第二章不等式
第三節基本不等式的應用
1. 常用的基本不等式： ； ；
； （當且僅當a=b取等號）
2. 均值不等式定理： 若，，則，即（當且僅當a=b取等號）
3. 平均不等式：
如果a,b都是正數，那麼 （當僅當a=b時取等號）
利用基本不等式可以求函式或代數式的最值問題：
（1）當都為正數，且為定值時，有（定值），當且僅當時，等號成立，此時有最小值；
（2）當都為正數，且為定值時，有（定值），當且僅當時，等號成立，此時有最大值．
例題：1. 已知，且，則的最大值是 ．
解：，當且僅當x=4y=時取等號
2. 已知（ ）
(abcd)
解：由,且，∴，∴ 。
3. 已知，，則的最小值 ．
解：由得，代入得，當且僅當＝3 時取「＝」．
4. 若直線l：＋＝1(a>0，b>0)經過點(1,2)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是________．
解：由直線l：＋＝1(a>0，b>0)可知直線在x軸上的截距為a，直線在y軸上的截距為b.
求直線在x軸和y軸上的截距之和的最小值，即求a＋b的最小值．由直線經過點(1,2)得＋＝1.於是a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×＝3＋＋，因為＋≥2＝2 (當且僅當＝時取等號，即b＝a時取得)，所以a＋b≥3＋2.
5. 若實數a，b滿足＋＝，則ab的最小值為
解: 通解：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2.
優解：由題設易知a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，當且僅當時，取等號，
6. 設a，b>0，a＋b＝5，則＋的最大值為________．
解: (＋)2＝a＋b＋4＋2·≤9＋()2＋()2＝9＋a＋b＋4＝18，所以＋≤3，當且僅當a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝，b＝時等號成立．所以＋的最大值為3.
7. 函式y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的圖象恆過定點a，若點a在直線mx＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，則＋的最小值為
解:由函式y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的解析式知：當x＝－2時，y＝－1，所以a點的座標為(－2，－1)，又因為點a在直線mx＋ny＋2＝0上，所以－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2，所以＋＝＋＝2＋＋＋≥＋2＝，當且僅當m＝n＝時等號成立．所以＋的最小值為，
8. 若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恆成立，則a的取值範圍是
解: ＝，而y＝t＋在(0,2]上單調遞減，故t＋≥2＋＝，＝≤(當且僅當t＝2時等號成立)，＝＋＝22－，因為≥，所以＝＋＝22－≥1(當且僅當t＝2時等號成立)，故a的取值範圍為.
9. 已知點p(x，y)到a(0,4)和b(－2，0)的距離相等，則2x＋4y的最小值為________．
解: 由題意得，點p**段ab的中垂線上，則易得x＋2y＝3，∴2x＋4y≥2＝2＝4，當且僅當x＝2y＝時，即x＝，y＝時等號成立，故2x＋4y的最小值為4.
10. 已知ac、bd為圓o：x2＋y2＝4的兩條互相垂直的弦，且垂足為m(1，)，則四邊形abcd面積的最大值為
解: 如圖，作op⊥ac於p，oq⊥bd於q，則op2＋oq2＝om2＝3，∴ac2＋bd2＝4(4－op2)＋4(4－oq2)＝20.又ac2＋bd2≥2ac·bd，則ac·bd≤10，∴s四邊形abcd＝ac·bd≤×10＝5，當且僅當ac＝bd＝時等號成立，∴四邊形abcd面積的最大值為5.
11. 設x，y∈r，且xy≠0，則的最小值為________．
12. 設x，y為實數，若4x2＋y2＋xy＝1，則2x＋y的最大值是________．
13. 已知：正數a,b,x,y滿足a+b=10，，且x+y的最小值為18，求a，b的值？
解：x+y=(x+y))=a+b+(,
由已知得,a+b=10
解得a=2,b=8或a=8,b=2
14.中最小值為2的的個數____0個______.
15. 如圖，某單位用木料製作如圖所示的框架,框架的下部是邊長分別為(單位:公尺)的矩形,上部是斜邊長為的等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為8平方公尺.
（ⅰ）求的關係式，並求的取值範圍；
（ⅱ）問分別為多少時用料最省?
