第十一章角平分線的性質
一學習目標
1. 了解角是軸對稱圖形和角平分線的定義，會用尺規作乙個角的平分線；
2. 掌握角平分線的性質和判定；
3. 綜合應用角的平分線的性質和判定解決相關問題。
二重點、難點
重點：角平分線的性質和判定。
難點：角平分線的性質和判定的綜合應用。
三考點分析
對角平分線的定義及角平分線的作法進行單獨命題在中考中是比較少見的，但這兩個知識點屬於基礎知識，出題者往往將其與線段的垂直平分線、等腰三角形、四邊形等知識綜合在一起進行命題，題型多為作圖題，屬中檔難度題。
角平分線的性質是本章的重要內容，它是除了用三角形全等證明線段相等之外的又乙個證明線段相等的重要方法。中考命題中，多將角平分線的作法及性質與其他知識點結合在一起進行考查，題型多為選擇、填空、作圖題，分值在3~6分。這就要求學生必須熟練掌握用尺規作圖法作角平分線的要領，並會應用角平分線的定義、性質解決相關問題。
四課時安排
安排一小時
五教學方法
**歸納法，實踐法
六教學過程
1.知識梳理
1） 角平分線的定義
2）角平分線的尺規作法
3） 角平分線的性質
4）角平分線的判定
2.新授
知識點一作角平分線
例1：如圖，已知點為直線上一點，過作直線，使於。
思路分析：
由於ab是直線，要求作，實際上就是要作平角的平分線。根據角平分線的尺規作圖法就可以作出直線cm。
解答過程：
作法：1、以c為圓心，適當的長為半徑畫弧，與ca、cb分別交於點d、e；
2、分別以d、e為圓心，大於的長為半徑畫弧，使兩弧交於點m；
3、作直線cm。
所以，直線cm即為所求。
解題後的思考：
此題要求「大於的長為半徑」的理由是：半徑如果小於，則兩弧無法相交；而半徑如果等於，則兩弧交點位於c點處，無法作出直線cm。
在數學學習中，不光要知道怎麼做題，還要知道為什麼要這樣做。
小結：本題屬於作圖題。在解決作圖題時要求做到規範地使用尺規，規範地使用作圖語言，規範地按照步驟作出圖形，並且作圖的痕跡要保留，不能擦掉。
知識點二角平分線的性質
角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
角平分線性質的符號語言：
在的平分線上
於，於例2：如圖，是的角平分線，，，垂足分別是。連線，交於點。說出與之間有什麼關係？證明你的結論。
思路分析：
兩條線段之間的關係有長度和位置兩種關係，因此我們可以從這兩方面去猜測判斷。
角是以其平分線為對稱軸的軸對稱圖形，此題可以利用這一點進行判斷。
解答過程：
，且證明： 平分
，，垂足分別是
在和中（hl）
在△dge和△dgf中
（sas）
， ，且。
解題後的思考：
通過此題我們知道，證明兩條線段相等，除了利用全等三角形的性質外，還可以利用角平分線的性質。這樣我們又多了一種證明線段相等的辦法。
在利用角平分線的性質時，「角平分線」和「兩個垂直」這兩個條件缺一不可。
例3：如圖，是的外角的平分線上一點，於，於，且交的延長線於。
求證：。
思路分析：
由已知條件，可以利用角平分線的性質得到de＝df。而要證明ce＝cf，只要證明以它們為邊的兩個三角形全等即可。將兩者結合起來分析就不難找到思路。
解答過程：
cd是的平分線，於，於
， 在和中
（hl）
解題後的思考：
利用角平分線的性質可以證明線段相等，而線段相等可能又是證明其他結論所需要的條件。
小結：運用角平分線的性質時應注意以下三個問題：
（1）這裡的距離指的是點到角的兩邊的垂線段的長；
（2）該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，不需要再用全等三角形的性質；
（3）使用該結論的前提條件是圖中有角平分線、有兩個垂直。
知識點三角平分線的判定
到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。
角平分線判定的符號語言：
於，於且
在的平分線上
（或寫成是的平分線）
例4：如圖，，於，於，和交於點。
求證：平分。
思路分析：
要證平分，已知條件中已經有兩個垂直，即已經有點到角的兩邊的距離了，只要證明這兩個距離相等即可。而要證明兩條線段相等，可利用全等三角形的性質來證明。
解答過程：
於，於在和中
（aas）
又於，於
平分。解題後的思考：
判定角的平分線時若題目中只給出乙個條件或，，那麼得出平分這一結論是錯誤的。
例5：如圖，是上兩點，是上兩點，且，，試問點是否在的平分線上？
思路分析：
一方面，要判斷點是否在的平分線上，只要判斷點p到角的兩邊距離是否相等即可；另一方面，由已知條件中三角形面積和底邊相等可以推導出高相等。這樣已知和結論就聯絡起來了。
解答過程：
證明：過點p作於d，於e，，而
又又於d，於e
在的平分線上。
