專題：橢圓中最值問題
有關圓錐曲線的最值問題，在近幾年的高考試卷中頻頻出現，在各種題型中均有考查，其中以解答題為重，在平時的高考複習需有所重視。圓錐曲線最值問題具有綜合性強、涉及知識面廣而且常含有變數的一類難題，也是教學中的乙個難點。要解決這類問題往往利用函式與方程思想、數形結合思想、轉化與化歸等數學思想方法，將它轉化為解不等式或求函式值域，以及利用函式單調性、各種平面幾何中最值的思想來解決。
方法：利用三角函式的有界性求範圍
例2：已知橢圓c：兩個焦點為，如果曲線c上存在一點q，使，求橢圓離心率的最小值。
分析：根據條件可採用多種方法求解，如例1中所提的方法均可。本題如借用三角函式的有界性求解，也會有不錯的效果。
解：根據三角形的正弦定理及合分比定理可得：
故，故橢圓離心率的最小值為。
點評：對於此法求最值問題關鍵是掌握邊角的關係，並利用三角函式的有界性解題，真是柳暗花明又一村。
求點點或者點線的最值問題
方法：建立相關函式並求函式的最值（下面第三類、第四類最值也常用此法）
例3：（05年上海）點a、b分別是橢圓長軸的左、右端點，點f是橢圓的右焦點，點p在橢圓上，且位於軸上方，。（1）求點p的座標；（2）設m是橢圓長軸ab上的一點，m到直線ap的距離等於，求橢圓上的點到點m的距離的最小值。
分析：解決兩點距離的最值問題是給它們建立一種函式關係，因此本題兩點距離可轉化成二次函式的最值問題進行求解。
解：（1）略
（2）直線ap的方程是－+6=0。 設點m(,0),則m到直線ap的距離是。
於是=,又－6≤≤6,解得=2。 設橢圓上的點(,)到點m的距離
,由於－6≤≤6, ∴當=時,d取得最小值
點評：對於此類最值問題關鍵是如何將點點之間的最值問題轉化成我們常見函式——二次函式的最值問題求解。
例7：若橢圓內有一點，為右焦點，橢圓上的點使得的值最小，則點的座標為（ ） abcd．
提示：聯絡到將用第一定義轉化成點到相應準線的距離問題，利用垂線段最短的思想容易得到正確答案。選。思考：將題中的2去掉會怎樣呢？
破解策略之六：利用三角形兩邊之和大於第三邊或三角形兩邊之差小於第三邊
方法：利用橢圓定義合理轉化
例4：定長為的線段ab的兩個端點分別在橢圓上移動，求ab的中點m到橢圓右準線的最短距離。
解：設f為橢圓的右焦點，如圖作於a'，
bb'⊥於b'，mm'⊥於m'，則
當且僅當ab過焦點f時等號成立。故m到橢圓右準線的最短距離為。
點評：是橢圓的通徑長，是橢圓焦點弦長的最小值，是ab過焦點的充要條件。通過定義轉化避免各種煩瑣的運算過程。
變式：如圖，在直線上任意取一點，經過點且以橢圓的焦點作橢圓，問當在何處時，所作橢圓的長軸最短，並求出最短長軸為多少？
分析：要使所作橢圓的長軸最短，當然想到橢圓的定義。基本的解題思路如下：
長軸最短三點一直線尋求對稱對稱變換。在一系列的變化過程中巧妙的運用對稱，使我們找到一種簡明的解題方法。通過此對稱性主要利用
解：橢圓的兩焦點分別為（－3，0）、（3,0），
作關於直線的對稱點，則直線的方程為
由方程組得的座標（－6，3），
由中點座標公式得的座標（－9,6）,所以直線的方程。
解方程組得點座標（－5,4）。由於，
例1、（1）p(-2,),f2為橢圓的右焦點，點m在橢圓上移動，求︱mp︱+︱mf2︱的最大值和最小值。
（2）p(-2,6),f2為橢圓的右焦點，點m在橢圓上移動，求︱mp︱+︱mf2︱的最大值和最小值
演練1、已知點f是橢圓的右焦點，m使這橢圓上的動點，a（2,2）是乙個定點，求|ma|+|mf|的最小值。
演練2、已知定點a（2，1），f（1，0）是橢圓的乙個焦點，p是橢圓上的點，求|pa|+3|pf|的最小值.
解：橢圓右準線設p在上的射影為d，由橢圓第二定義有.過a作於e,交橢圓於p3, p3使得達到最小值為7,此時p3座標為
評析：利用第二定義實現了資料的轉化，本小題一般情形「假如題設與本題類同，所求的便是的最小值（也適合於雙曲線、拋物線）
引數法例3、橢圓上的點m(x,y)到直線l：x+2y=4的距離記為d,求d的最值。
分析：若按例3那樣d=轉化為x或y的函式就太麻煩了，為了統一變數，可以用橢圓的引數方程，即三角換元。
解：d= ∵ ∴令
則d==
當sin=1時,dmin=, 當sin=﹣1時,dmax=
演練1、求橢圓上的點到直線的最大距離和最小距離.
例4、橢圓上的點m(x,y)到直線l：x+2y=4的距離記為d,求d的最值。
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