馮朝華摘要：數學概念的辨證性質，滲透貫穿在數學各個部分之中，數學概念是研究數學性質的最基本的條件，我們從仿射變換的有關概念入手，了解仿射幾何所研究的幾何通過仿射變換的不變性質和不變的數量關係以及經過變形後的形狀和位置關係，並討論仿射幾何在初等幾何中的一些應用。
關鍵字：平行射影簡比仿射性仿射量共線點
定義1 對於a和a′是平面不平行的兩條直線，設l為平面上一條直線，通過直線a上的諸點a，b，c，d，……作l的平行線，交a′於a`，b`，c`，d`，……，這樣便定義了直線a到a′的乙個對映。稱為透射仿射(平行射影)，a上的點為原象點，a′上的點為象點，l為平行射影的
方向，記這個透射仿射為t，則寫a′=t(a)。
有了以上的定義後，我們來觀察一種較常見的幾何變形——平面到平面的透射仿射。如下圖所示，設π與π`為空間中的兩個平面，l是跟這兩個平面都不平行的方向(向量)。平面π上的直線a，對過直線上的點a作平行於l的直線交平面π`於點a`，用同樣的方法可作出點b和點c的對應點b`，c`。
於是便建立了平面π到π`的對應關係。稱為π到π`依方
向l的透射仿射。
根據初等幾何的知識，我們很容易可以驗證這種平行投影具有以下的性質：
π與π`之間的點建立一一對應關係，即π上的點通過變換成為π`上點；π上的直線變成了π`上的直線；
若乙個點a在l上，則a的對應點a`也應在l的對應直線l`上；
π上平行的兩直線變到π`上的兩條直線也是平行的。
直線上的三點的「單比(簡比)」保持不變，也就是如果a,b,c是π上共線的三點，a`，b`，c`分別是它們的象點，則
。我們把稱為透射仿射具有同素性，把滿足稱為透射仿射具有結合性。 而滿足則稱為透射仿射具有平行性。
這是二平面間的透射仿射變換的概念和一些性質，利用此可以建立仿射變換的概念。
定義2 如果有π1，π2，……πn+1個平面且πi和πi+1(i=1，2，……，n)兩個平面間建立透射仿射變換，就形成了乙個透射仿射變換鏈，最初乙個平面π1和最後乙個平面πn+1之間的一一對應就叫仿射變換。所以仿射變換是由組成它的透射仿射變換來決定的，也就是說，透射仿射變換是特殊的仿射變換。仿射變換應該是有限次透射仿射變換的乘積。
如果平面π與平面πn+1重合，則π到π`的仿射對應叫做平面π到自身的仿射變換。
由上述可知，透射仿射變換和仿射變換是有區別的：
1、 透射仿射變換的對應點連線相互平行的，而在一般情況下，仿射變換的對應點的連線是不平行的。當π1//π2//……//πn+1或是π1，π2，……πn+1共線時，π1到πn+1的對應點的連線是平行的。(證明略)(反之則不真)
2、 二平面的透射仿射變換，當兩平面相交時，其交線為自對應軸，也就是說，交線上的每個點都是自對應的。而兩平面的仿射變換一般沒有自對應軸。
仿射幾何是研究仿射不變性和仿射不變數的學科。所謂仿射不變性和不變數是指：
圖形經過仿射變換後不改變的性質。也有稱之為仿射性。圖形經過仿射變換後不改變的量，稱為仿射不變數，或叫做仿射量。
根據仿射的定義可知到，同素性，結合性是最基本的仿射不變性，而共線三點的單比不變則是最基本的仿射不變數。
定理1 二直線間的平行性是仿射不變性
證明：設a，b是平面π內的兩條平行線，a`，b`是它們在平面π`內的仿射映象，因此只需證明a`//b`。
若a`與b`不平行，則在平面π`中必相交於一點p`，且使p是p`的原象點，那麼由於仿射保留結合性，點p應該既在a上又在b上，既是說a和b是相交而不是平行，矛盾！所以a`//b`，所以命題成立。
於是進一步可知：
推論1.1 平行四邊形是仿射不變圖形。
因為兩組對邊分別平行，通過仿射變換後也應該是分別互相平行。
推論1.2 兩直線的相交性是仿射不變性。
推論1.2.1 共線的直線經過仿射變換後任變成共點的直線。
推論1.2.2 梯形是仿射不變圖形。
例1 線段的中點具有仿射不變性。
證明：設c是線段ab的中點，且在仿射變換下，a→a`，b→b`，c→c`。由仿射變換保結合性，故c`在直線a`b`上，又因為共線三點的單比是仿射不變數，於是有
即c`任是a`b`的中點。
所以，線段的中點具有仿射不變性。
定理2 兩平行線段之比是仿射不變數
在此用綜合法來證明。
證明：如下圖，已知ab//cd，經過仿射變換φ後，ab的象為a`b`，cd的象為a`b`，下證。
由於仿射變換保持結合性，可知ad的象為a`c`。
作 be//cd於e則abcd為平行四邊形，
ab//cd ac//be。
若e的對應為e`，由結合性可知，e`在c`d`上。be的象為b`e`。
由仿射變換保平行性，可知a`c`//b`e`。
由ab//cd，可知a`b`//c`d`，即a`b`//c`e`。
∴ a`b`e`c`為平行四邊形。
a`b`=c`e`
又dec）=d`e`c`）
而ec=ba
即推論2.1 證明一條直線上兩線段的比是仿射不變數。
證明：如下圖，直線l有兩線段ab和mn，
而 (abm)和(bnm)是仿射不變數
也是不變數。
定義3 笛氏座標繫在仿射對應之下的象叫做仿射座標系。
在此引入仿射變換的代數形式：
