初中數學幾何經典題
1、三角形abc中,ad為中線,p為ad上任意一點,過p的直線交ab於m.交ac於n,若an=am，求證pm/pn=ac/ab
證明：過p點作bc的平行線交ab,ac分別於m',n'點；再分別過m,m'兩點分別作ac的平行線分別交ad(或延長線）於p',a'兩點。
由m'n'平行bc得：ac/an'=ab/am',即ac/ab=an'/am'.且m'p=n'p
由三角形an'p全等三角形a'm'p得：m'a'=an'.所以，ac/ab=a'm'/am'
由三角形am'a'相似三角形amp'得：am/am'=mp'/a'm',即a'm'/am'=mp'/am
所以：ac/ab=mp'/am
由三角形mp'p相似三角形anp得：mp'/an=mp/pn
而an=am
所以：mp'/am=mp/pn
所以：ac/ab=mp/pn
1題圖2題圖
2、在三角形bcd中,bc=bd,延長bc至a,延長bd至e,使ac=be,連線ad,ae,ad=ae,求bcd為等邊
證明：過點a作cd的平行線交be的延長線於f點。則∠bdc=∠f=∠bcd=∠a，即∠a=∠f.
又因為：四邊形afdc是梯形
所以：ac=df=fe+de
而ac=bd+de
所以：bd=fe
又因為：ad=ae,∠bda=∠fea
所以：三角形abd和三角形afe全等
所以：∠b=∠f
所以：∠b=∠bcd=∠bdc=60°
所以：三角形bcd是等邊三角形。
3、三角形abc中若圓o在變化過程中都落在三角形abc內(含相切), a為60度,ac為8,ab為10,x為未知數,是ae的長.圓o與ab,ac相切,圓o與ab的切點為e, x的範圍是？
解：如圖，當元o與三角形abc三條邊都相切時，x的值最大。此時：
過b作bd垂直ac,則可求得bd=5(√3),dc=3
根據勾股定理求得bc=2(√21)
設元o與邊ab,bc,ca的切點分別為e,f,g,且ae=x,be=y,cf=z,則有方程組：
x+y=10,x+z=8,y+z=2(√21),
解這個方程組得：x=9-(√21)
因此：x的範圍是（0，9-√21 ]
4、已知三角形abe中 c 、d分別為ab、be上的點，且ad=ae，三角形bcd為等邊三角形，求證bc+de=ac
證明:過d點作be的垂線df,交ab於f點，過a點作be的垂線ah,h是垂足，再過f點作ah的垂線fg,g是垂足。
則：四邊形dhgf是矩形，有fg=dh.
而由△ade是等腰三角形得知dh=he,
所以：fg=(1/2)de.
又由於角b=60°，
所以：∠bah=30°
所以：fg=(1/2)af
所以：af=de
而在直角△bdf中，由於∠b=∠bdc=60°
所以：∠cdf=∠cfd=30°
所以：cf=cd=bc
所以：bc+de=cf+af
即：bc+de=ac
5、已知在三角形abc中,ad是bc邊上的中線,e是ad上的一點,且be=ac,延長be交ac與f,求證af=ef
證明：如圖，連線ec,取ec的中點g,ae的中點h，連線dg,hg
則：gh=dg
所以：角1=∠2，
而∠1=∠4，∠2=∠3=∠5
所以；∠4=∠5
所以：af=ef.
6、在△abc中，d是bc邊中點，o是ad上一點，bo,co的延長線分別交ac,ab於e,f
求證：ef平行bc。
證明：分別過b,c兩點作ad的平行線分別交cf,be的延長線於m,n兩點。則：
四邊形mbcn是平行四邊形。
由mb‖ao‖cn,得：of/fm=oa/bm,oe/en=oa/cn.（相似三角形對應邊成比例）
而bm=cn
所以：of/fm=oe/en
所以：mn‖ef
而mn‖bc
所以：ef‖bc.
7、已知：在△abc和△a'b'c'中，ab=a'b', ac=a'c'.ad，a'd'分別是△abc和△a'b'c'的中線，且ad=a'd'.
求證：△abc≌△a'b'c'
證明：分別過b,b'點作be‖ac,b'e'‖a'c'.交ad,a'd'的延長線於e,e'點。
則：△adc≌△edb, △a'd'c'≌△e'd'b'
所以：ac=eb,a'c'=e'b'； ad=de, a'd'=d'e'.
所以：be=b'e', ae=a'e'
所以：△abe≌△a'b'e'
所以：角e=∠e' 角bad=角b'a'd'
所以：角bac=角b'a'c'
所以：△abc≌△a'b'c'
8、四邊形abcd為菱形，e,f為ab,bc的中點，ep⊥cd，∠bad＝110，求∠fpc的度數
解：連線bd,交ac於o點，過a作cd的垂線，垂足為g,過o作bc的平行線交cd於h.
