最值問題
一、點選高考
最值問題是中學數學的重要內容之一，它分布在各塊知識點，各個知識水平層面。以最值為載體，可以考查中學數學的所有知識點，考查分類討論、數形結合、轉化與化歸等諸多數學思想和方法，還可以考查學生的思維能力、實踐和創新能力。因此，它在高考中占有比較重要的地位。
回顧近幾年高考，從題型分布來看，大多數一道填空或選擇題，一道解答題；從分值來看，約佔總分的10%左右。特別是2023年北京卷，選擇、填空題各一道，解答題有兩道，總分值有36分之多；2023年上海卷，填空題各一道，解答題有兩道，總分值有36分之多；2023年上海卷，填空題一道，解答題也是兩道，總分值有近30分，兩份試卷中均有一道實際應用問題。
由此看來，最值問題雖然是老問題，但一直十分活躍，尤其導數的引入，更是為最值問題的研究注入了新的活力。
可以預見：2023年的高考命題中，有關最值問題，題型、題量、分值將保持穩定，題目的背景會更貼近學生的實際生活，更關注社會熱點問題，難度不會太難。
二、考點回顧:
分析已有考法，最值問題的呈現方式一般有以下幾種：
1、函式的最值；
2、學科內的其它最值，如三角形的面積最值問題、幾何體的體積最值問題、數列的最大項等等；
3、字母的取值範圍；
4、不等式恆成立問題，常常轉化為求函式的最值，例如：
f(x)≥0對x∈r恆成立f(x)的最小值≥0成立，
f(x)≤0對x∈r恆成立f(x)的最大值≤0成立；
5、實際應用問題：
實際應用問題中，最優化問題佔的比例較大，通過建模可化為最值問題。這類題已成為這幾年高考的熱點。可以肯定，這個熱度會繼續保持。
三、知識概要
1、求函式最值的方法：
「數」和「形」，數形結合：
配方法 直接法均值不等式法
單調性 代數方法導數法
判別式法
間接法有界性 函式的影象
平面幾何知識
幾何方法線性規劃
解析幾何斜率
兩點間距離
2、求幾類重要函式的最值方法；
（1）二次函式：配方法和函式影象相結合；
（2）:均值不等式法和單調性加以選擇；
（3）多元函式：數形結合成或轉化為一元函式。
3、實際應用問題中的最值問題一般有下列三種模型：
能直接判斷
線性規劃
建立目標函式
曲函式的最值
四、典型例題分析
例1(2002·全國卷·理·21) 設a為實數，，
（1）討論的奇偶性；
（2）求的最小值。
【考查目的】
本題主要考查函式的概念，函式的概念，函式的奇偶性和分段函式的最值等基礎知識，考查分類討論的思路和邏輯思維能力。
【例題詳解】
(1)解法一：常規思路：利用定義。＋，若
都不成立，故不是奇函式；
若為偶函式，則，即＋此等式對恆成立，只能是.
故時，為偶數；時，既不是奇函式也不是偶函式。
解法二：從特殊考慮：
又，故不可能是奇函式。
若，則，為偶函式；
若，則，知，故在時，既不是奇函式又不是偶函式。
（2）當時，，由二次函式圖象及其性質知：
若，函式在上單調遞減，從而函式在上的最小值為；
若，函式在上的最小值為，且。
當時，函式。
若，函式在上的最小值為，且；
若，函式在上單調遞增，從而函式函式在上的最小值為。
綜上所述，當時，函式的最小值是；當時，函式的最小值為；當時，函式的最小值是。
【特別提示】
1．研究函式奇偶性的關鍵是考察函式的定義域是否關於原點對稱以及與是否具有相等或相反的關係；或從特殊情形去估計，再加以驗證。
2．二次函式的最值解，一般借助於二次函式的影象，考察影象的對稱軸與所給定義域區間的相對位置關係不確定，則需分類討論。
3．本題根據絕對值的定義去絕對值後，變形為分段函式，分段函式的最值，有些同學概念不清，把每段函式的最小值都認為是整個函式的最小值，從而出現了乙個函式有幾個最小值的錯誤結論。
例2、已知函式
（1）當時，求函式的最小值；
（2）若對任意恆成立，試求實數的取值範圍。
【考察目的】
本題考查求函式的最小值的三種通法：利用均值不等式，利用函式單調性，二次函式的配方法，考查不等式恆成立問題以及轉化化歸思想。
【例題詳解】
（1）當時，。
， 。
在區間上為增函式。
在區間上的最小值為。
（2）在區間上恆成立；
在區間上恆成立；
在區間上恆成立；
函式在區間上的最小值為3
即【特別提示】
1．第（1）題中，這類函式，若，則優先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號是否成立，即用均值不等式來求最值時，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可。
2．不等式恆成立問題常轉化為求函式的最值。
例3、設p為圓+=1上的動點，則點p到直線的距離的最小值為＿＿＿＿。
【考查目的】
本題考查直線和圓的基礎知識，解幾中的最值問題及多元函式的最值問題，考查數形結合這一重要數學思想方法。
【例題詳解】
解法一：設點p，則點p到直線的距離為：
又，令，則
＝＝當時，有最小值1。
解法二：圓心o到直線的距離為2，故圓上的點p到直線的距離的最小值為2－1＝1。
【特別提示】
1．本題是解析幾何中的最值問題，可借助於形的直觀性直接求解，如解法二；也可建立目標函式，轉而求函式的最值，如解法一。
