25．2 用列舉法求概率
疑難分析
1．當一次試驗中，可能出現的結果是有限個，並且各種結果發生的可能性相等時，可以用被關注的結果在全部試驗結果中所佔的比分析出事件中該結果發生的概率，此時可採用列舉法．
2．列舉法就是把要數的物件一一枚舉出來分析求解的方法．但有時一一枚舉出的情況數目很大，此時需要考慮如何去排除不合理的情況，盡可能減少列舉的問題可能解的數目.
3．利用列舉法求概率的關鍵在於正確列舉出試驗結果的各種可能性，而列舉的方法通常有直接分類列舉、列表、畫樹形圖等.
4．通常，計數方法可分為分類計數和分步計數，需分別用到下列兩個計數原理：
加法原理：完成一件工作有n類方法，其中，第i類方法中有mi種方法（i=1,2,3,…n），那麼，完成這件工作共有m1+m2+…+mn種方法．
乘法原理：完成一件工作共有n個步驟，其中，完成第i步有mi種方法（i=1,2,3,…n），那麼，完成這件工作共有m1·m2·…·mn種方法．
例題選講
例1．用重量分別為1克、2克、4克、8克、16克的五個砝碼和一架天平可一次稱出的不同重量有多少種？
解答：[1]、[2]、[4]、[8]、[16]、[1+2]、[1+4]、[1+8]、[1+16]、[2+4]、[2+8]、[2+16]、 [4+8]、[4+16]、[8+16]、[1+2+4]、[1+2+8]、[1+2+16]、[1+4+8]、[1+4+16]、[1+8+16]、[2+4+8]、[2+4+16]、[2+8+16]、[4+8+16]、[1+2+4+8]、[1+2+4+16]、[1+2+8+16]、[1+4+8+16]、[2+4+8+16]、[1+2+4+8+16]．
可稱出：1、2、4、8、16、3、5、9、17、6、10、18、12、20、24、7、11、19、13、21、25、14、22、26、28、15、23、27、29、30、31共31種不同的重量．
評注：(1)為防止重數或漏數，列舉時應注意分類處理：按砝碼的個數、各組中最小砝碼的質量進行兩重分類；
(2)本題中實際用到了2進製記數法：1=20，2=21，4=22，8=23，16=24, 1～25-1的所有整數都可以用它們中的乙個或多個的和表示．
例2 某電腦公司現有a，b，c三種型號的甲品牌電腦和d，e兩種型號的乙品牌電腦．希望中學要從甲、乙兩種品牌電腦中各選購一種型號的電腦．
(1) 寫出所有選購方案(利用樹狀圖或列表方法表示）；
(2) 如果(1)中各種選購方案被選中的可能性相同，那麼a型號電腦被選中的概率是多少？
(3) 現知希望中學購買甲、乙兩種品牌電腦共36臺(**如圖所示)，恰好用了10萬元人民幣，其中甲品牌電腦為a型號電腦，求購買的a型號電腦有幾台．
解：(1) 樹狀圖如下
列表如下：
有6種可能結果：(a，d)，（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e）．
(2) 因為以上6種結果出現的可能性相等，而其中選中a型號電腦有2種方案，即(a，d)（a，e），所以a型號電腦被選中的概率是，即．
(3) 由(2)可知，當選用方案（a，d）時，設購買a型號、d型號電腦分別為x，y臺，根據題意，得
解得經檢驗不符合題意，捨去；
當選用方案（a，ｅ）時，設購買a型號、ｅ型號電腦分別為x，y臺，根據題意，得
解得所以希望中學購買了7臺a型號電腦．
評注：列表和畫樹形圖都是列舉的有效方法，但若列舉是分步進行且是步步遞推的（比如用列舉法統計多位數個數），用樹形圖列舉效率更高．
基礎訓練
一、選一選（請將唯一正確答案的代號填入題後的括號內）
1．隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，兩次正面都朝上的概率是（ ）．
a． b． cd．1．
2．從甲地到乙地可坐飛機、火車、汽車，從乙地到丙地可坐飛機、火車、汽車、輪船，某人乘坐以上交通工具，從甲地經乙地到丙地的方法法有（ ）種．
a．4 b．7 c．12 d．81．
3．設有12只型號相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只．則從中任意取1只，是二等品的概率等於( )．
a． b． cd．1
4．如圖，圖中的兩個轉盤分別被均勻地分成5個和4個扇形，每個扇形上都標有數字，同時自由轉動兩個轉盤，轉盤停止後，指標都落在奇數上的概率是
abcd．
5．擲兩個普通的正方體骰子，把兩個點數相加．則下列事件中發生的機會最大的是 ( )
a．和為11 b．和為8 c．和為3 d．和為2
6．乙個均勻的立方體六個面上分別標有數1，2，3，4，5，6．右圖是這個立方體表面的展開圖．拋擲這個立方體，則朝上一面上的數恰好等於朝下一面上的數的的概率是（ ）．
abcd.