因為：角dab=110°，∠gab=90°
所以：∠dag=20°。
由∠aod=∠agd=90°知aogd四點共元，所以∠dog=∠dag=20°
由oh‖bc‖ad知：∠hoc=∠dac=(1/2)∠bad=55°
所以：∠goh=90°-20°-55°=15°
而：∠ohg=∠bcd=110°
所以：∠ogh=180°-15°-110°=55°
由於：不難證明∠fpc=∠ogh (過程略）
所以：∠fpc=55°
9、已知：e是正方形abcd內的一點，且∠dae=∠ade=15°，
求證：△ebc是等邊三角形
證明：過e點作ab的平行線ep,交bc於p點，交ad於q點，以d為角頂點，da為角的一邊，向正方形abcd內作∠adf=30°，角的一邊交ep於f點。
設dq=√3，則：fq=1, df=2, ad=2√3， pc=pb=aq=√3,
由角平分線定理得：qe/ef=qd/df,
即：qe/(1-qe)=(√3)/2
解得：qe=2(√3)-3
所以：pe=pq-qe=2(√3)-[2(√3)-3]=3
在△epc中由勾股定理得：ec=√（pe+pc）=2√3
而：be=ce
所以:bc=be=ce=2√3
即：△ebc是等邊三角形。
10、在三角形abc中,經過bc的中點m,有垂直相交於m的兩條直線,它們與ab,ac分別交於d、e，求證，bd+ce＞de
證明：如圖，延長em到e',使e'm=me,則：de=de',
由△be'm≌△cem得：ce=be'
在△be'd中，有bd+be'>de'
等量代換得：bd+ce>de
11、ab是等腰直角三角形abc的斜邊，若點m在邊ac上，點n在邊bc上，沿直線mn把△mcn翻摺，使點c落在ab上設其落點
（1）.如圖一，當是ab的中點時，求證：pa/pb=cm/cn
（2）.如圖二當p不是ab中點時，結論pa/pb=cm/cn是否成立？若成立，請給出證明
（1）、證明：因為p是ab中點，
所以：ap/pb=1,
因為：p點是c點沿直線mn摺疊的落點，
所以：mn垂直平分pc,
所以：cm=mp,
由ap=bp得∠acp=∠bcp=45°
所以：cm=mn
所以：cm/cn=1
所以：pa/pb=cm/cn
（2）、結論仍然成立。
證明：過p點分別作ac,bc的垂線pe,是垂足。過c作cf垂直ab,f是垂足。則：
s△apc=(1/2)ac*pe=（1/2)ap*cf
s△bpc=(1/2)bc*pd=(1/2)bp*cf
而ac=bc
所以：pe/pd=ap/bp
由∠mcn=∠mpn=90°知mcnp四點共元
所以：∠pme=∠pnd
所以：rt△pem∽rt△pdn
所以：pe/pd=pm/pn
而pm=mc,pn=nc
所以：pe/pd=mc/nc
所以：ap/bp=mc/nc
12、三角形abc中，bc=5，m和i分別是三角形abc的重心和內心，若mi平行於bc,則ab+ac的值是多少？
解：設內心到三邊的距離為r，bc邊上的高為ae=h,
如圖。因為mi‖bc,am=2md
所以：h=3r
而：s△abc=(1/2)bc*h=(5/2)h=(15/2)r
s△abc=s△abi+s△bci+s△ace=(1/2))r(ab+ac+5)
所以：(15/2)r=(1/2))r(ab+ac+5)
解得：ab+ac=10
13、已知圓o是三角形abc的外接圓 cd是ab邊上的高，ae是圓o的直徑。求證：ac*bc=ae*cd
證明：以e為圓心，以bc長為半徑畫弧交元o於f點。連線ef,fa.則：ef=bc,∠afe=90°
所以：∠eaf=∠dac （弦相等，弦所對的圓周角相等）
所以：rt△adc∽rt△efa
所以：ac/ae=cd/ef 即ac*ef=ae*cd
而：ef=bc
所以：ac*bc=ae*cd
14、已知：位△abc內的兩點
求證：ab+ac>bd+de+ec
證明：設直線de交ab於f,交ac於g,則：
在△afg中，有af+ag>fd+de+eg
在△bfd中，有bf+fd>bd
在△egc中，有eg+gc>ec
所以：三個不等式兩邊相加得af+ag+bf+fd+eg+gc>fd+de+eg+bd+ec
即：ab+ac>de+bd+ec
15、在三角形abc中,bd,ce是邊ac,ab上的中點,bd與ce相交於點o,bo與od的長度有什麼關係?bc邊上的中線是否一定過點o？為什麼？
答：bo=2do,bc邊上的中線過o點。
證明：連線ao,設m,n分別是bo,co的中點，連線em,dn,則：
em平行並等於ao的一半，dn平行並等於ao的一半
所以：em平行並等於dn
所以：四邊形emnd是平行四邊形
所以：mo=od
所以：bm=mo=od
所以：bo=2do
延長ao交bc於g,延長dn交bc於h,延長em交bc於q,則：
由ag‖eq‖dh,bm=mo=od得知bq=qg=gh=hc
所以；bg=gc
所以；bc邊上的中線過o點。
16、在△abc中，ab,be是△abc的高，交於點h，邊bc,ac的垂直平分線fo,go相交於點o
求證：of=1/2ah,og=1/2bh
證明：連線co並延長交△abc的外接圓於m點。則：oc是元的直徑。
of=(1/2)bm,
∠mbc=∠mac=∠adb=∠bea=90°
所以：bm‖ad,am‖be
所以：四邊形mbha是平行四邊形
所以：bm=ah
所以：of=(1/2）ah.
同理可證：og=(1/2)bh.
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