初中奧數題試題一
一、選擇題（每題1分，共10分）
1．如果a，b都代表有理數，並且a＋b=0，那麼 ( )
a．a，b都是0
b．a，b之一是0
c．a，b互為相反數
d．a，b互為倒數
答案：c
解析：令a=2，b=－2，滿足2+(－2)=0，由此a、b互為相反數。
2．下面的說法中正確的是 ( )
a．單項式與單項式的和是單項式
b．單項式與單項式的和是多項式
c．多項式與多項式的和是多項式
d．整式與整式的和是整式
答案：d
解析：x，x3都是單項式．兩個單項式x3，x之和為x3+x是多項式，排除a。兩個單項式x，2x2之和為3x2是單項式，排除b。
兩個多項式x3+x2與x3－x2之和為2x3是個單項式，排除c，因此選d。
3．下面說法中不正確的是 ( )
a. 有最小的自然數
b．沒有最小的正有理數
c．沒有最大的負整數
d．沒有最大的非負數
答案：c
解析：最大的負整數是-1，故c錯誤。
4．如果a，b代表有理數，並且a＋b的值大於a－b的值，那麼 ( )
a．a，b同號
b．a，b異號
c．a＞0
d．b＞0
答案：d
5．大於－π並且不是自然數的整數有 ( )
a．2個
b．3個
c．4個
d．無數個
答案：c
解析：在數軸上容易看出：在－π右邊0的左邊（包括0在內）的整數只有－3，－2，
－1，0共4個．選c。
6．有四種說法：
甲．正數的平方不一定大於它本身；
乙．正數的立方不一定大於它本身；
丙．負數的平方不一定大於它本身；
丁．負數的立方不一定大於它本身。
這四種說法中，不正確的說法的個數是 ( )
a．0個
b．1個
c．2個
d．3個
答案：b
解析：負數的平方是正數，所以一定大於它本身，故丙錯誤。
7．a代表有理數，那麼，a和－a的大小關係是 ( )
a．a大於－a
b．a小於－a
c．a大於－a或a小於－a
d．a不一定大於－a
答案：d
解析：令a=0，馬上可以排除a、b、c，應選d。
8．在解方程的過程中，為了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的兩邊( )
a．乘以同乙個數
b．乘以同乙個整式
c．加上同乙個代數式
d．都加上1
答案：d
解析：對方程同解變形，要求方程兩邊同乘不等於0的數，所以排除a。我們考察方程x－2=0，易知其根為x=2．若該方程兩邊同乘以乙個整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根為x=1及x=2，不與原方程同解，排除b。
同理應排除c．事實上方程兩邊同時加上乙個常數，新方程與原方程同解，對d，這裡所加常數為1，因此選d．
9．杯子中有大半杯水，第二天較第一天減少了10%，第三天又較第二天增加了10%，那麼，第三天杯中的水量與第一天杯中的水量相比的結果是( )
a．一樣多
b．多了
c．少了
d．多少都可能
答案：c
解析：設杯中原有水量為a，依題意可得，
第二天杯中水量為a×(1－10%)=0.9a；
第三天杯中水量為(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；
第三天杯中水量與第一天杯中水量之比為 0.99∶1，
所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，選c。
10．輪船往返於一條河的兩碼頭之間，如果船本身在靜水中的速度是固定的，那麼，當這條河的水流速度增大時，船往返一次所用的時間將( )
a．增多
b．減少
c．不變d．增多、減少都有可能
答案：a
二、填空題（每題1分，共10分）
1．19891990－19891989=______。
答案：19891990－19891989
=(19891990+19891989)×(19891990－19891989)
=(19891990+19891989)×1=39783979。
解析：利用公式a-b=（a+b）(a-b)計算。
2．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______。
答案：1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000
=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)
=－2500。
解析：本題運用了運算當中的結合律。
3．當a=－0.2，b=0.04時，代數式 a-b的值是______。
答案：0
解析：原式==(－0.2)－0.04=0。把已知條件代入代數式計算即可。
4．含鹽30%的鹽水有60千克，放在秤上蒸發，當鹽水變為含鹽40%時，秤得鹽水的重是______千克。
答案：45（千克）
解析：食鹽30%的鹽水60千克中含鹽60×30%（千克），
設蒸發變成含鹽為40%的水重x克，
即60×30%=40%x
解得：x=45（千克）。
遇到這一類問題，我們要找不變數，本題中鹽的含量是乙個不變數，通過它列出等式進行計算。
三、解答題
1.甲乙兩人每年收入相等，甲每年儲蓄全年收入的，乙每月比甲多開支100元，三年後負債600元，求每人每年收入多少？
答案：解：設每人每年收入x元，甲每年開支4/5x元，依題意有：
3（4/5x+1200）=3x+600
即 (3-12/5)x=3600-600
解得，x=5000
答：每人每年收入5000元
所以s的末四位數字的和為1＋9＋9＋5=24。
