一、教學分析
本節是本章的入門課,概念較多,但難度不大.學生可根據原有的位移、力等物理概念來學習向量的概念,結合圖形實物區分平行向量、相等向量、共線向量等概念.由於向量**於物理,並且兼具「數」和「形」的特點,所以它在物理和幾何中具有廣泛的應用,可通過幾個具體的例子說明它的應用.
位移是物理中的基本量之一,也是幾何研究的重要物件.幾何中常用點表示位置,研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.位移簡明地表示了點的位置之間的相對關係,它是向量的重要的物理模型.
力是常見的物理量.重力、浮力、彈力等都是既有大小又有方向的量.物理中還有其他力,讓學生舉出物理學中力的其他一些例項,目的是要建立物理課中學過的位移、力及向量等概念與向量之間的聯絡,以此更加自然地引入向量概念,並建立學習向量的認知基礎.
二、教學目標
1、知識與技能：
了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；並會區分平行向量、相等向量和共線向量。
2、過程與方法：
通過對向量的學習，使學生初步認識現實生活中的向量和數量的本質區別。
3、情感態度與價值觀：
通過學生對向量與數量的識別能力的訓練，培養學生認識客觀事物的數學本質的能力。
三、重點難點
教學重點:理解並掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念,會表示向量.
教學難點:平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯絡.
四、教學設想：
（一）匯入新課
思路1.(情境匯入)如圖1,在同一時刻,老鼠由a向西北方向的c處逃竄,貓在b處向正東方向的d處追去,貓能否追到老鼠呢？學生馬上得出結論:
追不上,貓的速度再快也沒用,因為方向錯了.教師適時設問:如何從數學的角度來揭示這個問題的本質？
由此展開新課.
圖1思路2.兩列火車先後從同一站台沿相反方向開出,各走了相同的路程,怎樣用數學式子表示這兩列火車的位移？從中國象棋中規定「馬」走日,象走「田」,讓學生在圖上畫出馬、象走過的路線引入也是乙個不錯的選擇.
（二）推進新課、新知**、提出問題
①在物理課中,我們學過力的概念.請回顧一下力的三要素是什麼？還有哪些量和力具有同樣特徵呢?這些量的共同特徵是什麼？怎樣利用你所學的數學中的知識抽象這些具有共同特徵的量呢？
②新的概念是對這些具有共同特徵的量的描述,應怎樣定義這樣的量呢？
③數量與向量的區別在**？
活動:教師指導學生閱讀教材,思考討論並解決上述問題,學生討論列舉與位移一樣的一些量.物體受到的重力是豎直向下的,物體的質量越大,它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的,物體浸在液體中的體積越大它受到的浮力就越大；速度與加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的動量與向量都有方向,且有大小；物理學中存在著許多既有大小,又有方向的量.
教師引導學生觀察思考這些量的共同特徵,我們能否在數學學科中對這些量加以抽象,形成一種新的量.至此時機成熟,引入向量,並把那些只有大小,沒有方向的量,如年齡、身高、長度、面積、體積、質量等稱為數量,物理學上稱為標量.顯然數量和向量的區別就在於方向問題.
討論結果:
①略.②我們把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中稱為向量.
③略.提出問題
①如何表示向量?
②有向線段和線段有何區別和聯絡？分別可以表示向量的什麼?
③長度為零的向量叫什麼向量？長度為1的向量叫什麼向量?
④滿足什麼條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎?
⑤有一組向量,它們的方向相同或相反,這組向量有什麼關係？怎樣定義平行向量?
⑥如果把一組平行向量的起點全部移到一點o,它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什麼關係?
⑦數量與向量有什麼區別?
⑧數學中的向量與物理中的力有什麼區別?
活動:教師指導學生閱讀教材,通過閱讀教材思考討論以上問題.特別是有向線段,是學習向量的關鍵.
但不能說「向量就是有向線段,有向線段就是向量」,有向線段只是向量的一種幾何表示,二者有本質的區別.向量只由方向和大小決定,而與向量的起點的位置無關,但有向線段不僅與方向、長度有關,也與起點的位置有關.如圖2,**段ab的兩個端點中,規定乙個順序,假設a為起點、b為終點,我們就說線段ab具有方向,具有方向的線段叫做有向線段,通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.
以a為起點、b為終點的有向線段記作.起點要寫在終點的前面.
已知,線段ab的長度也叫做有向線段的長度,記作.有向線段包含三個要素:起點、方向、長度.
圖2知道了有向線段的起點、方向和長度,它的終點就唯一確定.
用有向線段表示向量的方法是:
1°起點是a,終點是b的有向線段,對應的向量記作:.
這裡要提醒學生注意的方向是由點a指向點b,點a是向量的起點.
2°用字母a,b,c,…表示.(一定要學生規範書寫:印刷用黑體a,書寫用)
3°向量(或a)的大小,就是向量(或a)的長度(或稱模),記作||(或|a|).
教師要注意引導學生將數量與向量的模進行比較,數量有大小而沒有方向,其大小有正、負和0之分,可進行運算,並可比較大小;向量的模是正數或0,也可以比較大小.由於方向不能比較大小,像a＞b就沒有意義,而|a|>|b|有意義.
