【題型方法總結】
（一）導數與不等式證明
例1.已知函式的圖象在處的切線過點．
（ⅰ）討論函式的單調性；
（ⅱ）若函式有兩個極值點，．證明：．
練習1．已知函式．
（1）當時，判斷函式的單調性；
（2）若關於的方程有兩個不同實根，求實數的取值範圍，並證明．練習2．已知函式.
（1）求函式的單調區間；
（2）設，求證：（參考資料：）．
（二）引數討論
例2. 已知，設函式若關於的不等式在上恆成立，則的取值範圍為（ ）a． b． c． d．
練習1. 已知函式.
（1）求函式的單調區間；
（2）若方程有兩個不相等的實數根，求證：
（三）導數與數列
例3. 已知函式.
（ⅰ）討論的單調性；
（ⅱ）證明：（，且）.
練習1. 設函式，對於，都有成立.
（ⅰ）求實數的取值範圍；
（ⅱ）證明：（其中是自然對數的底數）.
練習2.已知函式，.
（1）若，在上恆成立，求的取值範圍；
（2）設數列，為數列的前項和，求證：；
（3）當時，設函式的圖象與函式的圖象交於點，，過線段的中點作軸的垂線分別交，於點，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫座標；若不存在，請說明理由．
（四）三角函式的導數
例4. 已知函式，，
（i）求函式的單調區間；
（ii）若在恆成立，求的取值範圍；
（iii）當，時，證明：
（五）極值點偏移
例5. 已知函式.
（1）試討論的單調區間；
（2）若時，函式的影象與軸交於，兩點，且，求證：.
練習1．已知函式，其中，，函式，其中為自然對數的底數.
（i）判斷函式的單調性；
（ii）設， 是函式的兩個零點，求證：；
（iii）當，時，試比較與的大小並證明你的結論.
練習2.已知函式有兩個極值點，.
（1）求的取值範圍；
（2）求證：.
答案與解析
例1：【答案】（ⅰ）見解析（ⅱ）見解析
【解析】由題意的定義域是，，
故，，故切線方程是：，
又切線過，故，解得：，故；
ⅰ，當時，，在遞增，
當時，令，解得：或舍，
在遞增，在遞減，
綜上，時，在遞增，
時，在遞增，在遞減；
ⅱ證明：，故，
有兩個極值點，，即有2個相異實根，，
，，即，
，令，，，，
在遞減，，．
練習1：【答案】（1）在上單調遞增；（2）詳見解析.
【解析】（1）時，，
故，在上單調遞增．
（2）由題意可知有兩解，
設直線與相切，切點座標為，
則，解得，
，即．∴實數的取值範圍是．
不妨設，則，
兩式相加得：，
兩式相減得：，
，故，要證，只需證，
即證，令，故只需證在恆成立即可．
令，則，
∴在上單調遞增，
，即在恆成立．
．練習2：【答案】(1) 單調遞減區間為；函式單調遞增區間為．；(2)見證明
【解析】（1）解：，
∴時，，函式單調遞減；時，，函式單調遞增．所以單調遞減區間為；函式單調遞增區間為．
（2）證明：.
∴由（1）得當時，函式單調遞增，
函式在上單調遞增，
故在單調遞增．
∵，，存在，使得.
當時，，當時，，
∴在單調遞減，在單調遞增，
∴當時，函式取得極小值即最小值．
∴因為函式與在上單調遞減，
所以在上單調遞減，且，
∴.例2：【答案】c
【解析】∵，即，
（1）當時，，
當時，，
故當時，在上恆成立；
若在上恆成立，即在上恆成立，
令，則，
當函式單增，當函式單減，
故，所以。當時，在上恆成立；
綜上可知，的取值範圍是，
故選c。
練習1：【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】（1） .
當時，，函式在上單調遞增，
所以函式的單調增區間為.
當時，由得；由得，
所以函式的單調增區間為，單調減區間為.
