本章用射影觀點介紹平面仿射幾何學的基礎知識。
§1仿射幾何的內容仿射群
1·1 仿射平面
第一章所講的歐幾里得觀點,認為平面上有一條與眾不同的特殊直線,叫做無窮遠直線。而射影觀點則對平面上所有直線都同等看待,不存在什麼特殊直線。這是兩種截然不同的觀點。
現在我們採用同這兩個極端的觀點相區別的折衷觀點來研究平面,這時的物件不是歐氏平面,也不是射影平面,而是仿射平面。仿射平面的定義是：
定義在射影平面上指定一條直線,稱為無窮遠直線。除無窮遠直線上的點以外,所有射影點的集合稱為仿射平面。記作ωa。
對於這個定義有兩種解釋：
1、在射影平面上任意畫一條直線,作為無窮遠直線,但上的點都不屬於仿射平面。
2、在射影平面上任意畫一條直線,作為無窮遠直線,然後把直線挖掉,或者說沿著直線把射影平面切開。
在仿射平面上可以建立平行的概念。在第一種解釋下,平行線是相交於上的直線,在第二種解釋下,則是永遠不相交的直線。
直線ξ通常總取它作為 ,即x3=0,用第一種解釋,ωa上每乙個點都與x3=0上的點不同,而x3=0上的點的第三個座標都是0,其它點都沒有這個性質,所以仿射平面ωa上每個點的第三個座標都不是0,因而可以用(x1,x2,1)來表示。數x1和x2稱為點的仿射座標。因此,(x1,x2)就表示乙個仿射點,它的意思就是射影點(x1,x2,1)。
對應於仿射平面的兩種解釋,仿射座標系就有兩種形式,如圖4·1所示
圖4·1(a)中,把(x3＝o)畫成虛線,表示這條直線上的點不算是仿射平面上的點。沿直線x3=0把射影平面切開,就得到圖4·1(b)的形式。這兩種形式,在研究問題時都可採用,視其方便而定。
但是,通常說的仿射座標系,都是指第二種形式而言的。它與笛卡爾斜座標系很有點象,實際上兩者是大不相同的,在仿射座標系裡,點的仿射座標是純粹的數,與角度和長度無關,而笛卡爾座標系則是以線段的長(或者結合角度)為依據的。
1·2 仿射變換
對應於仿射平面的兩種解釋,仿射變換也有兩種定義。
第一種定義如果射影平面ω到它自身的直射變換保持直線不變,那麼這個直射變換稱為仿射變換。
第二種定義把仿射平面ωa變為它自身的直射變換稱為仿射變換。
對於這兩種定義中的任何一種來說,下面的兩個推論顯然成立。
推論1 仿射變換的逆變換還是仿射變換。
推論2 仿射變換的乘積是仿射變換。
這兩個推論說明：仿射變換的全體構成群,稱為仿射變換群或仿射群,記作 ,顯然,仿射變換群是射影變換群的子群。
現在,我們來推導仿射變換的公式。
平面到自身的直射變換：
i=1,2,3
誘導變換： i=1,2,3
仿射變換保持不變,經過代入計算,有
把上面兩個方程看作是關於a32和a31的方程組,得a32=a31=0而a33≠o,置a33=1,並用仿射座標系,x3=1。用a1和a2分別代替a13和a23,有
定理1 仿射平面的仿射變換有形式：
4.1.1)
在仿射變換中,有一種特殊情況是不僅保持直線不變,而且是點態不變的仿射變換,這種仿射變換把每條直線變為它的平行線,它的表示式程第二章§5定理25-27已經得到：
4.1.2)
它的仿射變換式是
4.1.3)
如果b≠1, (4.1.3) 表示的變換稱為伸縮。
如果b=1,而a1,a2不全為零,則變換公式(4.1.3) 為
4.1.4)
仿射變換(4.1.4) 稱為平移
如果b=1, =0,則(4.1.3)是恒等變換
如果b＝-1.則(4.1.3)成為4.1.5)
仿射變換 (4.1.5)稱為中心反射,中心是點()。
平移和中心反射有下列關係：
兩個中心反射的積是乙個平移；而每乙個平移是兩個中心反射的積。