解題後的思考：
利用面積證明相關結論是一種常見方法。面積法有著其他方法所不具有的優勢，比如它不要求考慮線段的位置關係。
小結：角平分線的判定與角平分線的性質是互逆的。
判定角的平分線要滿足兩個條件：「垂直」和「相等」。若已知「垂直」則設法證明「相等」，若已知「相等」則設法證明「垂直」。
知識點四角平分線的綜合應用
例6：如圖，在中，，平分，於，在上，。求證：。
思路分析：
由已知條件很容易得到dc＝de；要證明cf＝eb，只要證明其所在三角形全等即可，再由此去找全等條件。
解答過程：
平分，，
在與中（hl）
。解題後的思考：
掌握角平分線的性質和判定固然重要，但學會分析題目所給條件更是解決問題的關鍵。
例7：如圖，已知在中，，。
求證：平分。
思路分析：
有兩種方法證明平分：一是直接利用定義證明；二是利用角平分線的判定，證明點d到角的兩邊距離相等。
仔細觀察，前者需要證明三角形全等，但此題使用全等條件中的「邊邊角」，無法證明兩個三角形全等。後者通過作垂線構造出三角形，其條件足以證明兩個三角形全等。
解答過程：
過點d作於e，於f
故， 在與中
（aas）
又於e，於f
平分。解題後的思考：
當題目中有角平分線這一條件時，解題時常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線；當有垂線這一條件時，常作輔助線得到角的平分線。
小結：用角平分線證明線段相等或角相等時，常常與證明三角形全等配合使用，證明時要先觀察需證明的線段或角（或通過等量代換得到的線段或角）在哪兩個可能全等的三角形中。
提分技巧
本節課我們主要學習了角平分線的性質和判定，它們都可以通過三角形全等得出證明；這樣，我們又得到了證明線段相等或角相等的一種方法。在解題中若能用它們直接得出線段或角相等時，就不需要再通過證明三角形全等來間接證明，這樣可以減少這一條件麻煩。
在利用角平分線的性質時，可由「角平分線」和「距離」這兩個條件得出線段相等，這兩個條件缺一不可；同理，在利用角平分線的判定這一條件時，可由「距離」和「線段相等」這兩個條件得出角平分線，這兩個條件也是缺一不可的。
3．鞏固練習
練習1，2，3…….
4.作業
七板書設計
八教學反思
（答題時間：45分鐘）
一、選擇題：
1. 到三角形三條邊的距離都相等的點是這個三角形的（ ）
a. 三條中線的交點b. 三條邊的垂直平分線的交點
c. 三條高的交點d. 三條角平分線的交點
2. 在中，，平分，交於點，若，且，則點到的距離為（ ）
a. 18b. 16c. 14d. 12
3. 如圖，直線表示三條互相交叉的公路，現要修建乙個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離都相等，則可供選擇的位址有（ ）
a. 一處b. 兩處c. 三處d. 四處
4. 如圖，在中，，是的平分線，交於，若，，則的面積是（ ）
a. nbcd.
5. 如圖，中，，點為的三條角平分線的交點，，，，點分別是垂足，且，，，則點到三邊的距離分別等於（ ）
a. 2、2、2 b. 3、3、3 c. 4、4、4 d. 2、3、5
二、填空題：
6. 如圖，已知分別是，的平分線，，，垂足分別為，則與有怎樣的數量關係
7. 已知中，，平分，，點到的距離等於5.6，則的長為
8. 如圖，bd是的平分線，於e，於f，，，，則de的長是
三、解答題：
9. 如圖， //，，是的中點，平分。求證：平分。
10. 如圖，已知在四邊形中，，平分，，為垂足。求證：。
一、選擇題：
1. d 2. c 3. d 4. b 5. a
二、填空題：
6. 7.
8. 解析： ，，
，。三、解答題：
9. 證明：過點e作於f
平分，，
又又，平分。10. 證明：延長ab，過c作，h為垂足
平分，且，
又，，在與中，
（aas）
又， 在與中，
（aas）
角平分線的性質教案
教學設計角平分線的性質中心發言人 xxw 教學目標 1 利用三角形全等得出 掌握角平分線的性質並運用性質進行證明 2 角平分線的畫法 教學重點 利用三角形全等得出 掌握角平分線的性質並運用性質進行證明角平分線的畫法的基本作圖 教學難點 角平分線的性質並運用性質進行證明 集體備教 個性補教 教學過程 ...
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李宅中學鄭曉玲 一 教材分析及教學目標的定位 本節課選自新人教版教材 數學 八年級上冊第十二章第三節，是在本冊第十一章第一節學習了角平分線的概念和前面幾節課剛學完三角形全等的判定的基礎上進行教學的 角平分線的性質為證明線段或角相等開闢了新的途徑，簡化了證明過程，同時也是全等三角形知識的延續，又為後面...