一方向導數：
（一）、方向導數的定義：
定義設三元函式在點的某鄰域內有定義 . 為從點出發的射線 . 為上且含於內的任一點 , 以表示與兩點間的距離 . 若極限
存在 , 則稱此極限為函式在點沿方向的方向導數 , 記為或、.
對二元函式在點, 可仿此定義方向導數 .
易見 、和是三元函式在點分別沿軸正向、軸正向和
軸正向的方向導數 .
例1=. 求在點處沿方向的方向導數, 其中
（1） 為方向; （2） 為從點到點的方向.
解 （1）為方向的射線為. 即
.因此 ,
（2） 從點到點的方向的方向數為方向的射線為 .
, ;
.因此 ,
（二）、 方向導數的計算:
定理: 若函式在點可微 , 則在點處沿任一方向的方向導數都存在 , 且
其中、和為的方向余弦.
對二元函式, +, 其中和是的方向角.
注: 由 + +
可見 , 為向量, , 在方向上的投影.
例2 ( 上述例1 )
解 （1）的方向余弦為1
因此 （2） 的方向余弦為
因此 , =.
可微是方向導數存在的充分條件 , 但不必要 .
二梯度 ( 陡度 ):
（一）、梯度的定義
易見 , 對可微函式, 方向導數是梯度在該方向上的投影.
（二）、 梯度的幾何意義: 對可微函式 , 梯度方向是函式變化最快的方向 . 這是因為
其中是與夾角. 可見時取最大值 , 在的反方向取最小值 .
（三）、梯度的運算:
1 .
234 . 5 () =.
證: 4 , .
總結：的方向表示數量場在分三元沿此方向的方向導數達到最大；的模長就是這個最大的方向導數。
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