【高考試題鑑賞 2012浙江文】
已知a∈r,函式
(1)求f(x)的單調區間
(2)證明:當0≤x≤1時, f(x) + >0.
【解析】(1)由題意得,
當時,恆成立,此時的單調遞增區間為.
當時, ,此時函式的單調遞增區間為.
(2)由於,當時,.
當時,.
設,則.
則有所以. 當時,.
故. 熱點一：通過參變數研究函式的性質
例1：（2013北京東城區聯考）已知：函式，其中．
（ⅰ）若是的極值點，求的值；
（ⅱ）求的單調區間；
（ⅲ）若在上的最大值是，求的取值範圍．
【解】（ⅰ）解：． 依題意，令，解得
經檢驗，時，符合題意
（ⅱ）解：① 當時，．
故的單調增區間是；單調減區間是．
② 當時，令，得，或．
當時，與的情況如下：
所以，的單調增區間是；單調減區間是和．
當時，的單調減區間是
當時，，與的情況如下：
所以，的單調增區間是；單調減區間是和．
③ 當時，的單調增區間是；單調減區間是．
綜上，當時，的增區間是，減區間是；
當時，的增區間是，減區間是和；
當時，的減區間是；
當時，的增區間是；減區間是和．
（ⅲ）由（ⅱ）知時，在上單調遞增，由，知不合題意．
當時，在的最大值是，由，不合題意
當時，在單調遞減，則在上的最大值是，符合。
所以，在上的最大值是時，的取值範圍是．
熱點二：利用參變數研究函式零點
例2：已知函式.
（1）求的極值； （2）若函式的圖象與函式的圖象在區間上有公共點，求實數a的取值範圍.
【解】（1）的定義域為,，
令得，當時， 是增函式；
當時， 是減函式，
∴在處取得極大值，， 無極小值
（2）①當時，即時，
由（1）知在上是增函式，在上是減函式，
,又當時，，
當時，；當時，；
與圖象的圖象在上有公共點，
，解得，又，所以.
②當時，即時，在上是增函式，
∴在上的最大值為，
所以原問題等價於，解得.
又,∴無解綜上，實數a的取值範圍是.
熱點三：恆成立問題和存在問題中參變數的取值範圍
例3：(2013山東師大附中月考) 已知函式
（ⅰ）求的單調區間；
（ⅱ）如果當且時，恆成立，求實數的範圍.
【解】（1）定義域為
設① 當時，對稱軸，，所以在上是增函式
② 當時，，所以在上是增函式
③ 當時，令得
令解得；令解得
所以的單調遞增區間和；的單調遞減區間
（2）可化為（※）
設，由（1）知：① 當時，在上是增函式
若時，；所以
若時，。所以
所以，當時，※式成立
② 當時，在是減函式，所以※式不成立
綜上，實數的取值範圍是．
【變式1】
已知函式f（x）=ax-（2a+1）x+2lnx(a∈ｒ).
（1）求f（x）的單調區間；
（2）設g（x）=x-2x，若對任意x∈（0，2]，均存在x∈（0，2]，使得
f（x）【解】（1）f′(x)=
∵x>0 ∴令f′(x)>0得ax-(2a+1)x+2>0
(ⅰ) a=0時，得x<2 ∴f(x)在（0，2）在（2，+）
a0時，f′(x)>0得(x-2)(ax-1)>0
(ⅱ） a<0時，f′(x)>0得(x-2)(x-)<0
∴f(x)在(0,2)在（2，+）
(ⅲ) a>0時f′(x)>0得(x-2)(x-)>0
①=2 即a=時，f(x)在（0，+）
②>2 即0③<2 即a>時，f(x)在（0，）在（2, +）在（，2）
（2）由題意知 f（x）∵g (x)=g(2)=0 ∴f (x)<0, x∈(0,2]
由（2）知①a≤時 f(x)在(0,2] ∴f (x)=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2<0
∴a>ln2-1 ∴ln2-1②a>時，f(x)在（0，）在（，2）
∴f (x)=f()=·-(2a+1)·+2ln=-2--2lna=2-2lna-=-2(1+lna)-
∵a> ∴lna>ln>ln=-1 ∴f()<0 ∴a> 綜上 a>ln2-1
【備選練習題】
1.「」是「方程至少有乙個負根」的（ ）
a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充要條件 d.既不充分又不必要條件
【解a】當時，方程等價為，解得，滿足條件.當時，令，因為，要使至少有乙個負根，則滿足或，解得或，綜上方程至少有乙個負根的條件為.所以「」是「方程至少有乙個負根」 充分不必要條件，選a.
