複習資料二：
1、設r≥4，a＝，b＝，c＝，則下列各式一定成立的是＿＿。
a、a>b>c b、b>c>a c、c>a>b d、c>b>a
解：答案：d
2、已知銳角三角形abc的三個內角a、b、c滿足：a＞b＞c，用a表示a－b，b－c以及90°－a中的最小者，則a的最大值為＿＿＿。
解：答案：15°
3、a、b、c為正整數，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。
解：4．已知△為銳角三角形，⊙經過點b，c，且與邊ab，ac分別相交於點d，e． 若⊙的半徑與△的外接圓的半徑相等，則⊙一定經過△的（ ）．
（a）內心 （b）外心 （c）重心 （d）垂心
解：答案：b
5．如圖，在直角三角形abc中，，ca＝4．點p是半圓弧ac的中點，連線bp，線段bp把圖形apcb分成兩部分，則這兩部分面積之差的絕對值是
解：答案：4
6．已知點a，b的座標分別為（1，0），（2，0）． 若二次函式的圖象與線段ab恰有乙個交點，則的取值範圍是
解：答案：≤，或者．
7.已知點m，n的座標分別為（0，1），（0，－1），點p是拋物線上的乙個動點．
（1）判斷以點p為圓心，pm為半徑的圓與直線的位置關係；
（2）設直線pm與拋物線的另乙個交點為點q，連線np，nq，求證：．
解：8．已知a，b都是正整數，試問關於x的方程是
否有兩個整數解？如果有，請把它們求出來；如果沒有，請給出證明.
解：9．已知ab為半圓o的直徑，點p為直徑ab上的任意一點．以點a為圓心，ap為半徑作⊙a，⊙a與半圓o相交於點c；以點b為圓心，bp為半徑作⊙b，⊙b與半圓o相交於點d，且線段cd的中點為m．求證：mp分別與⊙a和⊙b相切．
證明：10、（1）是否存在正整數m，n，使得？
（2）設(≥3)是給定的正整數，是否存在正整數m，n，使得？解：
解：（2）當時，若存在正整數m，n，滿足，則，，
，，而，故上式不可能成立
………………10分
當≥4時，若（t是不小於2的整數）為偶數，取，則
因此這樣的（m，n）滿足條件．
若＋1（t是不小於2的整數）為奇數，取，則
因此這樣的（m，n）滿足條件．
綜上所述，當時，答案是否定的；當≥4時，答案是肯定的．
15分 注：當≥4時，構造的例子不是唯一的．
11．如圖，點e，f分別在四邊形abcd的邊ad，bc的延長線上，且滿足．若，的延長線相交於點，△的外接圓與△的外接圓的另乙個交點為點，連線pa，pb，pc，pd．求證：
（1）；
（2）△∽△．
證明：12．證明：對任意三角形，一定存在兩條邊，它們的長u，v滿足
1≤．證明：設任意△abc的三邊長為a，b，c，不妨設．若結論不成立，則必有
5分 記，顯然，代入得
≥，≥，
令，則 由，得，即，於是．
由得由，得
≥≥，此式與矛盾．從而命題得證
………………15分
13. 設是△的三邊長，二次函式在時取最小值，則△是
（a）等腰三角形. （b）銳角三角形. （c）鈍角三角形. （d）直角三角形.
答案：d
14. 已知銳角△的頂點到垂心的距離等於它的外接圓的半徑，則∠的度數是（ ）
（a）30b）45c）60d）75°.
答案：c
15. 已知直角梯形的四條邊長分別為，過、兩點作圓,與的延長線交於點，與的延長線交於點，則的值為_______.
16． 若和均為四位數，且均為完全平方數，則整數的值是_______.
17.設為正整數，且，如果對一切實數，二次函式的圖象與軸的兩個交點間的距離不小於，求的值.
18.已知是正整數，如果關於的方程的根都是整數，求的值及方程的整數根.
