1．兩個實數a與b之間的大小關係
2．不等式的性質
(4) (乘法單調性)
3．絕對值不等式的性質
(2)如果a＞0，那麼
(3)|a·b|＝|a|·|b|．
(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．
(6)|a1＋a2＋……＋an|≤|a1|＋|a2|＋……＋|an|．
二、不等式的證明
1．不等式證明的依據
(2)不等式的性質(略)
(3)重要不等式：①|a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈r)
②a2＋b2≥2ab(a、b∈r，當且僅當a=b時取「=」號)
2．不等式的證明方法
(1)比較法：要證明a＞b(a＜b)，只要證明a－b＞0(a－b＜0)，這種證明不等式的方法叫做比較法．
用比較法證明不等式的步驟是：作差——變形——判斷符號．
(2)綜合法：從已知條件出發，依據不等式的性質和已證明過的不等式，推導出所要證明的不等式成立，這種證明不等式的方法叫做綜合法．
(3)分析法：從欲證的不等式出發，逐步分析使這不等式成立的充分條件，直到所需條件已判斷為正確時，從而斷定原不等式成立，這種證明不等式的方法叫做分析法．
證明不等式除以上三種基本方法外，還有反證法、數學歸納法等．
三、解不等式
1．解不等式問題的分類
(1)解一元一次不等式．
(2)解一元二次不等式．
(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式．
①解一元高次不等式；
②解分式不等式；
③解無理不等式；
④解指數不等式；
⑤解對數不等式；
⑥解帶絕對值的不等式；
⑦解不等式組．
2．解不等式時應特別注意下列幾點：
(1)正確應用不等式的基本性質．
(2)正確應用冪函式、指數函式和對數函式的增、減性．
(3)注意代數式中未知數的取值範圍．
3．不等式的同解性
(5)|f(x)|＜g(x)與－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)
(6)|f(x)|＞g(x)①與f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②與g(x)＜0同解．
(9)當a＞1時，af(x)＞ag(x)與f(x)＞g(x)同解，當0＜a＜1時，af(x)＞ag(x)與f(x)＜g(x)同解．
雙基自測
1. 若a＜b＜0，則下列不等式成立的是
a b ab＜1 c d
2.在下列函式中,最小值是2的是( )
ab.c. d.
3.已知三角形abc的頂點座標a(2,4),b(-1,2),c(1,0),點在三角形內部及
邊界上運動,則的最大值和最小值分別是( )
a 3,1b -1,-3c 1,-3 d 3,-1
4.已知正數,滿座,則有( )
a b c d
5.已知正數滿足,則有( )
a 最小值12 b 最大值12 c 最小值144 d 最大值144
6. 某廠有一批長為2.5公尺的條形鋼材,要截成60厘公尺的a型和43厘公尺的b型的兩種
規格的零件毛坯,則下列哪種方案是最佳(所剩材料最少)( )
a a型4個b a型2個,b型3個
c a型乙個,b型4個 d b型5個
7.若, ,則( )
a p9.已知不等式的解集為r,且不等式
的解集為r,則的解集是( )
a.空集 c.{0d.不能確定.
10.若函式是定義在上的增函式,且對一切,滿足
,則不等式的解為( )
a (-8,2) b (2,8) c (0,2d (0,8)
典例精講
例1.函式取最小值時,;
例2.不等式的解集是》6,或,則
的解集是
練習1.若,則的最小值為
2.設若,則點的集合的面積
是例3.已知關於的不等式: (為實數)
(1)若解集為r,求; (2)解關於的不等式. (10分)
練習3.（1）求函式的最大值,並求相應的的值.(12分)
（2）已知正數滿足,求的最大值並求此時和的值.
