一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有乙個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題後的括號裡，不填、多填或錯填都得0分）
1．若，則的值為（ ）．
（a） （b） （c） （d）
解： 由題設得．
代數式變形，同除b
2．若實數a，b滿足，則a的取值範圍是（ ）．
（a）a （b）a4 （c）a≤或 a≥4 （d）≤a≤4
解．c因為b是實數，所以關於b的一元二次方程
的判別式 ≥0,解得a≤或 a≥4．
方程思想，判別式定理；要解一元二次不等式
3．如圖，在四邊形abcd中，∠b＝135°，∠c＝120°，ab=，bc=，cd＝，則ad邊的長為（ ）．
（a） （b）
（c） （d）
解：d如圖，過點a，d分別作ae，df垂直於直線bc，垂足分別為e，f．
由已知可得
be=ae=，cf＝，df＝2，
於是 ef＝4＋．
過點a作ag⊥df，垂足為g．在rt△adg中，根據勾股定理得
ad＝．
勾股定理、涉及雙重二次根式的化簡，補全圖形法
4．在一列數……中，已知，且當k≥2時，
（取整符號表示不超過實數的最大整數，例如，），則等於（ ）．
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4
解：b由和可得
，，，，
，，，，
……因為2010=4×502+2，所以=2．
高斯函式；找規律。
5．如圖，在平面直角座標系xoy中，等腰梯形abcd的頂點座標分別為a（1，1），b（2，－1），c（－2，－1），d（－1，1）．y軸上一點p（0，2）繞點a旋轉180°得點p1，點p1繞點b旋轉180°得點p2，點p2繞點c旋轉180°得點p3，點p3繞點d旋轉180°得點p4，……，重複操作依次得到點p1，p2，…， 則點p2010的座標是（ ）．
（a）（2010，2） （b）（2010，）
（c）（2012，） （d）（0，2）
解：b由已知可以得到，點，的座標分別為（2，0），（2，）．
記，其中．
根據對稱關係，依次可以求得：
，，，．
令，同樣可以求得，點的座標為（），即（），
由於2010=4502+2，所以點的座標為（2010，）．
二、填空題
6．已知a＝－1，則2a3＋7a2－2a－12 的值等於 ．
解：0由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，於是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時刻，客車在前，小轎車在後，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝ ．
解：15
設在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為s千公尺，小轎車、貨車、客車的速度分別為（千公尺/分），並設貨車經x分鐘追上客車，由題意得
， ①， ② ． ③
由①②，得，所以，x=30． 故 （分）．
8．如圖，在平面直角座標系xoy中，多邊形oabcde的頂點座標分別是o（0，0），a（0，6），b（4，6），c（4，4），d（6，4），e（6，0）．若直線l經過點m（2，3），且將多邊形oabcde分割成面積相等的兩部分，則直線l的函式表示式是 ．
解：如圖，延長bc交x軸於點f；連線ob，afce，df，且相交於點n．
由已知得點m（2，3）是ob，af的中點，即點m為矩形abfo的中心，所以直線把矩形abfo分成面積相等的兩部分．又因為點n（5，2）是矩形cdef的中心，所以，
過點n（5，2）的直線把矩形cdef分成面積相等的兩部分．
於是，直線即為所求的直線．
設直線的函式表示式為，則
解得 ,故所求直線的函式表示式為．
9．如圖，射線am，bn都垂直於線段ab，點e為am上一點，過點a作be的垂線ac分別交be，bn於點f，c，過點c作am的垂線cd，垂足為d．若cd＝cf，則 ．
解： 見題圖，設．
因為rt△afb∽rt△abc，所以 ．
又因為 fc＝dc＝ab，所以即 ，
解得，或（捨去）．
又rt△∽rt△，所以， 即=．
10．對於i=2，3，…，k，正整數n除以i所得的餘數為i－1．若的最小值滿足，則正整數的最小值為 ．
解： 因為為的倍數，所以的最小值滿足
，其中表示的最小公倍數．由於，
因此滿足的正整數的最小值為．
三、解答題（共4題，每題20分，共80分）
11．如圖，△abc為等腰三角形，ap是底邊bc上的高，點d是線段pc上的一點，be和cf分別是△abd和△acd的外接圓直徑，連線ef. 求證：
．證明：如圖，連線ed，fd. 因為be和cf都是直徑，所以
ed⊥bc， fd⊥bc，
因此d，e，f三點共線. …………（5分）
連線ae，af，則
，所以，△abc∽△aef. …………（10分）
作ah⊥ef，垂足為h，則ah=pd. 由△abc∽△aef可得
，從而 ，
所以 . …………（20分）
12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交於點a，b. 已知點a的座標為（1，4），點b在第三象限內，且△aob的面積為3（o為座標原點）.
（1）求實數a，b，k的值；
（2）過拋物線上點a作直線ac∥x軸，交拋物線於另一點c，求所有滿足△eoc∽△aob的點e的座標.
解：（1）因為點a（1，4）在雙曲線上，
所以k=4. 故雙曲線的函式表示式為.
設點b（t，），，ab所在直線的函式表示式為，則有
解得，.
於是，直線ab與y軸的交點座標為，故
，整理得，
解得，或t＝（捨去）．所以點b的座標為（，）．
因為點a，b都在拋物線（a0）上，所以解得 …………（10分）
（2）如圖，因為ac∥x軸，所以c（，4），於是co＝4. 又bo=2，所以.
設拋物線（a0）與x軸負半軸相交於點d， 則點d的座標為（，0）.
因為∠cod＝∠bod＝，所以∠cob=.
（i）將△繞點o順時針旋轉，得到△.這時，點(，2)是co的中點，點的座標為（4，）.
延長到點，使得=，這時點（8，）是符合條件的點.
（ii）作△關於x軸的對稱圖形△，得到點（1，）；延長到點，使得＝，這時點e２（2，）是符合條件的點．
所以，點的座標是（8，），或（2，）. …………（20分）
13．求滿足的所有素數p和正整數m.
．解：由題設得，
所以，由於p是素數，故，或. ……（5分）
（1）若，令，k是正整數，於是，
，故，從而.
所以解得 …………（10分）
（2）若，令，k是正整數.
當時，有，
，故，從而，或2.
由於是奇數，所以，從而.
於是這不可能.
當時，，；當，，無正整數解；當時，，無正整數解.
綜上所述，所求素數p=5，正整數m=9. …………（20分）
14．從1，2，…，2010這2010個正整數中，最多可以取出多少個數，使得所取出的數中任意三個數之和都能被33整除？
解：首先，如下61個數：11，，，…，（即1991）滿足題設條件. …………（5分）
另一方面，設是從1，2，…，2010中取出的滿足題設條件的數，對於這n個數中的任意4個數，因為
， ，所以 .
因此，所取的數中任意兩數之差都是33的倍數. …………（10分）
設，i=1，2，3，…，n.
由，得，
所以，，即≥11. …………（15分）
≤，故≤60. 所以，n≤61.
綜上所述，n的最大值為61. …………（20分）
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