2．解法一涉及到求多元函式的最值，一般是通過消元轉化為一元函式。3．函式的最小值，有很多同學誤以為：當cos(取
最小值－1時，函式有最小值，忽視了絕對值。
例4、設曲線在點處的切線與軸，軸所圍成的三角形面積為。
（1）求切線的方程；
（2）求的最大值。
【考查目的】
本題考查導數公式，導數的幾何意義，以及導數的應用等導數的基礎知識，考查綜合應用能力。
【例題詳解】
（1）在點m（t,e）處的切線的斜率為－
切線的方程為
（2）令得
令得令又【特別提示】
1.由導數的幾何意義知，函式在點m處的導數值就是曲線在點m處的切線的全斜率，這是本題的突破口
2.建立目標函式，轉而求目標函式的最值，這是通法。
3.導數法是求函式最值的通法，但不一定是最佳方法，注意選擇。
例1（2004·江蘇卷·19）制訂投資計畫時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現的虧損。
某投資人打算投資甲、乙兩個專案，根據**，甲、乙專案可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計畫投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個專案各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？
【考查目的】
本題主要考查簡單線性規劃的基本知識，以及運用數學知識解決實際問題的能力。
【例題詳解】
設投資人分別用萬元投資甲、乙兩個專案，
由題意知
目標函式
上述不等式組表示的平面區域如圖所示，陰影部分（含邊界）是可行域
作直線的一組直線與可行域相交，其中有一條直線經過可行域上的m點，此時縱截距最大，這裡點m是直線。
解方程組
得 此時(萬元)。
時取得最大值。
答：投資人用4萬元投資甲專案、6萬元投資乙專案，才能在確保可能的虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大。
【特別提示】
1.有關用料最省、成本最低、利潤最大等問題，可考慮建立目標函式，轉化為求函式的最值。
2.本題的條件是一組二元一次不等式組，所求目標函式是二元一次線性函式，所以考慮應用線性規劃的知識來求解最值。
3.應用線性規劃求解最值，關鍵是目標函式相應的直線的傾角的大小，角的大小不一樣，直線經過可行域上的最大值點就不一樣。
例2（2003·北京卷·理·19）有三個新興城鎮，分別位於a、b、c三點，且今計畫俁建乙個中心醫院，為同時方便三鎮居民就醫，準備建在的垂直平分線上的處（建立座標系如圖），
（1）若希望點到三鎮距離的平方和為最小，點應位於何處？
（2）若希望點到三鎮的最遠距離為最小，點p位於何處？
【考查目的】
本題主要考查二次函式、分段函式的最值、不等式等基本知識，考查運用數學知識分析問題和解決問題的能力，考查分數討論、數形結合等數學思想方法。
【例題詳解】
（1）由題設可知，，設點的座標為（），則點至三鎮距離的平方和為
當時，函式取得最小值。
點的座標是（）。
（2）解法一：至三鎮的最遠距離為由記
當即時，
在上是增函式，
而在上是減函式。
由此可知，
當時，函式取得最小值
當即時，
函式在上先減後增，當時，取得最小值，而
可見，當時，函式取得最小值
當時，點p的座標為；
當時，點的座標為（0，0）。其中。
解法二：點至三鎮的最遠距離為由於是
當的圖象如圖（1）所示。
當時，函式取得最小值。
當的圖象如圖（2）所示
當時，函式取得最小值。
當時，點的座標為
當點的座標為（0，0），其中
【特別提示】
1.有關涉及用料最省，成本最低，利潤最大，距離和最大（小）等應用問題，可考慮建立目標函式，轉化為求函式最值問題來解決。
2.解決第（2）問首先要理解「點到三鎮的最遠距離」的含義，才能分兩種情形列式。
3.函式的單調性在求最值中有著重要作用，運用函式的單調性求函式的最值，是函式中常用的技巧之一。
4.第（2）問的解法二，借助圖象比較大小，直觀有效，新穎別緻，望加以體會。
【例3】如圖，四邊形是一塊邊長為4km的正方形地域，地域內有一條河流，其經過的路線是以中點為頂點且開口向右的拋物線（河流寬度忽略不計）.新長城公司準備投資建乙個大型炬形遊樂園（如圖所示）問如何施工才能使遊樂園面積最大？並求出最大面積.
【考查目的】
本題考查解析幾何，函式最值以及導數應用等基本知識，考查建模解模的能力，考查數形結合的數學思想方法。
【例題詳解】
以為原點，ab所在直線為y軸建立直角座標系，依題意可設拋物線方程。
四邊形abcd是邊長為4的正方形，m為ab中點，
點d座標為（4, 2）
由此得4＝2·4
拋物線方程為
設是曲線md上任一點，則
矩形遊樂園面積
s＝對s求導，得
令，得解之得或
當時，，函式為增函式；
當時， ，函式為減函式；
所以當時，s有最大值。
此時，遊樂園最大面積為
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