例4.若,求的最小值,並求此時的的值.(10分)
練習4.已知變數且
(1)試畫出點存在的範圍; (2)求的最大值.(10分)
5.某城市為了改善交通狀況,需進行路網改造,已知原有道路個標段(注:乙個標段
是指一定長度的機動車道),擬增建個標段的新路和個道路交叉口,與滿足
為常數,設新建1個標段道路的平均造價為萬元,新建1個道路交叉
口的平均造價是新建1個標段道路的平均造價的倍(),越大,路網越暢通
,記路網的堵塞率為,它與的關係為
(1) 寫出新建道路交叉口的總造價(萬元)與的函式關係式;
(2) 若要求落網的堵塞率介於5%與10%之間,而且新增道路標段數為原來道路標段數
的25%,求新建的個標段的總造價與新建道路交叉口的總造價之比p的取值範圍;
(3) 當時,在(2)的假設下,要使路網最通暢,且造價比p最高時,問原有道標段
為多少個?(12分)
思考題:
已知,(1) 當時,求的最小值;
(2) 當時,不等式恆成立,求的取值範圍.
答案:一:選擇題 ddcbc bbcbc
二:填空題 11. 12. (-1,) 13. 32 14. 1
三解答題:
15.解.(1)由條件得
若時,不等式解為(不合);
若時,則,解得
(2)若時,則不等式的解集是;
若時, 則不等式的解集是;
若時, 則不等式的解集是;
若時, 則不等式的解集是r;
若時, 則不等式的解集是
16.解(1)
=當且僅當時,取最大值1.
(2)解:都是正數,
當且僅當,又得
時,有最大值.
17.解法1:
=當且僅當時取最小值，又
得時，有最小值18.
解法2 由得,又得
故當且僅當時,有最小值18.
18.解(1),如圖, ,故原題條件可轉化為:
其表示的區域為oabc
(2)設,分析直線ab和bc的斜率
由圖觀察得,當直線過點b(2,2)時,
有最大值10.
19.解(1)依題意得,新建道路交叉口的總造價(單位:萬元)為
(2) 由於得
又由已知
得p的取值範圍
(3),當在(2)的條件下,若路網最通暢,則最小,即最大
,又造價比最高,得
當且僅當時,p最大
滿足(3)的條件的原有道路標段是4個.
思考題:
解(1)當時,
=時,最小值為15;
(2) >1,
得》1,
設,在[1,2]上恆成立,則只需在[1,2]上的最小值大於1.
而函式在上是單調遞減,在上是單調遞增
當時,在遞減,則f(2)最小,滿足條件
則得,當時,當且僅當時,最小為,滿足條件則得,
當時,在是增函式,則f(1)最小,滿足條件
則,無解,
故.8.直角座標系下一平面區域在直線的下方即,又在直線上方即,則的範圍是( )
a (-1,2) b c (2,3) d.(-1,3)
思考題解法2
由解1得對恆成立,即
對恆成立
即為恆成立,或恆成立
則滿足(1)
(2)故.
不等式與不等式組複習教案
基本知識點 不等式和不等式組 用不等號表示不等關係的式子，叫做不等式 如 3 44 3，等都是不等式 用數軸表示不等式的解集 大於向右畫，小於向左畫，有等號 畫實心點，無等號 畫空心圈 不等式性質 1 不等式兩邊都加上 或減去 同乙個數或同乙個整式，不等號的方向不變 學 科 網z x x k 2 不...
不等式高考複習二 不等式的證明
二.教學目的 掌握不等式證明的方法與技巧 三.教學重點 難點 不等式的證明方法 四.知識分析 不等式證明的方法技巧 方法一用比較法證明不等式 比較法是證明不等式的最基本 最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，包括作差法和作商法。作差法的一般步驟為 作差 變形 判斷符號 其中變形...
第九不等式與不等式組複習
七年級數學下冊第九章 不等式與不等式組 複習 第一節一 學習目標 1 掌握不等式及其解 解集 的概念，理解不等式的意義。2 理解不等式的性質並會用不等式基本性質解簡單的不等式。3 會用數軸表示出不等式的解集。二 知識概要 1 不等式 一般地，用不等號 表示不等關係的式子叫做不等式.2 不等式的解 一...