7. **電視台「幸運52」欄目中的「百寶箱」互動環節，是一種競猜遊戲，遊戲規則如下：在20個商標中，有5個商標牌的背面註明了一定的獎金額，其餘商標的背面是一張苦臉，若翻到它就不得獎。
參加這個遊戲的觀眾有三次翻牌的機會。某觀眾前兩次翻牌均得若干獎金，如果翻過的牌不能再翻，那麼這位觀眾第三次翻牌獲獎的概率是（ ）．
abcd.
8．用1、2、3、4、5這5個數字（數字可重複，如「522」）組成3位數，這個3位數是奇數的概率為（ ）．
abc． d．
二、填一填
9．一張圓桌旁有四個座位，a先坐在如圖所示的座位上，b、c、d三人隨機坐到其他三個座位上．則a與b不相鄰而坐的概率為
10. 有一對酷愛運動的年輕夫婦給他們12個月大的嬰兒拼排3塊分別寫有「20」，「08"和「北京」的字塊，如果嬰兒能夠排成"2008北京」或者「北京2008"．則他們就給嬰兒獎勵，假設嬰兒能將字塊橫著正排，那麼這個嬰兒能得到獎勵的概率是
11．5個完全相同的白色球全部放入兩個完全相同的抽屜，可以有乙個抽屜空著，那麼兩個抽屜中都至少有2個球的概率是_____．
12．你喜歡玩遊戲嗎?現請你玩乙個轉盤遊戲．如圖所示的兩上轉盤中指標落在每乙個數字上的機會均等，現同時自由轉動甲、乙兩個轉盤，轉盤停止後，指標各指向乙個數字，用所指的兩個數字作乘積．所有可能得到的不同的積分別為數字之積為奇數的概率為______．
三、做一做
13．小明、小華用4張撲克牌（方塊2、黑桃4、黑桃5、梅花5）玩遊戲，他倆將撲克牌洗勻後，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小華後抽，抽出的牌不放回．
（1）若小明恰好抽到了黑桃4．①請在下邊框中繪製這種情況的樹狀圖；②求小華抽出的牌面數字比4大的概率．
（2）小明、小華約定：若小明抽到的牌面數字比小華的大，則小明勝；反之，則小明負．你認為這個遊戲是否公平？說明你的理由．
14．《列子》中《歧路亡羊》寫道：
楊子之鄰人亡羊，既率其黨，又請楊子之豎追之。楊子曰：「嘻!
亡一羊，何追者之眾?」鄰人日：「多歧路。
」既反，問：「獲羊乎?」日：
「亡之矣。」曰：「奚亡之?
