王爽物理系 201321140119
1 引言
費馬原理是幾何光學中的一條重要原理，由此原理可證明光在均勻介質中傳播時遵從的直線傳播定律、反射和折射定律等。光的可逆性原理是幾何光學中的一條普遍原理，該原理說，若光線在介質中沿某一路徑傳播，當光線反向時，必沿同一路徑逆向傳播。費馬原理規定了光線傳播的唯一可實現的路徑，不論光線正向傳播還是逆向傳播，必沿同一路徑。
因而借助於費馬原理可說明光的可逆性原理的正確性。
本文將簡要介紹費馬原理的表述，並從費馬原理出發用數學方法證明光沿著直線傳播的定律，光的折射定律和反射定律。
2 費馬原理的表述
費馬原理（fermat principle）最早由法國科學家皮埃爾·德·費馬在2023年提出，又名「最短時間原理」：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」：
光沿著所需時間為平穩的路徑傳播。所謂的平穩是數學上的微分概念，可以理解為一階導數為零，它可以是極大值、極小值甚至是拐點。
2.1 均勻介質中
設在均勻介質中光的傳播速度為v，經過時間，光所經過的幾何長度為s，則
經過時間，光在真空中所走的過的路程記作l，則
定義光程s=ns，物理含義是相等時間內光在真空中走過的路程。
其中，c為光在真空中的傳播速度，n為介質的折射率
2.2 非均勻介質中
非均勻介質中，折射率n是位置的函式，光在該介質中的路程不是直線，而是曲線
此時光程可以定義為乙個積分形式，即
其中，s為路徑的座標參量，為路徑ab上一點s處的折射率。
光從a點傳播到b點，有很多不同的可能傳播方向，
但是真實的傳播方向只有其中的一種。
費馬原理解決的就是光在傳播時的路徑選擇問題，
費馬原理的表述為：任何一條實際光路所對應的光程，或者是
光程可能值中的極小值，或者是光程可能值中的極大值，或者
是某一穩定值，即實際光路的光程條件均滿足極值條件。從a
到b光線是沿著光程極值的路徑傳播的。
用數學表示式可以表述為：
光在均勻介質中的直線傳播定律，折射定律和反射定律都可以由費馬原理證明。
3 費馬原理的應用
3.1 直線傳播
在均勻各項同性介質中，折射率為一定值，所以s=ns，若要s取極值，則路程s取極值，由兩點之間線段最短可以得出兩點之間光沿著直線傳播。
3.2 折射定律
兩種均勻介質的折射率分別為，介面方程為，
從2.1中我們已經知道，在同一種介質中，
光沿著直線傳播，所以在介質1，2中光分別沿直線傳播，
介面處折射率發生了改變，所以傳播方向將發生改變，
即介面處發生折射。
介面上任意一點，，
光程為，
由得到，
設方向的單位向量為p，它的方向余弦為
設方向的單位向量為q，它的方向余弦為
帶入可得，
同理由可得
所以，，，
其中c為常數，
三個式子可以表示為向量式：
其中，為介面法線方向的單位向量，與只差乙個常數。
用叉乘上式得到，
所以，在同一平面內，即入射光線與折射光線和法線在同一平面內。
設入射角為i1，折射角為i2
則滿足如下關係
3.3 反射定律
由折射定律，得到，
當所以反射定律可表述為，入射光線，
反射光線與法線在同一平面內，入射角等於反射角。
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