4．乙個人以3千公尺/小時的速度上坡，以6千公尺/小時的速度下坡，行程12千公尺共用了3小時20分鐘，試求上坡與下坡的路程。
答案：設上坡路程為x千公尺，下坡路程為y千公尺．依題意則：
由②有2x+y=20， ③
由①有y=12-x，將之代入③得 2x+12-x=20。
所以x=8(千公尺)，於是y=4(千公尺)。
答：上坡路程為8千公尺，下坡路程為4千公尺。
5．求和：
。答案：第n項為
所以。6．證明：質數p除以30所得的餘數一定不是合數。
證明：設p=30q＋r，0≤r＜30，
因為p為質數，故r≠0，即0＜r＜30。
假設r為合數，由於r＜30，所以r的最小質約數只可能為2，3，5。
再由p=30q＋r知，當r的最小質約數為2，3，5時，p不是質數，矛盾。
所以，r一定不是合數。
解：設由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即
(4-m)pq+1=2(p+q)。
可知m＜4．由①，m＞0，且為整數，所以m=1，2，3．下面分別研究p，q。
(1)若m=1時，有
解得p=1，q=1，與已知不符，捨去．
(2)若m=2時，有
因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時無解．
(3)若m=3時，有
解之得故p＋q=8。
初中奧數題試題二
一、選擇題
1．數1是 ( )
a．最小整數
b．最小正數
c．最小自然數
d．最小有理數
答案：c
解析：整數無最小數，排除a；正數無最小數，排除b；有理數無最小數，排除d。1是最小自然數，正確，故選c。
為有理數，則一定成立的關係式是 ( )
a．7a＞a
b．7+a＞a
c．7+a＞7
d．|a|≥7
答案：b
解析：若a=0，7×0=0排除a；7+0=7排除c；|0|＜7排除d，事實上因為7＞0，必有7+a＞0+a=a．選b。
3.3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是 ( )
a．6.1632
b．6.2832
c．6.5132
d．5.3692
答案：b
解析：3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)
=3.1416(7.5944-5.5944)=2×3.1416
=6.2832，選b。
4.在-4，-1，-2.5，-0.01與-15這五個數中，最大的數與絕對值最大的那個數的乘積是( )
a．225
b．0.15
c．0.0001
d．1答案：b
解析：-4，-1，-2.5，-0.01與-15中最大的數是-0.01，絕對值最大的數是-15，(-0.01)×(-15)=0.15，選b。
二、填空題
1．計算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______。
答案：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=(-2)-(-1) =-1 。
2.求值：(-1991)-|3-|-31
答案：(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019。
為正整數，1990n-1991的末四位數字由千位、百位、十位、個位、依次排列組成的四位數是8009。則n的最小值等於______。
答案：4
解析：1990n的末四位數字應為1991+8009的末四位數字．即為0000，即1990n末位至少要4個0，所以n的最小值為4。
4.不超過(-1.7)的最大整數是______。
答案：2
解析：(-1.7)=2.89，不超過2.89的最大整數為2。
5.乙個質數是兩位數，它的個位數字與十位數字的差是7，則這個質數是______。
答案：29
解析：個位數比十位數大7的兩位數有18，29，其中只有29是質數。
三、解答題
1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值。
答案：原式
=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003。
2．某商店**的一種商品，每天賣出100件，每件可獲利4元，現在他們採用提高售價、減少進貨量的辦法增加利潤，根據經驗，這種商品每漲價1元，每天就少賣出10件。試問將每件商品提價多少元，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？
答案：原來每天可獲利4×100元，若每件提價x元，則每件商品獲利(4＋x)元，但每天賣出為(100-10x)件。
如果設每天獲利為y元，
則y ＝(4＋x)(100-10x)
=400＋100x-40x-10x2
=-10(x2-6x＋9)＋90＋400
=-10(x-3)2＋490。
所以當x=3時，y最大=490元，即每件提價3元，每天獲利最大為490元。
3．如圖1－96所示，已知cb⊥ab，ce平分∠bcd，de平分∠cda，∠1＋∠2=90°。求證：da⊥ab。
證明：∵ce平分∠bcd，de平分∠adc及∠1＋∠2=90°，
∴∠adc＋∠bcd=180°，
∴ ad∥bc。
又∵ ab⊥bc，
∴ab⊥ad。
4.求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整數解。
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