第六章定積分的應用
第二節定積分在幾何上的應用
1 求圖中各陰影部分的面積
（1） .
(2) 1
(3)(4)2. 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積
(1)(2)(3)(4)34 （1）（2）4
5 (1) a2
(2)(3)6 （1）
（2）（3
7．求下列已知曲線所圍成的圖形按指定的軸旋轉所產生的旋轉體的體積：
（1）（2）
（3）（4）xy=1和y=4x、x=2、y=0，繞。
（5）擺線
8．由yx3 x2 y0所圍成的圖形分別繞x軸及y軸旋轉計算所得兩個旋轉體的體積
9．把星形線所圍成的圖形繞x軸旋轉計算所得旋轉體的體積
10．（1）證明由平面圖形0axb 0yf(x)繞y軸旋轉所成的旋轉體的體積為
證明略。
（2）利用題（1）結論計算曲線ysin x(0x)和x軸所圍成的圖形繞y軸旋轉所得旋轉體的體積
11．計算底面是半徑為r的圓而垂直於底面上一條固定
直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積
12．計算曲線上相應於的一段弧的弧長。
13．計算曲線上相應於的一段弧的弧長。
14．求星型線的全長。6a
15．求曲線的周長。8a
第三節定積分的應用
第四節1 由實驗知道彈簧在拉伸過程中需要的力f(單位 n)與伸長量s(單位 cm)成正比即fks (k為比例常數) 如果把彈簧由原長拉伸6cm 計算所作的功 18 k(牛厘公尺)
解將彈簧一端固定於a 另一端在自由長度時的點o為座標原點建立座標系功元素為dwksds 所求功為
k(牛厘公尺)
2．直徑為20cm、高80cm的圓柱體內充滿壓強為10n/cm2的蒸汽設溫度保持不變要使蒸汽體積縮小一半問需要作多少功？ (j)
解由玻馬定律知
設蒸氣在圓柱體內變化時底面積不變高度減小x厘公尺時壓強為p(x)牛/厘公尺2 則
功元素為
所求功為
(j)3．設地球的質量為m，半徑為r，現要將乙個質量為m的物體從地球表面公升高到h處，問需要做多少功（設引力係數為g）？
4．半徑為r的圓柱體沿固定水平面做純滾動，試分別求圓心c沿其軌跡移動的距離s時，作用於其上的靜滑動摩擦力和滾動摩阻力偶的功
解圓柱體做平面運動，由運動學知，點b為圓柱體的速度瞬心，由式 （11-16）知圓柱體沿固定面做純滾動時，靜滑動摩擦力的功為零。
滾動摩阻力偶的功可利用滾動摩阻力偶矩m=
來計算所以它的元功為
=-如及r均為常量，滾動一段路程s後滾動摩阻力偶的功為
w=-=-
可見滾動摩阻力偶的功為負功，且其絕對值與圓柱半徑成反比
5．設一錐形貯水池深15m 口徑20m 盛滿水今以唧筒將水吸盡問要作多少功？
解在水深x處水平截面半徑為功元素為
所求功為
1875(噸公尺)57785.7(kj)
6 有一閘門它的形狀和尺寸如圖水面超過門頂2m 求閘門上所受的水壓力205 8(kn)
解建立x軸方向向下原點在水面
水壓力元素為
閘門上所受的水壓力為
噸)=205 8(kn)
7 灑水車上的水箱是乙個橫放的橢圓柱體尺寸如圖所示當水箱裝滿水時計算水箱的乙個端麵所受的壓力 17.3(kn)
解建立座標系如圖則橢圓的方程為
壓力元素為
所求壓力為
噸)17.3(kn)
(提示積分中所作的變換為)
8 有一等腰梯形閘門它的兩條底邊各長10m和6m 高為20m 較長的底邊與水面相齊計算閘門的一側所受的水壓力 14388(千牛)
解建立座標系如圖直線ab的方程為
壓力元素為
所求壓力為
噸)14388(千牛)
9．一底為8cm、高為6cm的等腰三角形片鉛直地沉沒在水中頂在上底在下且與水面平行而頂離水面3cm 試求它每面所受的壓力
解建立座標系如圖
