高三數學提優輔導——應用題訓練（三）
1、某森林失火了，火勢正以平均每分鐘200m2的速度順風蔓延，消防隊員在失火後10分鐘到達現場開始救火，已知每個隊員平均每分鐘可滅火50m2，所消耗的滅火材料，勞務津貼等費用平均每人每分鐘125元，另外車輛、器械裝備等損耗費用平均每人800元，而每燒毀1m2的森林的損失費為60元，消防隊共派名隊員前去救火，從到達現場開始救火到把火完全撲滅共耗時分鐘．
（1）求出與的關係．
（2）問消防隊派多少名隊員前去救火，才能使得總損失最小？
解：（1）由題意可知，消防隊員到達現場時失火面積為10×200=2000m2
又依題意可知，，
5，且6分
（2）設總損失為，則
10分14分
當且僅當．
答：消防隊派名隊員前去救火，才使得總損失最小16分
2、某品牌茶壺的原售價為80元/個，今有甲、乙兩家茶具店銷售這種茶壺，甲店用如下方法**：如果只購買乙個茶壺，其**為78元/個；如果一次購買兩個茶壺，其**為76元/個；…，一次購買的茶壺數每增加乙個，那麼茶壺的**減少2元/個，但茶壺的售價不得低於44元/個；乙店一律按原價的75%銷售．現某茶社要購買這種茶壺x個，如果全部在甲店購買，則所需金額為y1元；如果全部在乙店購買，則所需金額為y2元．
(1) 分別求出y1、y2與x之間的函式關係式；
(2) 該茶社去哪家茶具店購買茶壺花費較少？
解：(1) 根據題意，當x＝18時，茶壺的**為44元/個．
則y1＝(4分)
y2＝60x，x∈n*.(8分)
(2) y＝y1－y2＝
當x＝10時，y＝y1－y2＝0，即y1＝y2；(10分)
當1≤x＜10時，y＝y1－y2＝－2x(x－10)＞0，即y1＞y2；(12分)
當10＜x≤18時，y＝y1－y2＝－2x(x－10)＜0，即y1＜y2；
當x＞18時，y＝y1－y2＝－16x＜0，即y1＜y2.
答：當購買的茶壺數為10個時，到甲、乙兩家茶具店花費一樣多；
當購買的茶壺數小於10個時，到乙茶具店購買花費較少；
當購買的茶壺數大於10個時，到甲茶具店購買花費較少．(14分)
3、某廣告公司設計了一種霓虹燈，樣式如圖中實線部分所示．其上部分是以ab為直徑的半圓，點o為圓心，下部分是以ab為斜邊的等腰直角三角形，de、df是兩根支桿，其中ab＝2 m，∠eoa＝∠fob＝2x(0＜x＜)．現在弧ef、線段de與線段df上裝彩燈，在弧ae、弧bf、線段ad與線段bd上裝節能燈．若每種燈的「心悅效果」均與相應的線段或弧的長度成正比，且彩燈的比例係數為2k，節能燈的比例係數為k(k＞0)，假定該霓虹燈整體的「心悅效果」y是所有燈「心悅效果」的和．
(1) 試將y表示為x的函式；
(2) 試確定當x取何值時，該霓虹燈整體的「心悅效果」最佳？
解：(1) 因為∠eoa＝∠fob＝2x，所以弧ef、ae、bf的長分別為π－4x,2x,2x.(3分)
鏈結od，則由od＝oe＝of＝1，∠fod＝∠eod＝2x＋，
所以de＝df＝＝＝(sinx＋cosx)．(6分)
所以y＝2k[2 (sinx＋cosx)＋π－4x]＋k(2＋4x)
＝2k[2 (sinx＋cosx)－2x＋＋π](9分)
(2) 因為由y′＝4k[(cosx－sinx)－1]＝0，(11分)
解得cos(x＋)＝，即x＝.(13分)
又當x∈(0，)時，y′＞0，所以此時y在(0，)上單調遞增；
當x∈(，)時，y′＜0，所以此時y在(，)上單調遞減．
故當x＝時，該霓虹燈整體的「心悅效果」最佳．(16分)
4、如圖，實線部分的月牙形公園是由圓p上的一段優弧和圓q上的一段劣弧圍成，圓p和圓q的半徑都是2 km，點p在圓q上，現要在公園內建一塊頂點都在圓p上的多邊形活動場地．
(1) 如圖甲，要建的活動場地為△rst，求場地的最大面積；
(2) 如圖乙，要建的活動場地為等腰梯形abcd，求場地的最大面積．
解：(1) 如右圖，過s作sh⊥rt於h，
s△rst＝sh·rt.(2分)
由題意，△rst在月牙形公園裡，
rt與圓q只能相切或相離．(4分)
rt左邊的部分是乙個大小不超過半圓的弓形，
則有rt≤4，sh≤2，
當且僅當rt切圓q於p時(如下左圖)，上面兩個不等式中等號同時成立．
此時，場地面積的最大值為s△rst＝×4×2＝4(km2)．(6分)
(2) 同(1)的分析，要使得場地面積最大，ad左邊的部分是乙個大小不超過半圓的弓形，ad必須切圓q於p，再設∠bpa＝θ，則有
s四邊形abcd＝×2×2×sinθ×2＋×2×2×sin(π－2θ)＝4(sinθ＋sinθcosθ).(8分)
令y＝sinθ＋sinθcosθ，則
y′＝cosθ＋cosθcosθ＋sinθ(－sinθ)＝2cos2θ＋cosθ－1.(11分)
若y′＝0，cosθ＝，θ＝，
又θ∈時，y′＞0；θ∈時，y′＜0，(14分)
所以函式y＝sinθ＋sinθcosθ在θ＝處取到極大值也是最大值，
故θ＝時，場地面積取得最大值為3 (km2)．(16分)
5、某部門要設計一種如圖所示的燈架，用來安裝球心為o，半徑為r(m)的球形燈泡．該燈架由燈託、燈桿、燈腳三個部件組成，其中圓弧形燈託ea、eb、ec、ed所在圓的圓心都是o、半徑都是r(m)、圓弧的圓心角都是θ(rad)；燈桿ef垂直於地面，桿頂e到地面的距離為h(m)，且h>r；燈腳fa1、fb1、fc1、fd1是正四稜錐fa1b1c1d1是四條側稜，正方形a1b1c1d1的外接圓半徑為r(m)，四條燈腳與燈桿所在直線的夾角都為θ(rad)．已知燈桿、燈腳造價都是每公尺a(元)，燈託造價是每公尺(元)，其中r、h、a都為常數．設該燈架的總造價為y(元)．
(1) 求y關於θ的函式關係式；
(2) 當θ取何值時，y取得最小值？
18. 解：(1) 延長ef與地面交於o1，由題意：∠a1fo1＝θ，且fo1＝，
從而ef＝h－，a1f＝，(2分)
y＝4θr＋a.(8分)
(注：每寫對乙個部件造價得2分)
(2) y＝ra＋ha，(9分)
設f(θ)＝＋，
令f′(θ)＝(11分)
＝＝0.
