如果用一平面去截乙個正圓錐，而且這個平面不通過圓錐的頂點，會出現哪些情況呢？
(參考課本第48-49頁老師引導學生探索三種情況的具體過程)
歸納提公升：
定理2 在空間中，取直線為軸，直線與相交於o點，其夾角為，圍繞旋轉得到以o為頂點，為母線的圓錐面，任取平面π，若它與軸交角為β(π與平行，記住β＝0)，則：
(1)β＞，平面π與圓錐的交線為橢圓；
(2)β＝，平面π與圓錐的交線為拋物線；
(3)β＜，平面π與圓錐的交線為雙曲線.
思考：你能仿照定理1的證明方法證明定理2的結論(1)嗎？
下面給出交線為橢圓時的證明.
如圖3-11(課本第49頁)，利用dandelin雙球(這兩個球位於圓錐的內部，乙個位於平面π的上方，乙個位於平面的下方，並且與平面π及圓錐均相切)證明：β＞α，平面π與圓錐的交線為橢圓.
討論：點a到點f的距離與點a到直線m的距離比小於1).
證明1：利用橢圓第一定義，證明 fa+ae=ba+ac=定值，詳見課本.
證明2：①上面乙個dandelin球與圓錐面的交線為乙個圓，並與圓錐的底面平行，記這個圓所在平面為π/；
②如果平面π與平面π/的交線為m，在圖中橢圓上任取一點a，該dandelin球與平面π的切點為f，則點a到點f的距離與點a到直線m的距離比是(小於1).(稱點f為這個橢圓的焦點，直線m為橢圓的準線，常數為離心率e.)
點評：利用②可以證明截線為拋物線，雙曲線的情況，以離心率的範圍為準.
**：如圖3-12(課本第50頁)找出橢圓的準線；(2)**p到焦點f1的距離與到兩平面交線m的距離之比.
如圖3-12(課本第50頁)，上面乙個dandelin球與圓錐的交線為圓s，記圓s，所在的平面為π′.設π與π′的交線為m.在橢圓上任取一點pf1，連線p.
在π中過p作m的垂線，垂足為a.過p作π的垂線，垂足為b，連線ab，則ab是pa在平面π′上的投影.容易證明，m⊥ab.
故∠pab是平面π與平面π′交成的二面角的平面角.在rt△abp中，∠apb=，所以
(1)設過p的母線與圓s交於q1，則在rt△pq1b中，∠q1pb=，所以
(2)由(1)(2)得：
由上述可知，橢圓的準線為m，橢圓上任意一點到焦點的距離與到準線的距離之比為常數，因此橢圓的離心率，即橢圓的離心率等於截面和圓錐的軸的交角的余弦與圓錐的母線和軸所成角的余弦之比.
最後，我們延用討論橢圓結構特點的思路，討論一下雙曲線的結構特點.
如圖3-13(課本第50頁)，當時，平面π與圓錐的兩部分相交.在圓錐的兩部分分別嵌入dandelin球，與平面π的兩個切點分別是f1、f2，與圓錐兩部分截得的圓分別為s1、s2.
在截口上任取一點p，連線pf1、pf2.過p河圓錐的頂點o作母線，分別與兩個球相切與q1、q2，則pf1=pq1，pf2=pq2.所以
由於q1q2為兩圓s1、s2所在平行平面之間的母線段長，因此q1q2得長為定值.
由上所述可知，雙曲線的結構特點是：雙曲線上任意一點到兩個定點(即雙曲線的兩個焦點)的距離之差的絕對值為常數.
課堂小結
回顧本課學習了哪些知識？
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