（2）因為是方程的兩個不等實根，所以.不妨設，則，，兩式相減得,
即.又，當時，；當時，.
故只要證明即可，即證，
即證,即證.
設，令，則,
則在為增函式，又,
所以時，總成立，得證.
例3：【答案】（ⅰ）在上單調遞增，在上單調遞減.（ⅱ）見證明【解析】（ⅰ）函式的定義域為，.
∵在上，，在上，.
∴在上單調遞增，在上單調遞減.
（ⅱ）由（ⅰ）知，
∴，即，當且僅當時取等號.
從而，，，…，，
∴，∴，
∴.練習1：【答案】（ⅰ）（ⅱ）見證明
【解析】（ⅰ），
當時，由，得，由，得，
在上單調遞增，在上單調遞減.
，都成立，.
又，所以由，得.；
的取值範圍是.
（ⅱ）當時，，即.
.當時，.
令，則.且時，.，.
；即恆成立.
練習2：【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）不存在.
【解析】（1）當時，，即，
設，則.
若，顯然不滿足題意；
若，則時，恆成立，
所以在上為減函式，有在上恆成立；
若，則時，，時，
所以在上單調遞增．
∵，∴時，，不滿足題意．
綜上，時在上恆成立．
（2）由（1）得在上恆成立，
令有，，
則，∴，
即.（3），設點的座標是，，且，
則點的中點座標為，
在點處的切線斜率為，
在點處的切線斜率為，
假設在點處的切線與在點處的切線平行，則，即.
所以 ，
所以.設，則，. ①
令，，則.
因為，所以，所以在上單調遞增．
故，則.
這與①矛盾，假設不成立．
故不存在點，使在點處的切線與在點處的切線平行．例4：【答案】（i）見解析（ii）（iii）見解析【分析】（i）求導後，當時，恆成立，可知單調遞增；當時，求出的解，從而可判斷出的符號，從而得到的單調區間；（ii）當時，可知；當時，，利用導數求解出使，的最大值，從而；當時，，可得，綜合上述結果，可求得；（iii）由（ii）可知只需證得在上恆成立即可；建構函式，利用導數可證得結果，從而原不等式成立.
【解析】（i）由題意知：
（1）當時，恆成立在定義域上單調遞增
（2）當時，令，解得：
則，，變化情況如下表：
的單調減區間為：，單調增區間為：
（ii）（1）當時，原不等式化為：恆成立，可知（2）當時，則，令
則令，則
當時，，則
在上單調遞減
即在上單調遞減
當時，綜上所述：
（iii）（1）當時，，則
由（ii）可得時，
則只需證明：成立
令當時，
在上單調遞增
例5：【答案】（1）見解析；（2）見證明
【解析】（1）
①當時，， 在上是增函式.
②當時，由得.
當時，；
當時，，
的單調遞增區間是，單調遞減區間是.
（2）由（1）可知：當時，1是的極值點，
建構函式，
在上單調遞增，所以,
又，，又 又在是增函式，
練習1：【答案】（i）在上遞減，在上遞增.（ii）見解析（iii）答案見解析.
【解析】（i），，
①當時，，，∴，∴在上遞減；
②當時，，，∴，∴在上遞增.
綜上可知，在上遞減，在上遞增.
（ii）不妨設，由題意及（i）可知，，，且，令，，則
，即，∴，
，∴， ，
由（i）知在上遞增，∴，∴.
（iii）當，時，，
在上遞減，在上遞增..
，，令，得，
所以函式在區間單調遞增，在區間單調遞減.
.綜上所述，當且僅當時等號成立.
練習2：【答案】（1）（2）見證明
【解析】（1）因為，
所以，令，則，
當時，不成立；
當時，，令，
所以，當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
又因為，當時，，當時，，
因此，當時，有2個極值點，
即的取值範圍為.
（2）由（1）不妨設，且，
所以，所以，
要證明，只要證明，
即證明，
設，即要證明在上恆成立，
記，，所以在區間上單調遞減，
所以，即，即.
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