＞0，得tan（a+b）·（1－tanatanb）+tanc＞0.
∴tanatanbtanc＞0，a、b、c都為銳角.
由=，得sinc=，∴c=或.
答案：c
3.（2023年全國ⅳ，理11）△abc中，a、b、c分別為∠a、∠b、∠c的對邊，如果a、b、c成等差數列，∠b=30°，△abc的面積為，那麼b等於
ab.1+
cd.2+
解析：∵a、b、c成等差數列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.
又△abc的面積為，且∠b=30°，故由s△abc=acsinb=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由餘弦定理，得cosb====，解得b2=4+2.
又b為邊長，∴b=1+.
答案：b
4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，則∠a=_______.
解析：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc.∴=.∴∠a=.
答案：5.在銳角△abc中，邊長a=1，b=2，則邊長c的取值範圍是_______.
解析：若c是最大邊，則cosc＞0.∴＞0，∴c＜.又c＞b－a=1，
∴1＜c＜.
答案：（1，）
●典例剖析
【例1】 △abc的三個內角a、b、c的對邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：a=2b.
剖析：研究三角形問題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.
證明：用正弦定理，a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc，代入a2=b（b+c）中，得sin2a=sinb（sinb+sinc）sin2a－sin2b=sinbsinc
－=sinbsin（a+b）
（cos2b－cos2a）=sinbsin（a+b）
sin（a+b）sin（a－b）=sinbsin（a+b），
因為a、b、c為三角形的三內角，所以sin（a+b）≠0.所以sin（a－b）=sinb.所以只能有a－b=b，即a=2b.
評述：利用正弦定理，將命題中邊的關係轉化為角間關係，從而全部利用三角公式變換求解.
思考討論
（1）該題若用餘弦定理如何解決?
解：利用餘弦定理，由a2=b（b+c），得cosa===，cos2b=2cos2b－1=2（）2－1=－1=.
所以cosa=cos2b.因為a、b是△abc的內角，所以a=2b.
（2）該題根據命題特徵，能否構造乙個符合條件的三角形，利用幾何知識解決?
解：由題設a2=b（b+c），得
作出△abc，延長ca到d，使ad=ab=c，鏈結bd.①式表示的即是=，所以△bcd∽△abc.所以∠1=∠d.
又ab=ad，可知∠2=∠d，所以∠1=∠2.
因為∠bac=∠2+∠d=2∠2=2∠1，
所以a=2b.
評述：近幾年的高考題中，涉及到三角形的題目，重點考查正弦、餘弦定理，考查的側重點還在於三角轉換.這是命題者的初衷.
【例2】 （2023年全國ⅱ，17）已知銳角△abc中，sin（a+b）=，sin（a－b）=.
（1）求證：tana=2tanb；
（2）設ab=3，求ab邊上的高.
剖析：有兩角的和與差聯想到兩角和與差的正弦公式，結合圖形，以（1）為鋪墊，解決（2）.
（1）證明：∵sin（a+b）=，sin（a－b）=，
∴=2.
∴tana=2tanb.
（2）解：＜a+b＜π，∴sin（a+b）=.
∴tan（a+b）=－，
即=－.將tana=2tanb代入上式整理得2tan2b－4tanb－1=0，解得tanb=（負值捨去）.得tanb=，∴tana=2tanb=2+.
設ab邊上的高為cd，則ab=ad+db=+=.由ab=3得cd=2+，所以ab邊上的高為2+.
評述：本題主要考查三角函式概念，兩角和與差的公式以及應用，分析和計算能力.
【例3】 （2023年春季北京）在△abc中，a、b、c分別是∠a、∠b、∠c的對邊長，已知a、b、c成等比數列，且a2－c2=ac－bc，求∠a的大小及的值.
剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關係，要求∠a，需找∠a與三邊的關係，故可用餘弦定理.由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值.
解法一：∵a、b、c成等比數列，∴b2=ac.