討論結果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑體表示),手寫用a →來表示,或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示,如、.
注意:手寫體上面的箭頭一定不能漏寫.
②有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段,其有三個要素:起點、方向、長度.
向量與有向線段的區別:向量只有大小和方向兩個要素,與起點無關,只要大小和方向相同,則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點、大小和方向三個要素,起點不同,儘管大小和方向相同,也是不同的有向線段.
圖3③長度為0的向量叫零向量,長度為1個單位長度的向量,叫單位向量.但要注意,零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.長度為0的向量叫做零向量,記作0,規定零向量的方向是任意的.
長度等於1個單位的向量,叫做單位向量.
④長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
⑤是平行向量.平行向量定義的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我們規定0與任一向量平行即0∥a.綜合第
一、第二才是平行向量的完整定義；向量a,b,c平行,記作a∥b∥c.如圖3.
圖4又如圖4,a,b,c是一組平行向量,任作一條與a所在直線0平行的直線l,在l上任取一點o,則可在l上分別作出＝a,=b, =c.這就是說,任一組平行向量都可以移動到同一直線上,因此,平行向量也叫做共線向量.
說明:平行向量可以在同一直線上,要區別於兩平行線的位置關係.
⑥是共線向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共線向量,這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點無關).平行向量可以在同一直線上,要區別於兩平行線的位置關係；共線向量可以相互平行,要區別於在同一直線上的線段的位置關係.
⑦數量只有大小,是乙個代數量,可以進行代數運算、比較大小；向量有方向、大小雙重性質,不能比較大小.
⑧力有大小、方向、作用點三個要素,而數學中的向量是由物理中的力抽象出來的,只有大小與方向兩個要素,與起點的位置無關.
（三）應用示例
例1 如圖5,試根據圖中的比例尺以及三地的位置,在圖中分別用有向線段表示a地至b、c兩地的位移.(精確到1 km)
圖5分析:本例是乙個簡單的實際問題,要求畫出有向線段表示位移,目的在於鞏固向量概念及其幾何表示.
解:表示a地至b地的位移,且||≈232 km;(ab長度×8 000 000÷100 000)
表示a地至c地的位移,且||≈296 km.(ac長度×8 000 000÷100 000)
點評:位置是幾何學研究的重要內容之一,幾何中常用點表示位置,研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.如圖5,由a點確定b點、c點的位置.
變式訓練
乙個人從a點出發沿東北方向走了100 m到達b點,然後改變方向,沿南偏東15°方向又走了100 m到達c點,求此人從c點走回a點的位移.
圖6解:根據題意畫出示意圖,如圖6所示.
||=100 m,||=100 m,∠abc=45°+15°=60°,
∴△abc為正三角形.
∴||=100 m,即此人從c點返回a點所走的路程為100 m.
∵∠bac=60°,
∴∠cad=∠bac-∠bad=15°,即此人行走的方向為西偏北15°.
故此人從c點走回a點的位移為沿西偏北15°方向100 m.
圖7例2 判斷下列命題是否正確,若不正確,請簡述理由.
(1)abcd中,與是共線向量;
(2)單位向量都相等.
活動:教師引導學生畫出平行四邊形,如圖7.
因為ab//cd,所以∥.由於上面已經明確,單位向量只限制了大小,方向不確定,所以單位向量不一定相等,即單位向量模均相等且為1,但方向不確定.
解:(1)正確;
(2)不正確.
點評:本題考查基本概念,對於單位向量、平行向量的概念特徵及相互關係必須把握好.
圖8例3 如圖8,設o是正六邊形abcdef的中心,分別寫出圖中所示向量與相等的量.
活動:本例是結合正六邊形的一些幾何性質,讓學生鞏固相等向量和平行向量的概念,正六邊形是邊長等於半徑並且對邊互相平行的正多邊形,它既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,具有豐富的幾何性質.教科書中要求判斷與,與是否相等,是要通過長度相等方向相反的兩個向量的不等,讓學生從反面認識向量相等的概念.
解點評:向量相等是乙個重要的概念,今後經常用到.讓學生在訓練中明確,向量相等不僅大小相等,還要方向相同.
變式訓練
本例變式一:與向量長度相等的向量有多少個？ (11個)
本例變式二:是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？(存在)
例4 下列命題正確的是( )
與b共線,b與c共線,則a與c也共線
b.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點
c.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量
d.有相同起點的兩個非零向量不平行
活動:由於零向量與任一向量都共線,所以a不正確.由於數學中研究的向量是自由向量,所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上,而此時就構不成四邊形,根本不可能是乙個平行四邊形的四個頂點,所以b不正確.
向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點是否相同無關,所以d不正確.對於c,其條件以否定形式給出,所以可從其逆否命題來入手考慮,假若a與b不都是非零向量,即a與b至少有乙個是零向量,而由零向量與任一向量都共線,可有a與b共線,不符合已知條件,所以有a與b都是非零向量,即只有c正確.
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