」曰：「歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.」
如圖，假定所有的分叉口都各有兩條新的歧路，並且丟失的羊走每條歧路的可能性都相等.（1）到第n次分歧時，共有多少條歧路？以當羊走過n個三叉路口後，找到羊的概率是多少？
（2）當n=5時，派出6個人去找羊，找到羊的概率是多少？
15. 兩人要去某風景區遊玩，每天某—時段開往該風景區有三輛汽車(票價相同)，但是他們不知道這些車的舒適程度，也不知道汽車開過來的順序，兩人採用了不同的乘車方案：
甲無論如何總是上開來的第一輛車，而乙則是先觀察後上車，當第一輛車開來時，他不上車，而是仔細觀察車的舒適狀況，如果第二輛乍的狀況比第一輛好，他就上第二輛車；如果第二輛不比第—輛好，他就上第三輛車．若把這三輛車的舒適程度分為上、中、下三等.請問：
(1)三輛車按出現的先後順序共有哪幾種不同的可能?
(2)你認為甲、乙兩人採用的方案，哪一種方案使自己乘坐上等車的可能性大?為什麼?
m]四、試一試
16. 如圖是9×7的正方形點陣，其水平方向和豎起直方向的兩格點間的長度都為1個單位，以這些點為頂點的三角形稱為格點三角形．請通過畫圖分析、**回答下列問題：
(1)請在圖中畫出以ab為邊且面積為2的乙個網格三角形；
(2)任取該網格中能與a、b構成三角形的一點m，求以a、b、m為頂點的三角形的面積為2的概率；
(3)任取該網格中能與a、b構成三角形的一點m，求以a、b、m為頂點的三角形為直角三角形的概率
解答一、
1．a 2．c 3．c 4．b 5．b 6．a 7．b 8．a
二、9． 10. 11． 12．1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24 ；.
三、13．（1）樹形圖略；；（2）這個遊戲對先抽牌的小明不利，因為12種可能結果中，先抽牌的人能獲勝的只有5種，即先抽牌者獲勝的概率為.
14. （1）到第n次分歧時，共有2n條歧路；當羊走過n個三叉路口後，找到羊的概率為；
（2）當n=5，6個人去找羊時，找到羊的概率為.
15．這是一道方案決策型的題．解這類題應根據題中條件，把所有可能的情況—用**形式列出來．再來逐一分析得出最佳方案．
(1)三輛車開來的先後順序有6種可能：(上、中、下)、(上、下、中)、(中、上、下)、(中、下、上)、(下、中、上)、(下、上、中)．
(2)由於不知道任何資訊，所以只能假定6種順序出現的可能性相同．我們來研究在各種可能性的順序之下，甲、乙二人分別會上哪一輛汽車：
於是不難得出，甲乘上、中、下三輛車的概率都是；而乙乘上等車的概率是；乘中等車的概率是，乘下等車的概率是．乙採取的方案乘坐上等車的可能性大．
25 2 1用列舉法求概率
25.2.1用列舉法求概率 備課人課題教學目標重點難點 知識與技能過程與方法情感 態度價值觀 徐仕蓮新授課 班級 九年級 一課時授課時間 2014 11 25.2.1用列舉法求概率 1 會用列舉法和列表法求簡單事件的概率 2 能用概率的知識解決計算涉及兩個因素的有關事件概率的簡單實際問題。經歷實驗 ...
55用列舉法求概率
用列舉法求概率 列表法 學習目標 1 當一次實驗包含兩個因素，並且可能出現的結果數目較多時，會用列表法把所有可能的結果不重不漏地列出來。2 體會數學在實際生活中的運用。學習重 難點 當一次實驗包含兩個因素，並且可能出現的結果數目較多時，會用列表法把所有可能的結果不重不漏地列出來。學習過程 一 自學指...
《用列舉法求概率》教學反思
2 增強教學的全面性 在課堂上我還有乙個失誤就是沒有時刻照顧到了所有的學生，因材施教，為了讓這節課順利的進行，在有的問題上我就忽略了一些學生的想法，和理解程度，所以在一些問題上他們還沒有完全弄明白或者沒有充分發揮自己的想象力就過去了。同時在一些知識的引導部分說的也不夠全面，不太到位。在肯定學生方面，...