對於笛氏座標系的點p（x，y）,通過仿射變換t後，在仿射座標系的象為p`（x`，y`），其中
其中滿足條件
定理3 兩個三角形面積之比是仿射不變數。
推論3.1 兩個平行四邊形面積之比是仿射不變數。
推論3.2 兩個封閉圖形面積之比是仿射不變數。
仿射變換的反射不變性和不變數及其一些性質使一些一般性問題的解決可以通過仿射變換，變成特殊情形處理，使之以解決。下面舉例說明仿射變換在初等幾何中的應用。
例2 三角形兩邊的中點的連線平行於第三邊，並且等於第三邊的一半。
分析：△abc是等邊三角形，e、f分別是ab，ac的中點，很容易知道ef//cd，且。
對於任何的三角形，存在乙個仿射變換t使a→a`，b→b`，c→c`，而仿射變換中，e的象為e`，f的象為f`，分別是a`b`，a`c`的中點，又由仿射變換的平行性和保平行線段之比不變，因此e`f`//b`c`，且。
例3 試證：連線平行四邊形的乙個頂點到對邊中點的的直線三等分對角線。
證明：我們作乙個由兩個等邊三角形和成的菱形abcd，e，f，m，n是個邊的中點，很容易證明ae、cm、bd交於點p，am、cf、交於點q，而且
bp=ap=aq=pq=qd，
即p，q三等分bd。
因為平行四邊形是仿射圖形，任意的兩個平行四邊形是仿射全等的，所以唯一存在乙個仿射變換φ，使得a→a`，b→b`，c→c`，d→d`。m，n，e，f的對應點分別是m`，n`，e`，f`。
根據以上的作法，由仿射變換保同素性和結合性可知，p→p`，q→q`，p`是a`e`，c`m`，b`d`的公共點，q`是a`n`，c`f`，b`d`的交點。再由仿射變換保持直線上兩段線段的比不變，於是有b`p`=p`q`=q`d`，所以p`，q`三等分b`d`。
仿射變換有時可以容易地解決共點和共線的問題
例4 在梯形abcd中，ad//bc，e，f分別為上、下底邊的中點。ac、bc交於g，ba、cd交於m，證明：m、e、g、f共線。
分析：此題為點共線的問題，考慮梯形有一對對邊平行，考慮是否能由特殊的等腰梯形來轉化，進一步考慮是否能在乙個等腰三角形中擷取？
證明：任作乙個等腰三角形m`b`c`，因為任意兩個三角形是仿射等價的，所以一定存在唯一的乙個仿射變換t，使(△m`b`c`)t=△mbc，其中m`→m，b`→b，c`→c，在m`b`上取一點a`，使(m`b`a`)=(mba)。過a`作a`d`//b`c`與m`c`交於d`。
連b`d`、a`c`，m`f`容易證明，在等腰梯形中，兩底中點，兩對角線交點，兩腰交點，這四點共線，即m`，e`，g`，f`共線。
根據以上作法，仿射變換保同素性和結合性。所以，a`→a。又因為(a`c`d`)=(acd)所以d`→d。所以由m`，e`，g`，f`共線可知m，e，g，f共線。
類似的，我們可以得到另乙個結論：
若四邊形兩組對邊的交點的連線與四邊形的一條對角線平行，那麼，另一條對角線的延長線平分上述的連線。
引理1（帕斯卡定理）若六點形的六個頂點落在圓上，並且它的三對對邊分別相交，則這三個交點共線。（由於篇幅，證明略）
例5 若橢圓內接四邊形abce的對邊都不平行，過點a，點c的切線的交點為k，ab與ce的交點為p，bc於 ea的交點為q，證明：p、k、q共線。
因為圓的仿射圖形是橢圓，仿射是可逆的，也就是說存在為一的乙個仿射變換使圓o變成橢圓o`，由於仿射變換的同素性和結合性，要證明p、k、q共線，只需證明p`，k`，q`共線。
證明：存在唯一的仿射變換φ，使橢圓o通過變換φ變成圓o`，由於仿射變換的同素性和結合性可知，橢圓的內接四邊形abce的對應圖象為四邊形a`b`c`e`，a→a`，b→b`，c→c`，e→e`顯然，a`，c`是圓o`的切點，p`，q`分別是p，q的對應點，k →k`，因為仿射變換是可逆的，而且仿射變換的逆變換仍為仿射變換，根據仿射變換的結合性可知，若p`，k`，q`共線，則可知p，k，q共線。下證p`，k`，q`共線。
四邊形a`b`c`e`可以看成是退化了的六點形，其中假定a`=d`，c`=f`，a`和d`的連線是過a`的切線，同理，c`f`的連線為過c`的切線。因為點p是ab，ce的交點，由仿射變換保結合性可知，p`是a`b`，c`e`的交點。同理得，q`是a`e`，b`c`的交點，k`是過a`的切線和過c`的切線的交點。
又由帕斯卡定理可知，圓內接且對邊換不平行六點形的三對對邊的交點共線，所以，p`，k`，q`共線。
所以，由仿射變換保結合性，故p，k，q共線。
例6 證明橢圓的外切三角形a`b`c`，頂點與對邊上的切點連線交於一點。
第四章仿射幾何學
本章用射影觀點介紹平面仿射幾何學的基礎知識。1仿射幾何的內容仿射群 1 1 仿射平面 第一章所講的歐幾里得觀點,認為平面上有一條與眾不同的特殊直線,叫做無窮遠直線。而射影觀點則對平面上所有直線都同等看待,不存在什麼特殊直線。這是兩種截然不同的觀點。現在我們採用同這兩個極端的觀點相區別的折衷觀點來研究...
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