例1 求出使點a（0，1）、b（-1，0）、c（1，1）分別變為a′（-1，3）、b′（-4，2）、c′（1，2）的仿射變換。
解：設所求的仿射變換式為：t：，
分別將對應點的座標代入上式得：
解此方程組得：，，；
故所求的仿射變換的表示式為：t： ，
1·3 仿射比
仿射變換下的基本不變數叫做仿射比。
定義設p∞表示直線ξ上的無窮遠點,a,b和c是ξ上三個不相同的點,那麼交比r(a,b;c, p∞)叫做直線ξ上三個不相同的點a,b和c的仿射比,記作a(a,b,c)。也稱簡比（單比）
仿射比是仿射變換下的不變數。事實上,如果在一已知仿射變換下,直線ξ的對應直線是ξ』,而且ξ的三個不同點a,b和c對應ξ』的三個不同點a』,b』和c』,那麼
下面我們來推導仿射比的計算公式。
取a～(a1,a2,1),b～(b1,b2,1),直線a×b上與p∞不相同的點x可以表示為形式：
點的仿射座標是唯一的,所以xi,ai,bi,i=1,2是確定的數。又a不同於 b,兩個分母可以都不是零,此時用上式中隨便哪乙個等式便可以確定的值。
由於點a-b～(),與中不能同時為零(若同時為0,則a～b),要是有乙個分母為零,對應的分子也為零,此時可以用分母不為零的那個等式來確定。
a-b就是a×b上的無窮遠點p∞,即a-b＝p∞,
因此,定理2 三個不相同的共線點a,b,x的仿射比是
a(a,b,x)=。其中4.1.6)
仿射比在歐氏幾何中可以解釋如下：我們把仿射座標x1和x2看作歐氏平面上點的直角座標,那麼仿射比a(a,b,x)就是兩個有向線段之比,照歐氏幾何的習慣說法：點x=(1-)a+b按比：
（1-）劃分線段 ，當=時,x是線段的中點。
1·4仿射中心
定義若a (a,b,x)=-1，即點x= (a+b)稱為點a和b的仿射中心。
定理3 a、b的仿射中心是a×b上點p∞關於a、b的調和共軛點。
以直線為軸,以a、b的仿射中心為中心的調和透射,使a和b彼此對應。因為中心反射有相同的軸,並且是調和的,所以有
定理4 如果關於點c的反射把a變為b,那麼c就是a、b的仿射中心。
§2圓錐曲線的仿射理論
2·1圓錐曲線的仿射分類
圓錐曲線的一般的仿射方程是：
(4.2.1在仿射幾何裡，非退化的圓錐曲線可以根據它們與無窮遠直線的關係進行分類：按照無窮遠直線與圓錐曲線不相交、相割或相切,依次稱圓錐曲線為橢圓、雙曲線或拋物線。(圖4·2)
確定圓錐曲線的型別的問題實際就是求無窮遠直線與圓錐曲線的交點的問題：
4.2.2)
分別有兩個交點、乙個交點、沒有交點
圓錐曲線的仿射分類可列表如下：
對於2·2圓錐曲線的中心和直徑
定義無窮遠直線關於圓錐曲線c的極點稱為c的中心。
無窮遠直線關於拋物線的極點是無窮遠點,但它不是仿射點,所以拋物線是無心曲線,而橢圓和雙曲線的中心是普通點,所以橢圓和雙曲線是有心曲線。
設圓錐曲線c：的中心為，則有
得橢圓和雙曲線的中心是普通點，拋物線的中心是無窮遠點
例2 求圓錐曲線的中心．
解圓錐曲線的齊次座標形式為
因為於是 ，，
所求中心座標為．
定義無窮遠點關於圓錐曲線的有窮極線稱為這圓錐曲線的直徑。
由於中心是無窮遠直線關於圓錐曲線c的極點，由配極原則，無窮遠點的極線必過中心，所以也稱過圓錐曲線中心的有窮直線稱為直徑。
容易求得直徑的方程，設是無窮遠點，則其極線為
即直徑的方程為
進一步直徑的方程可寫為，其中是可取到的擴大的實數。
定義如果兩條直徑互為共軛直線,就稱為共軛直徑。
由定義知直徑ab的共軛直徑為ab上無窮遠點p 的極線ef，即相互通過對方極點的兩直徑互為共軛直徑.
