二次函式影象平移的一般解法
二次函式圖象平移常見的方法是，將拋物線解析式通過配方寫成頂點形式的表示式，根據在平移過程中頂點位置的變化，寫出新拋物線的頂點座標，從而確定出它的解析表示式．解題的困難在於需要較強的直觀想象能力和快速畫框架圖能力和逆向逆向思維能力。而利用相對運動的知識，則可以得到乙個解此類問題的十分簡單明瞭的方法
1．平移規律
設在直角座標系xoy中有一拋物線y＝f（x）,現將此拋物線向右平移（x軸的正方向）m（m＞0）個單位，再向上平移（y軸的正方向）n（n＞0）個單位。按照相對運動的觀點，可以視拋拋物線未動,而將座標係向相反方向平移，即y軸向左平移m個單位，x軸向下平移n個單位，這樣得到的新座標系我們記為x′o′y′，（如圖）為了敘述的方便我們將座標系xoy下的點記為（x , y）, 新座標系x′o′y′下的點記為（x′,y′），於是有
將這一關係式變形,可得
用新座標（x′,y′）表示舊座標（x , y）的表示式：
將此式代入拋物線的解析式y＝f（x）,得
y′－n＝f（x′－m）
這個式子就是拋物線在新坐繫下x′o′y′中的的解析式。
考慮到題目中是要求將拋物線平移的，因而仍需將點（x′,y′）換成（x , y），於是我們就得到了平移之後的拋物線的解析式為 y－n＝f（x－m）
這樣就可以得到乙個規律：要獲得把拋物線y＝f（x）向右平移m個單位，再向上平移n個單位所得的新拋物線解析式，只需將原拋物線的解析式y＝f（x）中的 x, y分別用x－m, y－n替換即可．
類似地,可得：
把拋物線y＝f（x）向右平移m個單位，再向下平移n個單位所得的新拋物線解析式為y＋n＝f（x－m）
把拋物線y＝f（x）向左平移m個單位，再向上平移n個單位所得的新拋物線解析式為y－n＝f（x＋m）
把拋物線y＝f（x）向左平移m個單位，再向下平移n個單位所得的新拋物線解析式為y＋n＝f（x＋m）
這些規律又可總結為左右平移「x右減左加」，上下平移「y上減下加」
說明：利用這一規律寫平移後的函式圖象的解析式只需要考查是用x＋m 還是x－m 替換y＝f（x）中x，是用y＋n還是y－n替換y＝f（x）中y,使用起來很方便，此法也適用於直線等函式圖象的平移。
２．解題舉例
例1拋物線y＝－2x2－4x－3向左平移3個單位，再向下平移4個單位，求所得拋物線的解析式．
解：由於拋物線向左移平移3個單位，再向下移4個單位，根據「x右減左加，y上減下加」的規律，分別用x＋3,y＋4去替換y＝－2x2－4x－3中的x,y就可以得平移後的拋物線的解析式，所以平移後的拋物線的解析式為y＋4＝－2（x＋3）2－4（x＋3）－3
即y＝－2x2－16x－34
例2 將一拋拋物線向左平移2個單位，再向上平移3個單位所得的拋物線的解析式為y＝x2－2x＋3,求此拋物線的解析式．
解：所求拋物線可看作是將拋物線y＝x2－2x＋3向右平移2個單位，再向下平移3個單位所得。根據「x右減左加，y上減下加」的規律，分別用x－2， y＋3去替換y＝x2－2x＋3中的x,y就可以得平移後的拋物線的解析式，所以，
此拋物線的解析式為y＋3＝（x－2）2－4（x－2）＋3 即y＝x2－8x＋9
例3、求將直線y＝5x－1先向左平移3個單位，再向下平移2個單位後所得的直線的解析式．
解：由於直線y＝5x－1先向左平移3個單位，再向下平移2個單位，根據「x右減左加，y上減下加」可知用x＋3，y＋2分別替換y＝5x－1中的x，y可得所求拋物線的解析式．因此，所求拋物線的解析式為y＋2＝5（x＋3）即y＝5x＋13
例4、已知兩條拋物線：
c1：y＝x2－2x＋5 c2：y＝x2－4x＋7
問拋物線c1經過怎樣的平移後與拋物線c2重合？
解：設用x＋m，y＋n分別替換c1中的x，y得拋物線c2，於是c2的解析式又可表示為
y＋n＝（x＋m）2－2（x＋m）＋5
即y＝x2＋（2m－2）x＋m2－2m－n＋5
比較係數，得
2m－2＝－4
m2－2m－n＋5＝7
解之，得 m＝－1 n＝1
由此可知，用 x－1，y＋1分別替換c1中的x，y就可得拋物線c2的解析式，根據「x右減左加，y上減下加」可知拋物線c1先向右平移1個單位，再向下平移1個單位後能與拋物線c2重合．
例5 已知把直線y＝－3x＋2平移後經過點a（－4，2），求平移後得到的直線的解析式，並說明是向左還是向右平移幾個單位得到的．
解：設用x＋m替換直線y＝－3x＋2中的x後得到的直線為y＝－3（x＋m）＋2即y＝－3x－3m＋2。又平移後的直線經過a（－4，2），於是有
3×（－4）－3m＋2＝2,
解之，得 m＝4。
因此平移後得到的直線的解析式為y＝－3x－10，它是將直線y＝－3x＋2向左平移4個單位得到的。 .
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