變化率與導數、導數的計算同步檢測
河北武強中學張連連
a組一、選擇題
1．在平均變化率的定義中，自變數x在x0處的增量δx( )
a．大於零b．小於零
c．等於零d．不等於零
2．如果質點a按照規律s＝3t2運動，則在t0＝3時的瞬時速度為( )
a．6b．18
c．54d．81
3．y＝x2在x＝1處的導數為( )
a．2xb．2
c．2＋δxd．1
4．曲線f(x)＝x3＋x－2在p點處的切線平行於直線y＝4x－1，則p點的座標為( )
a．(1,0)或(－1，－4b．(0,1)
c．(－1,0d．(1,4)
5．設函式f(x)＝(1－2x3)10，則f′(1)＝( )
a．0b．－1
c．－60d．60
6．設點p是曲線y＝x3－x＋上的任意一點，p點處的切線傾斜角為α，則α的取值範圍為( )
ab.∪
cd.二、填空題
7．已知函式y＝x3－2，當x＝2時
8．已知函式f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，則a等於______．
9．過拋物線y＝x2上點a的切線的斜率為
10．設f(x)＝x3－3x2－9x＋1，則不等式f′(x)＜0的解集為________．
三、解答題
11．求下列函式的導數：
(1)y＝xsin2x； (2)y＝ln(x＋)；
(3)y＝； (4)y＝.
12．求滿足下列條件的函式f(x)：
(1)f(x)是三次函式，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f′(x)是一次函式，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
13．已知曲線y＝.
(1)求曲線在點p(1,1)處的切線方程；
(2)求曲線過點q(1,0)處的切線方程；
(3)求滿足斜率為－的曲線的切線方程．
b組一、選擇題
1．已知函式f(x)＝x2＋4上兩點a，b，xa＝1，xb＝1.3，則直線ab的斜率為( )
a．2b．2.3
c．2.09d．2.1
2．函式f(x)在x＝x0處的導數可表示為y′|x＝x0，即( )
a．f′(x0)＝f(x0＋δx)－f(x0)
b．f′(x0)＝li [f(x0＋δx)－f(x0)]
c．f′(x0)＝
d．f′(x0)＝li
3．在曲線y＝x2上切線的傾斜角為的點是( )
a．(0,0b．(2,4)
cd.4．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為( )
a．4x－y－3＝0b．x＋4y－5＝0
c．4x－y＋3＝0d．x＋4y＋3＝0
5．若函式f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)＝( )
a．－1b．－2
c．2d．0
6．設f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈n，則f2011(x)等於( )
a．sinxb．－sinx
c．cosxd．－cosx
[答案] d
二、填空題
7．若f(x)＝，φ(x)＝1＋sin2x，則f[φ(xf(x
8．若y＝x表示路程關於時間的函式，則y′＝1可以解釋為________．
9．已知f′(x0)＝li，f(3)＝2，f′(3)＝－2，則li的值是________．
10．函式y＝x2(x>0)的影象在點(ak，a)處的切線與x軸的交點的橫座標為ak＋1，其中k∈n*，若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是________．
三、解答題
11．在曲線y＝f(x)＝x2＋3的圖象上取一點p(1,4)及附近一點(1＋δx,4＋δy)，求(1) (2)f′(1)．
12．已知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在點(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2.
(1)求直線l2的方程；
(2)求由直線l1、l2和x軸所圍成的三角形的面積．
13．已知曲線c1：y＝x2與c2：y＝－(x－2)2.直線l與c1、c2都相切，求直線l的方程．
參***
a1．[答案] d
[解析] δx可正，可負，但不為0，故應選d.
2．[答案] b
[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴δs＝s(t0＋δt)－s(t0)＝3(3＋δt)2－3·32
＝18δt＋3(δt)2∴＝18＋3δt.
當δt→0時，→18，故應選b.
3．[答案] b
[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，
∴δy＝f(1＋δx)2－f(1)＝(1＋δx)2－1＝2·δx＋(δx)2
∴＝2＋δx
當δx→0時，→2
∴f′(1)＝2，故應選b.
4．[答案] a
[解析] ∵f(x)＝x3＋x－2，設xp＝x0，
∴δy＝3x·δx＋3x0·(δx)2＋(δx)3＋δx，
∴＝3x＋1＋3x0(δx)＋(δx)2，
∴f′(x0)＝3x＋1，又k＝4，
∴3x＋1＝4，x＝1.∴x0＝±1，
故p(1,0)或(－1，－4)，故應選a.
5．[答案] d
[解析] ∵f′(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)′＝10(1－2x3)9·(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，∴f′(1)＝60.
6．[答案] a
[解析] 設p(x0，y0)，
∵f′(x)＝li
＝3x2－，∴切線的斜率k＝3x－，
∴tanα＝3x－≥－.
∴α∈∪.故應選a.