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.
在△abc中，由餘弦定理得
cosa===，∴∠a=60°.
在△abc中，由正弦定理得sinb=，
∵b2=ac，∠a=60°，
∴=sin60°=.
解法二：在△abc中，
由面積公式得bcsina=acsinb.
∵b2=ac，∠a=60°，∴bcsina=b2sinb.
∴=sina=.
評述：解三角形時，找三邊一角之間的關係常用餘弦定理，找兩邊兩角之間的關係常用正弦定理.
●闖關訓練
夯實基礎
1.（2023年浙江，8）在△abc中，「a＞30°」是「sina＞」的
a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件
c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件
解析：在△abc中，a＞30°0＜sina＜1sina＞；sina＞30°＜a＜150°a＞30°.
答案：b
2.如圖，△abc是簡易遮陽棚，a、b是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面abd面積最大，遮陽棚abc與地面所成的角為
a.75b.60c.50d.45°
解析：作ce⊥平面abd於e，則∠cde是太陽光線與地面所成的角，即∠cde=40°，延長de交直線ab於f，鏈結cf，則∠cfd是遮陽棚與地面所成的角，設為α.要使s△abd最大，只需df最大.
在△cfd中， =.
∴df=.
∵cf為定值，∴當α=50°時，df最大.
答案：c
3.在△abc中，角a、b、c所對的邊分別是a、b、c，若三角形的面積s=（a2+b2－c2），則∠c的度數是_______.
解析：由s=（a2+b2－c2）得absinc=·2abcosc.∴tanc=1.∴c=.
答案：45°
4.在△abc中，若∠c=60°，則=_______.
解析： =
∵∠c=60°，∴a2+b2－c2=2abcosc=ab.
∴a2+b2=ab+c2.
代入（*）式得=1.
答案：1
5.在△abc中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是
解析：由a=14，b=16，a=45°及正弦定理，得=，所以sinb=.因而b有兩值.
答案：c
培養能力
6.在△abc中，角a、b、c所對的邊分別為a、b、c，依次成等比數列，求y=的取值範圍.
解：∵b2=ac，∴cosb===（+）－≥.
∴0＜b≤，
y===sinb+cosb=sin（b+）.∵＜b+≤，
∴＜sin（b+）≤1.故1＜y≤.
7.已知△abc中，2（sin2a－sin2c）=（a－b）sinb，外接圓半徑為.
（1）求∠c；
（2）求△abc面積的最大值.
解：（1）由2（sin2a－sin2c）=（a－b）·sinb得2（－）=（a－b）.
又∵r=，
∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.
∴cosc==.
又∵0°＜c＜180°，∴c=60°.
（2）s=absinc=×ab
=2sinasinb=2sinasin（120°－a）
=2sina（sin120°cosa－cos120°sina）
=3sinacosa+sin2a
=sin2a－sin2acos2a+
=sin（2a－30°）+.
∴當2a=120°，即a=60°時，smax=.
8.在△abc中，bc=a，頂點a在平行於bc且與bc相距為a的直線上滑動，求的取值範圍.
解：令ab=kx，ac=x（k＞0，x＞0），則總有sinb=，sinc=（圖略），且由正弦定理得sinb=sina，所以a2=kx2·sinbsinc=kx2sina，由餘弦定理，可得cosa==（k+－sina），所以k+=sina+2cosa≤=.所以k2－k+1≤0，所以≤k≤.
所以的取值範圍為［，］.
**創新
9.某城市有一條公路，自西向東經過a點到市中心o點後轉向東北方向ob，現要修建一條鐵路l，l在oa上設一站a，在ob上設一站b，鐵路在ab部分為直線段，現要求市中心o與ab的距離為10 km，問把a、b分別設在公路上離中心o多遠處才能使|ab|最短?並求其最短距離.
（不要求作近似計算）
解斜三角形
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解三角形二輪複習反思
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