∴ θ＝.(12分)
當θ∈時，y′<0；θ∈時，y′>0，(13分)
設θ∈，其中tanθ0＝<1，∴ θ0<.(14分)
∴∈，∴ θ＝時，y最小．(15分)
故當θ＝時，燈架的總造價取得最小值．(16分)
6、一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內壁fg和外壁bc都是半徑為1 m的四分之一圓弧，ab、dc分別與圓弧bc相切於b、c兩點，ef∥ab，gh∥cd，且兩組平行牆壁間的走廊寬度都是1 m.
(1) 若水平放置的木棒mn的兩個端點m、n分別在外壁cd和ab上，且木棒與內壁圓弧相切於點p.設∠cmn＝θ(rad)，試用θ表示木棒mn的長度f(θ)；
(2) 若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值．
解：(1) 如圖，設圓弧fg所在的圓的圓心為q，過q點作cd垂線，垂足為點t，且交mn或其延長線於s，並鏈結pq，再過n點作tq的垂線，垂足為w.
在rt△nws中，因為nw＝2，∠snw＝θ，所以ns＝.
因為mn與圓弧fg切於點p，所以pq⊥mn.在rt△qps，因為pq＝1，∠pqs＝θ，
所以qs＝，qt－qs＝2－.
① 若s**段tg上，則ts＝qt－qs.在rt△stm中，ms＝＝，
因此mn＝ns＋ms＝ns＋.
② 若s**段gt的延長線上，則ts＝qs－qt.在rt△stm中，ms＝＝，
因此mn＝ns－ms＝ns－＝ns＋.
f(θ)＝mn＝ns＋＝＋(－)＝(0＜θ＜)．(8分)
(2) 設sinθ＋cosθ＝t(1＜t≤)，則sinθcosθ＝，因此f(θ)＝g(t)＝.
因為g′(t)＝－，又1＜t≤，所以g′(t)＜0恆成立．
因此函式g(t)＝在t∈(1，]是減函式，所以g(t)min＝g()＝4－2，
即mnmin＝4－2.
答：一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為4－2.(16分)
7、某開發商用9 000萬元在市區購買一塊土地建一幢寫字樓，規劃要求寫字樓每層建築面積為2 000平方公尺．已知該寫字樓第一層的建築費用為每平方公尺4 000元，從第二層開始，每一層的建築費用比其下面一層每平方公尺增加100元．
(1) 若該寫字樓共x層，總開發費用為y萬元，求函式y＝f(x)的表示式；(總開發費用＝總建築費用＋購地費用)
(2) 要使整幢寫字樓每平方公尺的平均開發費用最低，該寫字樓應建為多少層？
(1) 由已知，寫字樓最下面一層的總建築費用為4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(萬元)，
從第二層開始，每層的建築總費用比其下面一層多：100×2 000＝200 000(元)＝20(萬元)，
寫字樓從下到上各層的總建築費用構成以800為首項，20為公差的等差數列，(2分)
所以函式表示式為：
y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000＝10x2＋790x＋9 000(x∈n*)．(6分)
(2) 由(1)知寫字樓每平方公尺平均開發費用為：
g(x)＝×10 000＝(10分)
＝50≥50×(2＋79)＝6 950(元)，(12分)
當且僅當x＝，即x＝30時等號成立．
答：該寫字樓建為30層時，每平方公尺平均開發費用最低．(14分)
8、心理學家研究某位學生的學習情況發現：若這位學生剛學完的知識存留量記為1，則x天後的存留量y1＝；若在t(t＞4)天時進行第一次複習，則此時知識存留量比未複習情況下增加一倍(複習時間忽略不計)，其後存留量y2隨時間變化的曲線恰為直線的一部分，其斜率為(a＜0)，存留量隨時間變化的曲線如圖所示．當進行第一次複習後的存留量與不複習的存留量相差最大時，則稱此時刻為「二次複習最佳時機點」．
初三數學公升中考最後衝刺 應用題訓練含答案優秀名師
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