課案（教師用）
11.3 角的平分線的性質(2)
（新授課）
南屏初中葛小麗
【理論支援】
一、本節課是以《數學課程標準》依據設計完成的，它體現了以下基本理念：
1．學生的數學學習應當是現實的，有意義的，這些內容要有利於學生主動地進行觀察、實踐、猜想、驗證、推理與交流等數學活動。內容的呈現應採用不同的表達方式，以滿足多樣化的學習需求，有效的數學活動不能單純的依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。
2.教師應激發學生的學習積極性向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本數學知識與技能、數學思想方法，獲得廣泛的數學活動經驗。
3.數學課程的設計與實施應重視運用現代資訊科技，把現代資訊科技作為學生學習數學和解決問題的強有力工具，致力於改變學生的學習方式，使學生樂意並有更多的精力投入到現實的、探索性的數學活動中去。
二、設計思路:
角平分線的知識在八年級第一學期學習「全等三角形」之前，它的應用僅限於推導數量關係，這節課以角平分線的應用貫穿學生學過的平面幾何內容，複習前面學過的幾何知識，並對利用角平分線推到角與角之間數量關係的題目型別做了總結，與後續課程中角平分線的其它應用形成並列知識結構。便於學生複習、整理、歸納、總結。
在課程的順序安排上，選擇了由易到難，由簡單圖形到複雜圖形的順序。在第一部分，「角平分線與角（直線）」的內容中，題目較為簡單，目的是讓學生複習角平分線作為數量關係的最簡單應用，重點放在總結這類問題的規律上，同時滲透在同類題目中探索規律的方法。第二部分，「角平分線與平行線」中安排了學生對同類圖形的猜想和實驗，且對圖形進行了變式，使學生充分理解角平分線在較為複雜的數量關係推導中的應用，為第三部分的證明題作出了鋪墊。
同時在這道變式題中還涉及到輔助線的做法及由複雜圖形拆解到簡單圖形的數學思想。在第三部分「角平分線與三角形」中，出現了難度較大的猜想、實驗和證明，目的是充分調動學生的積極性，其中一部分題目安排在課後完成是為了讓學生體驗本節課上學習的解決問題的思想方法，使這一方法在學生頭腦中得到深化。
本節課是角平分線應用的一部分內容，在學習了三角形整章知識後還要進行角平分線其他應用的總結。因此應屬於角平分線專題的第一節課
【教學目標】
知識技能：掌握角平分線的性質和判定，並能利用這些方法解決簡單的數學問題和實際問題．
數學思考：經歷**角平分線性質判定的過程，發展學生合情推理能力和演繹推理力．
解決問題：了解角平分線的性質在生活、生產中的應用，進一步發展學生的推理證明意識和能力。
情感態度：結合實際，創造豐富的情境，提高學生的學習興趣，讓他們在活動中獲
得成功的體驗，培養學生的探索精神，樹立學習的信心。
【教學重難點】
1． 重點：角平分線性質和判定的應用．
2． 難點：運用角平分線性質和判定證明及解決實際問題.
【課時安排】
二課時【教學設計】
課前延伸
一、基礎知識填空及答案
1．如圖所示，op平分∠aob，pc⊥oa於c，pd⊥ob於d，
則pc與pd的大小關係為（ ）
不能確定
2．如圖，在△abc中，∠c=900，ad平分∠cab，
bc＝8cm，bd＝5cm，那麼d點到直線ab的距離
是cm。
〖答案〗（1）b2）5
〖設計說明〗通過這兩道題目複習角平分線的性質（1），第一小題其實就是角平分線性質的符號語言，第二小題是對角平分線性質的乙個簡單運用．為進一步學習新的知識打下基礎．
二、預習思考及答案
角平分線性質的逆命題是什麼？猜猜該逆命題是否正確呢？
〖答案〗到乙個角的兩邊距離相等的點是否一定在這個角的平分線上．
〖設計意圖〗通過判斷逆命題是否正確,讓學生帶著問題引入新課，調動學生的求知慾，激發學生學習新知識的興趣．在新教材的教學中，使學生回憶並注意可以誘發的解決一連串的疑問的舊有經驗．為掌握新知打下基礎．
課內**
一、匯入新課
創設情境，提出問題
如圖，要在s區建乙個集貿市場，使它到公路、鐵路
距離相等，離公路與鐵路交叉處500公尺。這個集貿市場應
建在何處（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20000）？
問題：1．集貿市場建於何處？
2．比例尺為1：20000是什麼意思？你能在圖上找出s點的位置嗎？
〖答案〗1．這個集貿市場應該建在公路與鐵路形成的角的平分線上，並且要求離角的頂點500公尺處．
2．在紙上畫圖時，我們經常在厘公尺為單位，而題中距離又是以公尺為單位，這就涉及乙個單位換算問題了．1m=100cm，所以比例尺為1：20000，其實就是圖中1cm表示實際距離200m的意思．作圖如下：
第一步：尺規作圖法作出∠aob的平分線op．
第二步：在射線op上擷取oc=2.5cm，確定c點，c點就是集貿市場所建地了．
設計說明〗通過實際問題的引入，讓學生從生活中發現數學問題，激發學生的求知慾．通過對數學問題的討論使學生知道數學**於生活,生活離不開數學,激發學生學習的積極性．
二、探索新知
1．問題：角平分線性質逆命題是否正確呢？你能給出證明嗎？