又設是另一無窮遠點，則另一直徑的方程為
或其中是可取到的擴大的實數。
則兩條直徑互為共軛的條件為，或
直徑與共軛直徑的對應是乙個對合對應。
定理5 圓錐曲線c的直徑是無窮遠點關於c的極線
證明：因c的直徑過中心,即過的極點,所以c的直徑的極點在上,即直徑是無窮遠點的極線。
定理6 拋物線的直徑互相平行。
證明拋物線的中心是無窮遠點,所有直徑都過同乙個無窮遠點,於是它們互相平行。
對於有心二次曲線,z不在上,線束p∞截圓錐曲線c於平行線族,則每一條平行弦的仿射中心在通過z的同一條直線η上,而與η互為共軛直徑,所以,橢圓或雙曲線的直徑是平行於共軛直徑的所有弦的仿射平分線。如果已知直徑交圓錐曲線c於g和g』,那麼,在這兩點上的切線平行於共軛直徑,平行於被這條直徑平分的所有弦。(圖4·3)。
顯然,每一對共軛直徑連同直線構成乙個自極三點形。
定理7 如果平行四邊形的頂點a,a』,b,b』在乙個圓錐曲線上,則圓錐曲線是橢圓或雙曲線,其仿射中心是：c＝(a×b)×(a』×b』),也就是對角線的交點。通過c分別平行於邊a×a』和b×b』的直線η和是共軛直徑。
證明根據假設,a×a』∥b×b』,a』×b∥a×b』,u==(a×a』)×(b×b』),
v=(a×b』)×(a』×b)在上,點c是有限點,因此圓錐曲線是有心曲線,cuv是完全四點形aa』bb』的對角線三點形,所以,η,構成自極三點形,而, η過c,故, η是共軛直徑。(圖4·4)。
例求曲線過點的直徑．
解二次曲線
的直徑可設為
其中點的齊次座標為，
代入係數和點座標得
整理得所以所求直徑為 ，即 。
定義圓錐曲線上的無窮遠點處的有窮切線稱為圓錐曲線的漸近線。
第四章幾何圖形初步
4.1 幾何圖形 專題一立體圖形的平面展開圖 1.若下列只有乙個圖形不是右圖的展開圖，則此圖為何？abcd 2.2011呼和浩特 將如圖所示表面帶有圖案的正方體沿某些稜展開後,得到的圖形是 abcd 3.如圖，由六個正方形組成，將它摺疊後可以圍成乙個正方體，正方體的表面上的數碼為1,2,3,4,5,...
物流學複習第四章
第四章功能要素 第一節運輸 一 概念 1.用裝置和工具，將物品從一地點向另一地點運送的物流活動。其中包括集貨 分配 搬運 中轉 裝入 卸下 分散等一系列操作。1 物 商品 的載運及輸送 2 研究物件是貨物運輸 3 貨物運輸以改變 物 的空間位置為目的 二 運輸對物流的功能與作用 1.商品運輸可以創造...
語用學講稿第四章
會話含義 要點 a.在關於意義的學習裡，morris，stevenson，alston和warnock都表明說要注重對用意 語境和意圖的分析。b.grice的分析尤其的重要和有用。因為他解釋了意義和意圖的概念之間的緊密聯絡。c.意圖對於一些有言外之意的指示和詞語來說非常重要，但不是敘述人說的一切東西...