7．[答案] (δx)2＋6δx＋12
[解析] ＝
＝＝(δx)2＋6δx＋12.
8．[答案] 2
[解析] ∵＝＝a，
∴f′(1)＝li＝a.∴a＝2.
9．[答案]
[解析] ∵y＝x2，∴y′＝x
∴k＝×2＝.
10．[答案] (－1,3)
[解析] f′(x)＝3x2－6x－9，由f′(x)＜0得3x2－6x－9＜0，∴x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3.
11．[解析] (1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′
＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.
(2)y′＝·(x＋)′
＝(1＋)＝.
(3)y′＝＝.
(4)y′＝＝＝.
12．[解析] (1)設f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)
則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
由f(0)＝3，可知d＝3，由f′(0)＝0可知c＝0，
由f′(1)＝－3，f′(2)＝0
可建立方程組，
解得，所以f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由f′(x)是一次函式可知f(x)是二次函式，
則可設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
f′(x)＝2ax＋b，
把f(x)和f′(x)代入方程，得
x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1
整理得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1
若想對任意x方程都成立，則需
解得，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
13．[解析] ∵y＝，∴y′＝－.
(1)顯然p(1,1)是曲線上的點．所以p為切點，所求切線斜率為函式y＝在p(1,1)點導數．
即k＝f′(1)＝－1.
所以曲線在p(1,1)處的切線方程為
y－1＝－(x－1)，即為y＝－x＋2.
(2)顯然q(1,0)不在曲線y＝上．
則可設過該點的切線的切點為a，
那麼該切線斜率為k＝f′(a)＝.
則切線方程為y－＝－(x－a)．①
將q(1,0)座標代入方程：0－＝(1－a)．
解得a＝，代回方程①整理可得：
切線方程為y＝－4x＋4.
(3)設切點座標為a，則切線斜率為k＝－＝－，解得a＝±，那麼a，a′.代入點斜式方程得y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)．整理得切線方程為y＝－x＋或y＝－x－.
b1．[答案] b
[解析] f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.
∴kab＝＝＝2.3，故應選b.
2．[答案] d
[解析] 由導數的定義知d正確．故應選d.
3．[答案] d
[解析] 易求y′＝2x，設在點p(x0，x)處切線的傾斜角為，則2x0＝1，∴x0＝，∴p.
4．[答案] a
[解析] ∵直線l的斜率為4，而y′＝4x3，由y′＝4得x＝1而x＝1時，y＝x4＝1，故直線l的方程為：y－1＝4(x－1)即4x－y－3＝0.
5．[答案] b
[解析] 本題考查函式知識，求導運算及整體代換的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2
要善於觀察，故選b.
6．[解析] f0(x)＝sinx，
f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，
f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，
f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，
∴4為最小正週期，∴f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.故選d.
7．[答案] ，1＋sin2
[解析] f[φ(x)]＝＝
＝|sinx＋cosx|＝.
φ[f(x)]＝1＋sin2.
8．[答案] 某物體做瞬時速度為1的勻速運動
[解析] 由導數的物理意義可知：y′＝1可以表示某物體做瞬時速度為1的勻速運動．
9．[答案] 8
[解析] li＝li
＋li.
由於f(3)＝2，上式可化為
li－3li＝2－3×(－2)＝8.
10．[答案] 21
[解析] ∵y′＝2x，∴過點(ak，a)的切線方程為y－a＝2ak(x－ak)，又該切線與x軸的交點為(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即數列是等比數列，首項a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
11．[解析] (1)＝
＝＝2＋δx.
(2)f′(1)＝
＝(2＋δx)＝2.
12．[解析] (1)y′|x＝1
＝li＝3，
所以l1的方程為：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
設l2過曲線y＝x2＋x－2上的點b(b，b2＋b－2)，
y′|x＝b＝li
＝2b＋1，所以l2的方程為：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.
因為l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－，所以l2的方程為：y＝－x－.
3 1變化率與導數 導數的運算生
2014年高考一輪複習 自主 互動 學案 內容 變化率與導數 導數的運算課時 1 編號 s3113 編寫 孟凡志王安拓使用日期 2013 10 2 知識梳理 1 在曲線y x2 1的圖象上取一點 1,2 及附近一點 1 x，2 y 則為 a x 2 b x 2 c x 2d 2 x 2 設y x2 ...
高中數學 變化率與導數1學案 新人教A版選修1 1
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1 1 1變化率問題
交口縣第一中學校高二數學選修2 2 學案 編號 01 時間 2015 03 02主編 尹瑞明，郭改燕審核 高二數學組班級姓名 學習目標 通過具體案例理解函式平均變化率的概念。學習重點 理解函式平均變化率的概念及幾何意義。學習難點 求函式從到的平均變化率。問題導學 1.閱讀教材p72,在 氣球膨脹率 ...