解：（ⅰ）由題意得：
（ⅱ）設框架用料長度為，
則當且僅當滿足
答：當公尺，公尺時，用料最少
16. 如圖所示，校園內計畫修建乙個矩形花壇並在花壇內裝置兩個相同的噴水器。已知噴水器的噴水區域是半徑為5m的圓。
問如何設計花壇的尺寸和兩個噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？
解：設花壇的長、寬分別為xm，ym，根據要求，矩形花壇應在噴水區域內，頂點應恰好位於噴水區域的邊界。依題意得：，（）
問題轉化為在，的條件下，求的最大值。
，由和及得：
17. 某化工企業2023年底投入100萬元，購入一套汙水處理裝置．該裝置每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由於裝置老化，以後每年的維護費都比上一年增加2萬元．
（1）求該企業使用該裝置年的年平均汙水處理費用（萬元）；
（2）問為使該企業的年平均汙水處理費用最低，該企業幾年後需要重新更換新的汙水
處理裝置？
解：（1）
即（）；
（2）由均值不等式得：
（萬元）
當且僅當，即時取到等號．
答：該企業10年後需要重新更換新裝置．
18. 某公司購買了一批客車投入營運，每輛客車營運的總利潤y(單位10萬元)與營運年數x（）為二次函式關係如圖，則每輛客車營運多少年，其營運的年平均利潤最大_____？
解:第二章不等式
第三節基本不等式的應用
1. 常用的基本不等式： ； ；
； （當且僅當a=b取等號）
2. 均值不等式定理： 若，，則，即（當且僅當a=b取等號）
3. 平均不等式：
如果a,b都是正數，那麼 （當僅當a=b時取等號）
利用基本不等式可以求函式或代數式的最值問題：
（1）當都為正數，且為定值時，有（定值），當且僅當時，等號成立，此時有最小值；
（2）當都為正數，且為定值時，有（定值），當且僅當時，等號成立，此時有最大值．
例題：1. 已知，且，則的最大值是 ．
2. 已知（ ）
(abcd)
3. 已知，，則的最小值 ．
4. 若直線l：＋＝1(a>0，b>0)經過點(1,2)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是________．
5. 若實數a，b滿足＋＝，則ab的最小值為
6. 設a，b>0，a＋b＝5，則＋的最大值為________．
7. 函式y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的圖象恆過定點a，若點a在直線mx＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，則＋的最小值為
8. 若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恆成立，則a的取值範圍是
9. 已知點p(x，y)到a(0,4)和b(－2，0)的距離相等，則2x＋4y的最小值為________．
10. 已知ac、bd為圓o：x2＋y2＝4的兩條互相垂直的弦，且垂足為m(1，)，則四邊形abcd面積的最大值為
11. 設x，y∈r，且xy≠0，則的最小值為________．
12. 設x，y為實數，若4x2＋y2＋xy＝1，則2x＋y的最大值是________．
13. 已知：正數a,b,x,y滿足a+b=10，，且x+y的最小值為18，求a，b的值？
14.中最小值為2的的個數
15.如圖，某單位用木料製作如圖所示的框架,框架的下部是邊長分別為(單位:公尺)的矩形,上部是斜邊長為的等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為8平方公尺.
（ⅰ）求的關係式，並求的取值範圍；
（ⅱ）問分別為多少時用料最省?
16. 如圖所示，校園內計畫修建乙個矩形花壇並在花壇內裝置兩個相同的噴水器。已知噴水器的噴水區域是半徑為5m的圓。
問如何設計花壇的尺寸和兩個噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？
17. 某化工企業2023年底投入100萬元，購入一套汙水處理裝置．該裝置每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由於裝置老化，以後每年的維護費都比上一年增加2萬元．
（1）求該企業使用該裝置年的年平均汙水處理費用（萬元）；
（2）問為使該企業的年平均汙水處理費用最低，該企業幾年後需要重新更換新的汙水
處理裝置？
18. 某公司購買了一批客車投入營運，每輛客車營運的總利潤y(單位10萬元)與營運年數x（）為二次函式關係如圖，則每輛客車營運多少年，其營運的年平均利潤最大_____？
不等式與不等式組複習教案
基本知識點 不等式和不等式組 用不等號表示不等關係的式子，叫做不等式 如 3 44 3，等都是不等式 用數軸表示不等式的解集 大於向右畫，小於向左畫，有等號 畫實心點，無等號 畫空心圈 不等式性質 1 不等式兩邊都加上 或減去 同乙個數或同乙個整式，不等號的方向不變 學 科 網z x x k 2 不...
不等式高考複習二 不等式的證明
二.教學目的 掌握不等式證明的方法與技巧 三.教學重點 難點 不等式的證明方法 四.知識分析 不等式證明的方法技巧 方法一用比較法證明不等式 比較法是證明不等式的最基本 最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，包括作差法和作商法。作差法的一般步驟為 作差 變形 判斷符號 其中變形...
第九不等式與不等式組複習
七年級數學下冊第九章 不等式與不等式組 複習 第一節一 學習目標 1 掌握不等式及其解 解集 的概念，理解不等式的意義。2 理解不等式的性質並會用不等式基本性質解簡單的不等式。3 會用數軸表示出不等式的解集。二 知識概要 1 不等式 一般地，用不等號 表示不等關係的式子叫做不等式.2 不等式的解 一...