課時跟蹤檢測(六十) 最值、範圍、證明問題
(分ⅰ、ⅱ卷，共2頁)
第ⅰ卷：夯基保分卷
1. 已知拋物線c：x2＝2py(p＞0)，其焦點f到準線的距離為.
(1)試求拋物線c的方程；
(2)設拋物線c上一點p的橫座標為t(t＞0)，過p的直線交c於另一點q，交x軸於m，過點q作pq的垂線交c於另一點n，若mn是c的切線，求t的最小值．
2．已知橢圓c：＋＝1(a＞b＞0)的乙個焦點是f(1,0)，且離心率為.
(1)求橢圓c的方程；
(2)設經過點f的直線交橢圓c於m，n兩點，線段mn的垂直平分線交y軸於點p(0，y0)，求y0的取值範圍．
3.(2013·南京二模) 如圖，在平面直角座標系xoy中，橢圓c：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓c的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．
(1)求橢圓c的方程；
(2)已知點p(0,1)，q(0,2)，設m，n是橢圓c上關於y軸對稱的不同兩點，直線pm與qn相交於點t.求證：點t在橢圓c上．
第ⅱ卷：提能增分卷
1．(2014·石家莊模擬)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為f1(－1,0)、f2(1,0)，過f1作與x軸不重合的直線l交橢圓於a、b兩點．
(1)若△abf2為正三角形，求橢圓的離心率；
(2)若橢圓的離心率滿足0＜e＜，o為座標原點，求證：|oa|2＋|ob|2＜|ab|2.
2. (2013·西安質檢)如圖，已知中心為座標原點o，焦點在x軸上的橢圓的兩個短軸端點和左右焦點連線所組成的四邊形是面積為2的正方形．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點p(0,2)的直線l與橢圓交於a，b兩點，當△oab面積最大時，求直線l的方程．
答案第ⅰ卷：夯基保分卷
1．解：(1)因為焦點f到準線的距離為，
所以p＝.故拋物線c的方程為x2＝y.
(2)設p(t，t2)，q(x，x2)，n(x0，x)，則直線mn的方程為y－x＝2x0(x－x0)．
令y＝0，得m，
所以kpm＝＝，
knq＝＝x0＋x.
因為nq⊥qp，且兩直線斜率存在，
所以kpm·knq＝－1，
即·(x0＋x)＝－1，
整理，得x0＝.①
又q(x，x2)在直線pm上，
則與共線，得x0＝，②
由①②，得＝(t＞0)，
所以t＝－，
所以t≥或t≤－(捨去)．
所以所求t的最小值為.
2．解：(1)設橢圓c的半焦距為c.依題意，得c＝1.
因為橢圓c的離心率為e＝，
所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.
故橢圓c的方程為＋＝1.
(2)當mn⊥x軸時，顯然y0＝0.
當mn與x軸不垂直時，可設直線mn的方程為y＝k(x－1)(k≠0)．
由消去y並整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
設m(x1，y1)，n(x2，y2)，線段mn的中點為q(x3，y3)，則x1＋x2＝.
所以x3＝＝，
y3＝k(x3－1)＝.
線段mn的垂直平分線的方程為y＋＝－.
在上述方程中，令x＝0，
得y0＝＝.
當k＜0時，＋4k≤－4，當且僅當＝4k，k＝－時等號成立；
當k＞0時，＋4k≥4，當且僅當＝4k，
k＝時等號成立．
所以－≤y0＜0或0＜y0≤.
綜上，y0的取值範圍是.
3．解：(1)由題意知橢圓c的短半軸長為圓心到切線的距離，即b＝＝.
因為離心率e＝＝，
所以＝＝.所以a＝2.
所以橢圓c的方程為＋＝1.
(2)由題意可設m，n的座標分別為(x0，y0)，(－x0，y0)，
則直線pm的方程為y＝x＋1, ①
直線qn的方程為y＝x＋2.②
設t點的座標為(x，y)．
聯立①②解得x0＝，y0＝.
因為＋＝1，
所以2＋2＝1.
整理得＋＝(2y－3)2，所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.
所以點t的座標滿足橢圓c的方程，即點t在橢圓c上．
第ⅱ卷：提能增分卷
1．解：(1)由橢圓的定義知|af1|＋|af2|＝|bf1|＋|bf2|，∵|af2|＝|bf2|，
∴|af1|＝|bf1|，即f1f2 為邊ab上的中線，
∴f1f2⊥ab.
在rt△af1f2中，cos 30°＝，則＝，
∴橢圓的離心率為.
(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，∵0＜e＜，
c＝1，∴a＞.
①當直線ab與x軸垂直時，＋＝1，y2＝，·＝x1x2＋y1y2＝1－＝＝，
∵a2＞，∴·＜0，
∴∠aob恒為鈍角，
∴|oa|2＋|ob|2＜|ab|2.
②當直線ab不與x軸垂直時，設直線ab的方程為：y＝k(x＋1)，代入＋＝1，
整理得，(b2＋a2k2)x2＋2k2a2x＋a2k2－a2b2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2(1＋k2)＋k2(x1＋x2)＋k2＝＝
＝令m(a)＝－a4＋3a2－1，由①可知m(a)＜0，
∴∠aob恒為鈍角，
∴恒有|oa|2＋|ob|2＜|ab|2.
2．解：(1)設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，
由已知得，解得
所以所求橢圓的標準方程為＋y2＝1.
(2)根據題意可知直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y＝kx＋2，a(x1，y1)，b(x2，y2)．由方程組，消去y得關於x的方程(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0.
由直線l與橢圓相交於a，b兩點，則有δ＞0，即64k2－24(1＋2k2)＝16k2－24＞0，
解得k2＞.
由一元二次方程的根與係數的關係，得
故|ab|＝|x1－x2|·
＝·.又因為原點o到直線l的距離d＝＝，
故△aob的面積為s△aob＝|ab|·d＝＝.
令m＝(m＞0)，則2k2＝m2＋3，所以s△aob＝≤＝，當且僅當m＝2時等號成立，此時k＝±，直線l的方程為±x－2y＋4＝0.
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