培養學生發現、**、解決問題的能力
用裂項法證明不等式教學案例
一、相關背景介紹：在今年的高三教學中，發現學生對與數列有關的不等式的證明題常常束手無策，這塊內容又是乙個考點，通常出在大題目的第三小題，還可與函式數列結合起來出題，證明這些不等式常常要用到幾種常用的裂項法、放縮法、構造法，但在用的過程中不是一成不變的套用公式,它需要學生根據題目的特點靈活變化。而本校的學生，一般只能用最簡單的裂項法來證明不等式，為此，我關於這塊內容，做了一些整理，進行教學。
二、本節課教學目標：1、知識與技能：使學生掌握用分式裂項法證明不等式的方法，能對分式裂項法深入理解，學會運用不等式證明過程中比較、放縮的技巧；2、過程與方法：
讓學生經歷閱讀、理解、探索、求解的過程，從而培養學生，模擬的思想，滲透化歸轉化的思想。在錯誤中逐步修正，尋求合理有效途徑，以解決問題的能力；3、情感、態度、價值觀：使學生領會數學的抽象性和嚴謹性，培養學生實事求是的科學態度，積極參與和勇於探索的精神。
三、設計理念：通過乙個例題的匯入，讓學生複習最簡單的分式裂項證明不等式的方法，為後面的題目打好基礎，然後引入變式一，講解變式一的目的是為了讓學生更深刻的理解例一，同時還能把不等式證明同數列求和聯絡起來，培養學生思維的廣度與深度，並在求解的過程中，滲透化歸轉化的思想。然後再引入變式二，把學生引入了防縮法證明不等式，為下節課做好準備，此外，還強調讓學生自己思考問題，探索問題，解決問題，在錯誤中，不斷修正自己的解法，從而最後找到正確的途徑，它能提高學生學習的積極性，培養學生抽象思維的能力，分析問題，解決問題的能力。
在整節課的最後，提出的思考，讓這節課的問題得到了延伸，也起到了分層教學的目的。
四、課堂實錄：在教學過程中，我首先引入乙個簡單的例題：
例一：求證（此題用裂項法解，學生一般都能證明）
證明：由可得
不等式左邊＝
然後我在例一的基礎上引入了兩個變式請學生思考。
變式一：求證：
在此題的證明過程中，我先引導學生嘗試用例一的解法去解，學生動筆以後發現
也就是說與例一有一定的差距，接著我就提問一：「比較兩式會發現問題出在分子的2上，那麼如何解決這個問題？」
學生回答：「可除以乙個2。」這樣一來問題就解決了不等式證明可以如下
由可得不等式左邊＝
做完變式一后我提出了幾個問題：「觀察變式一的分母，你能否從這些數中找到乙個我們都熟悉的數列，這個數列是什麼數列？」「能否自己編一道與數列有關的證明題，可用裂項法證明？」
學生很容易在分母中找到等差數列，有學生編了一題，但是不知道是多少，在同學的幫助下最後找到答案
變式二：證明
此題的分母是完全平方，所以不能直接用裂項法，此時我讓學生模擬例一與變式二，讓學生在比較中發現問題，找到解決問題的途徑，第乙個學生提出想把轉化為，因此得出結論
這個想法雖好，但是與所要證明的不等式有一定的差距，原本應放大的不等式結果縮小了，面對這個現象，我向學生提出問題：「如何能根據剛才那個同學所講的，把分母的完全平方變成相鄰的兩個數，同時不等式不是縮小，而是放大了？乙個分式在分子不變的情況下分母如何處理才能放大呢？
」根據我的提問，幾個程度好的同學已經能夠想到解決的方法，
我即時給予表揚，並提出改正方案：
當n≥2時,
當n=1時, <2顯然成立
根據上面所講，我再次提出問題：「如何證明？」「與變式二比較，原先證明小於2現在要證明小於，也就是說放縮的範圍更加精確，、、…這個式子中,對整個式子的影響最小,與2比較差了,如何解決這個的問題?
」雖然我提出的問題比較零散,但給了學生一定的時間思考問題,讓學生反覆的嘗試,最後有部分同學能得出正確的證明方法.
當n≥3時,
當n=1，2時,顯然成立.
在這節課的最後,我提出了思考題:
已知數列各項均為正數，並且a1 = a (0 < a < 1)，
=，求證：．
五、課後反思:
整節課，自我感覺較好，課堂氣氛比較活躍，學生能掌握這節課的基本教學內容，給學生較多的思考時間與想象空間能發揮他們的主體地位。
除了完成這節課的教學任務之外，這節課主要還是在於培養學生，分析**，解決問題的能力，從模擬中發現問題，進行嘗試，找出解決的方法，若找出的方法不正確，就進一步的修復，從而培養了學生的興趣，勇於探索的精神。
在這節課的內容設計上，我把裂項法定位在分式的裂項上，其實裂項法還涉及很多內容，比如根式，二項式都可以；再者，分式裂項，分母是兩項的情況是最基本的情況，分母還可以是三項，四項。這些問題，一方面是受時間的限制，另一方面是受應試教育的影響，沒有引導學生更進一步的探索問題。
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人教版高中數學選修4 5《證明不等式的基本方法》本講小結
整合提公升 知識網路 典例精講 例1 設函式f x lgx 若0f b 證明ab 1.證明 由已知f x 0f b a,b不能同時在區間 1,上.又 0故必有a 0,1 若b 0,1 顯然有ab 1.若b 1,由f a f b 0,有 lga lgb 0,故lgab 0.從而ab 1.例2 已知a,...
高中數學競賽講義 不等式的證明
14不等式的證明 不等式在數學中占有重要地位，由於其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽和高考的熱門題型.證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結論進行代數變形和化歸，而變形的依據是不等式的性質，不等式的性分類羅列如下 不等式的性質 這是不等式的定義，也是比較法的依據.對乙個不等式進行變形的性質...