〖答案〗已知：如圖,qd⊥oa，qe⊥ob，點d、e為垂足，qd＝qe．求證：點q在∠aob的平分線上
證明：∵qd⊥oa，qe⊥ob
qeo=90°,∠qdo=90°
又∵qd＝qe ，oq=oqrt△qeo≌rt△qdo
∴∠qoe=∠qod
∴點q在∠aob的平分線上．
〖設計說明〗通過該問題讓學生確信逆命題的正確性，並讓學生試口述該性質，加深學生的印象．這個提問設定為學生區分用哪個性質給出了說明，同時又驗證了學生猜想的正確性，使學生獲得成功的體驗．
2．揭示課題，整理概念，板書
角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．
用符號語言表示為：∵ qd⊥oa，qe⊥ob，qd＝qe．∴點q在∠aob的平分線上．
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵ qd⊥oa,qe⊥ob,點q在∠aob的平分線上∴ qd＝qe．
總結:應用角平分線的性質，就可以省去證明三角形全等的步驟，使問題簡單化．所
以若遇到有關角平分線，又要證線段相等的問題，我們可以直接利用性質解
決問題．
3．出示例題
如圖，△abc的角平分線bm、cn相交於點p．
求證：點p到三邊ab、bc、ca的距離相等．
〖點撥方法〗點p到ab、bc、ca的垂線段pd、pe、pf的長就是p點到三邊的距離，也就是說要證：pd=pe=pf．而bm、cn分別是∠b、∠c的平分線，根據角平分線性質和等式的傳遞性可以解決這個問題．
證明：過點p作pd⊥ab，pe⊥bc，pf⊥ac，垂足為d、e、 f．
∵bm是△abc的角平分線，點p在bm上．
∴pd=pe．
同理pe=pf．
∴pd=pe=pf．
即點p到三邊ab、bc、ca的距離相等．
**：連線ap，請問ap平分∠bac嗎？（能否給出簡單證
明）．〖設計說明〗該例題運用了角平分線的兩個性質，起到鞏固新
知的作用．
三、課堂反饋訓練
1．已知：如下圖，在△abc的外角∠cbd和∠bce的平分線相交於點f，
求證：點f在∠dae的平分線上.
〖點撥方法〗要證明點在角平分線上，那就是要證明點到角兩邊的距離相等，那應該用用什麼方法呢?
〖答案〗證明：過點f作fg⊥bc,fm⊥ae,fn⊥ad垂足分別為g、m、n.
fb、fc分別為∠cbd、∠bce的角平分線
fg = fn, fg =fm
fn =fm
點f在∠dae的平分線上.
2．如下圖所示，直線、、表示三條相互交叉的公路，現要建乙個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的位址有： ( )
a.一處 b.兩處 c.三處 d.四處
〖點撥方法〗如上圖此題可以用教科書115頁第6題的方法來解決，但沒有「三條公路圍成的一塊平地上修建」的限制，因此滿足要求的位址共有四處.
〖答案〗d.
〖設計說明〗引導學生對問題進行變式，既培養學生發散性思維能力，同時也培養學生的辨別能力，讓學生學會比較，養成良好的學習習慣，培養嚴謹的思維能力．
四、小結歸納
今天你又學到了哪些新的知識?有什麼收穫?
〖設計說明〗發揮學生的主體意識，培養學生的歸納能力.
課後提伸
1.必做題：教科書第22頁習題11.3第3、5題.
2.選做題：
(1)與相交的兩條直線距離相等的點在
a.一條直線上 b.兩條互相垂直的直線上
c.一條射線上 d.兩條互相垂直的射線上
〖答案〗 b
3.備選題：
如圖，在△abc中，ab=ac，ad是△abc的角平分線，de⊥ab，df⊥ac，垂足分
別為e、f，下面給出四個結論：①da平分∠edf；②ae=af；③ad上的點到b、c
兩點的距離相等；④到ae、af距離相等的點，到de、df的距離也相等，其中正確的結論有：( )
a.1個 b.2個 c.3個 d.4個
〖答案〗d
角平分線的性質
新課 什麼是角的平分線？怎樣畫乙個角的平分線？一 角平分線的性質定理 角平分線的性質定理角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.證明角平分線的性質定理時，我們將用到三角形全等判定公理的推論 兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等 aas 已知 如下圖，oc是 aob的平分線，p是oc上任意一點...
角平分線的性質 1訓練案
第8課時 1.4角平分線的性質 1 訓練案 班級小組姓名 1.角平分線上的點到距離相等 到乙個角的兩邊距離相等的點都在 2.若 aob的平分線上一點m到oa的距離為1.5 cm，則點m到ob的距離為 3.如圖，abc中，c 90 ac bc，ad平分 cab交bc於d，de ab於e，且ab 6，則...
角平分線的性質教案
第十一章角平分線的性質 一學習目標 1.了解角是軸對稱圖形和角平分線的定義，會用尺規作乙個角的平分線 2.掌握角平分線的性質和判定 3.綜合應用角的平分線的性質和判定解決相關問題。二重點 難點 重點 角平分線的性質和判定。難點 角平分線的性質和判定的綜合應用。三考點分析 對角平分線的定義及角平分線的...