解觀察易知，方程有乙個整數根，將方程的左邊分解因式，得
因為是正整數，所以關於的方程
1）的判別式，它一定有兩個不同的實數根.
而原方程的根都是整數，所以方程（1）的根都是整數，因此它的判別式應該是乙個完全平方數.
設（其中為非負整數），則，即
.顯然與的奇偶性相同，且，而，所以
或或解得或或
而是正整數，所以只可能或
當時，方程（1）即，它的兩根分別為和.此時原方程的三個根為1，和.
當時，方程（1）即，它的兩根分別為和.此時原方程的三個根為1，和.
19．如圖，設，，為三角形的三條高，若，，，則線段的長為
. 4
答案：d
20.已知，對於滿足條件的一切實數，不等式
恆成立.當乘積取最小值時，求的值.
解整理不等式（1）並將代入，得
2）在不等式（2）中，令，得；令，得.
易知，，故二次函式的圖象（拋物線）的開口向上，且頂點的橫座標在0和1之間.
由題設知，不等式（2）對於滿足條件的一切實數恆成立，所以它的判別式，即.
由方程組
3）消去，得，所以或.
又因為，所以或，
於是方程組（3）的解為或
所以的最小值為，此時的值有兩組，分別為
和. 21．設為質數，為正整數，且。求，的值.
解 （1）式即，設，則
2）故，又，所以 （3）
由（1）式可知，能被509整除，而509是質數，於是能被509整除，故為整數，即關於的一元二次方程（3）有整數根，所以它的判別式為完全平方數.
不妨設（為自然數），則.
由於和的奇偶性相同，且，所以只可能有以下幾種情況：
①兩式相加，得，沒有整數解.
②兩式相加，得，沒有整數解.
③兩式相加，得，沒有整數解.
④兩式相加，得，沒有整數解.
⑤兩式相加，得，解得.
⑥兩式相加，得，解得，而不是質數，故捨去.
綜合可知.
此時方程（3）的解為或（捨去）.
把，代入（2）式，得.
22．已知是半徑為1的圓的一條弦，且．以為一邊在圓內作正△，點為圓上不同於點a的一點，且，的延長線交圓於點，則的長為（ ）．
（a） （b）1 （cd）a
答：b23．將1，2，3，4，5這五個數字排成一排，最後乙個數是奇數，且使得其中任意連續三個數之和都能被這三個數中的第乙個數整除，那麼滿足要求的排法有（ ）．
（a）2種 （b）3種 （c）4種 （d）5種
答：d24．關於x，y的方程的所有正整數解為
【答】25．是否存在質數p，q，使得關於x的一元二次方程有有理數根？
26．如圖，△的三邊長，都是整數，且的最大公約數為．點和點分別為△的重心和內心，且．求△的周長．
解：如圖，延長，與邊分別交於點．設重心在邊上的投影分別為，△的內切圓的半徑為，邊上的高的長分別為，易知cp＝cq，由，可得
即從而可得
……………… 10分
因為△的重心g和內心不重合，所以，△不是正三角形，且，否則，，可得，矛盾．
不妨假設，由於，設，於是有為整數，所以有，即．
於是只有時，可得，滿足條件．
因此有．
所以，△的周長為35
……………… 15分
27．從1，2，…，9中任取n個數，其中一定可以找到若干個數（至少乙個，也可以是全部），它們的和能被10整除，求n的最小值．
解：當n＝4時，數1，3，5，8中沒有若干個數的和能被10整除．
5分當n＝5時，設是1，2，…，9中的5個不同的數．若其中任意若干個數，它們的和都不能被10整除，則中不可能同時出現1和9；2和8；3和7；4和6．於是中必定有乙個數是5．
若中含1，則不含9．於是不含4（4＋1＋5＝10），故含6；於是不含3（3＋6＋1＝10），故含7；於是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍數，矛盾．
若中含9，則不含1．於是不含6（6＋9＋5＝20），故含4；於是不含7（7＋4＋9＝20），故含3；於是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍數，矛盾．
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