腰ac的方程為壓力元素為
所求壓力為
克)=165(牛)
10 設有一長度為l、線密度為的均勻細直棒在與棒的一端垂直距離為a單位處有一質量為m的質點m 試求這細棒對質點m的引力
解建立座標系如圖在細直棒上取一小段dy 引力元素為
df在x軸方向和y軸方向上的分力分別為
總複習題六
1． 填空題：
（1） 曲線與直線圍成所界區域的面積為
（2）曲線與直線所界區域的面積為18
（3）曲線上相應於的一段弧長為4
(4) 圓盤繞xb(b>a>0)旋轉所成旋轉體的體積
（5）一圓盤的半徑為，而密度為，其中為圓盤上一點到圓心的距離，則其質量m
(6) 半徑為的球沉入水中，它與水面相切，密度與水相同，若將球從水中取出，則做的功。
2．求拋物線與軸所圍成圖形的面積。
3．求拋物線與所圍成圖形的面積。
4．求圓的面積、圓周長。
5．求雙紐線的面積。
6．求心臟線繞極軸旋轉所成旋轉體體積。
7．求擺線與軸圍成圖形的面積，弧長，繞軸旋轉體體積。
8．求懸鏈線下的曲邊梯形的面積，弧長，繞軸旋轉體體積。
9．拋物線繞軸旋轉所得旋轉拋物面的體積。
10．證明曲線的乙個週期的弧長等於橢圓的周長。
11．求橢球體的體積。
12．設有一半徑為，長度為的圓柱體平放在深度為的水池中（圓柱體的側面與水面相切）。設圓柱體的比重為，現將圓柱體從水中移出水面，問需做多少功？
13．一塊高為，底為的等腰三角形薄板，垂直地沉沒在水中，頂在下，底與水面相齊，試計算薄板每面所受的壓力。
14．用鐵鎚將一鐵釘擊入木板，設木板對鐵釘的阻力與鐵釘擊入木板的深度成正比，在鐵鎚擊第一次時能將鐵釘擊入木板內，如果鐵鎚每次打擊鐵釘所做的功相等，問鐵鎚擊第二次時，能將鐵釘又擊入多少？
答案：2．解：令得。
故拋物線與軸交點為及，所求圖形為軸上半部分。
。3．解：兩條拋物線交點為。
則。4．解：由對稱性，只需考慮第一象限，
；故圓面積為。
由圓的引數方程，求周長只需考慮第一象限，
；圓周長。
5．解：。
6．解：
。7．解：；
；8．解：；；。
9．解：。
10．證：曲線的乙個週期的弧長為
；對於橢圓，由於其引數方程為
故 ；
可見 。
11．解：用垂直於軸的平面截橢球，交軸於，所得截面為橢圓
即於是此橢圓的面積為，
從而橢球體的體積為。
12．解：建立如圖所示座標系，把平放的圓柱
體從水中移出，相當把每乙個水平薄板提高，
所做的功包括將薄板提公升到水面提公升力所做的功
及從水面提高到高度提公升力所做的功之和；
水下部分提公升力，
所以水上部分提公升力，
故，因此。
13．解：如圖所示，取水平面上的底為軸，則直線的方程為
所以x ，
故此三角形板每面所受壓力為。y
14．解：設擊入深度為，則，擊第一次時所做的功為
，設在第二次鎚擊時，鐵釘擊入木板內總深度h，則第二次鎚擊所做的功為，
由於所以
第二次擊入的深度為。
第六章答案
確保會計資料真實可靠。通過財產清查，可以查明各項財產物資的實存數，將實存數與賬存數進行核對，如果發現不符，確定盤盈或盤虧數，及時調整賬簿記錄，使得賬實相符，以保證賬簿記錄的真實正確，為經濟管理提供可靠的資料資料。保護財產物資的安全完整。財產清查是會計核算的一項專門方法，又是一項行之有效的會計監督措施...
第六章習題答案
第六章梁的彎曲內力 習題6 1 a 求指定截面的內力。答題要點 1 計算2 2截面內力 a 用2 2在圖示位置截開桿件，取左段分析，左段截面上剪力和彎矩分別用q2 m2代替，受力圖如圖 a b 根據靜力平衡條件計算q2 m2值 fy 0 3kn m 2m q2 0 mc 0 3kn m 2m 1m ...
第六章第六章財務計畫
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