2.(2013衡水中學月考) 已知函式，對任意的
恆成立，則取值範圍 .
【解析】因為函式是奇函式，且在定義域上單調遞增，所以由得，即，所以，當時，不等式恆成立.當時，，恆成立，此時，，當時，恆成立，此時，，即，綜上.
3.已知函式f（x）=若f（x）在（-，+）上單調遞增，則實數a的取值範圍為________。
【解析】要使函式在r上單調遞增，則有，即，所以，解得，即的取值範圍是。
4.若方程的兩根滿足一根大於2，一根小於1，則m的取值範圍是_____.
【解】設，則，即，所以，即.
5.已知函式
（1）當時，求函式的單調區間；
（2）已知對定義域內的任意恆成立，求實數的範圍.
【解】-----2分
（ⅰ）當時，的變化情況如下表：
所以函式的單調遞增區間是，單調遞減區間是………………6分
（ⅱ）由於，顯然時，，此時對定義域內的任意不是恆成立的9分
當時，易得函式在區間的極小值、也是最小值即是，此時只要即可，解得，實數的取值範圍是
6.已知函式，
（ⅰ）若，求函式的極值；
（ⅱ）設函式，求函式的單調區間；
(ⅲ)若存在，使得成立，求的取值範圍.
【解】（ⅰ）的定義域為
當時，，
（iii）由題意可知，在上存在一點，使得，
即函式在上的最小值小於零.
由（ⅱ）可知
①當，即時，在上單調遞減，
綜上討論可得所求的取值範圍是：或.
7.設函式.
（ⅰ）當時，求的極值；
（ⅱ）當時，求的單調區間；
（ⅲ）當時，對任意的正整數，在區間上總有個數使得
成立，試問：正整數是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由.
【解】(i)函式的定義域為
當時，，∴.由得.
，隨變化如下表:
由上表可知，，沒有極大值.
（ii）由題意，.
令得若，由得；由得.
若，1 當時，，或，；
，.2 當時，.
③當時，，或，；，.
綜上，當時，函式的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
當時，函式的單調遞減區間為，，單調遞增區間為；
當時，函式的單調減區間是,
當時，函式的單調遞減區間為，，單調遞增區間為.
(ⅲ) 當時，，.
由題意，恆成立.
令，且在上單調遞增，
，因此，而是正整數，故，
所以，時，存在，時，對所有滿足題意. ∴.
8.已知函式在處取得極值.
(1)求實數的值；
(2)若關於的方程在區間上恰有兩個不同的實數根,
求實數的取值範圍；
(3)證明:對任意的正整數,不等式都成立.
【答案】解:(1
時,取得極值
故解得經檢驗符合題意.
（2）由知由,得
令則在區間上恰有兩個不同的實數根等價於在區間上恰有兩個不同的實數根
當時,,於是在上單調遞增;
當時,,於是在上單調遞減
依題意有,
解得(3) 的定義域為,由(1)知,
令得,或(捨去), 當時, ,單調遞增;
當時, ,單調遞減. 為在上的最大值
,故(當且僅當時,等號成立)
對任意正整數,取得, …………10分
. 故.
（方法二）數學歸納法證明：
當時，左邊，右邊，顯然，不等式成立.
假設時，成立，
則時，有.
做差比較：
構建函式，則，
單調遞減，.
取， 即，亦即，
故時，有，
不等式成立. 綜上可知，對任意的正整數,不等式都成立.
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