課時跟蹤檢測（五十三） 最值、範圍、證明問題
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1．如圖所示，橢圓e：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為f1，右焦點為f2，過f1的直線交橢圓於a，b兩點，△abf2的周長為8，且△af1f2面積最大時，△af1f2為正三角形．
(1)求橢圓e的方程；
(2)設動直線l：y＝kx＋m與橢圓e有且只有乙個公共點p，且與直線x＝4相交於點q，證明：點m(1,0)在以pq為直徑的圓上．
解：(1)因為點a，b都在橢圓上，所以根據橢圓的定義有|af1|＋|af2|＝2a且|bf1|＋|bf2|＝2a，
又因為△abf2的周長為8，
所以|ab|＋|bf2|＋|af2|＝|af1|＋|af2|＋|bf1|＋|bf2|＝4a＝8，所以a＝2.
因為橢圓是關於x，y軸，原點對稱的，
所以△af1f2為正三角形，當且僅當a為橢圓的短軸端點，則a＝2cc＝1，b2＝a2－c2＝3，
故橢圓e的方程為＋＝1.
(2)證明：由題意得，動直線l為橢圓的切線，
故不妨設切點p(x0，y0)，
因為直線l的斜率存在且為k，所以y0≠0，
則直線l：y＝k(x－x0)＋y0，
聯立方程組消去y，
得3x2＋4[k(x－x0)＋y0]2－12＝0，
由δ＝0k＝－.
則直線l的方程為＋＝1，
聯立直線l與直線x＝4得到點q，
則·＝(1－x0)(1－4)＋(－y0)＝－3(1－x0)＋3(1－x0)＝0，
所以⊥，即點m在以pq為直徑的圓上．
2．設橢圓m：＋＝1(a＞)的右焦點為f1，直線l：x＝與x軸交於點a，若＝2 (其中o為座標原點)．
(1)求橢圓m的方程；
(2)設p是橢圓m上的任意一點，ef為圓n：x2＋(y－2)2＝1的任意一條直徑(e，f為直徑的兩個端點)，求·的最大值．
解：由題意知，點a，f1，
由1＝2，得＝2，
解得a2＝6.
所以橢圓m的方程為＋＝1.
(2)設圓n：x2＋(y－2)2＝1的圓心為點n，則點n的座標為(0,2)，則·＝(nen＝－1，
從而求·最大值轉化為求的最大值．因為p是橢圓m上的任意一點，設p(x0，y0)，
所以＋＝1，
即x＝6－3y.
因為點n的座標為(0,2)，
所以＝||2＝x＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12.
因為點p(x0，y0)在橢圓m上，
則y0∈[－，]，
所以當y0＝－1時，取得最大值12，
所以·的最大值為11.
3．(2016·無錫期末)已知長軸在x軸上的橢圓的離心率e＝，且過點p(1,1)．
(1)求橢圓的方程；
(2)若點a(x0，y0)為圓x2＋y2＝1上任一點，過點a作圓的切線交橢圓於b，c兩點，求證：co⊥ob(o為座標原點)．
解：(1)由題意可設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)．
由題意得＝，則＝.
又a2＝b2＋c2，
所以a2＝3b2.
因為p(1,1)在橢圓上，
所以＋＝1，
解得a2＝4，b2＝.
所以橢圓的方程為＋＝1.
(2)證明：由題意得切線方程為xx0＋yy0＝1.
①若y0＝0，則切線方程為x＝1或x＝－1，
所以b(1,1)，c(1，－1)或b(－1,1)，c(－1，－1)，
所以co⊥ob；
②當y0≠0時，切線方程為xx0＋yy0＝1，與橢圓方程聯立並化簡得(3x＋y)x2－6x0x＋3－4y＝0.
設b(x1，y1)，c(x2，y2)．
則x1＋x2＝，x1x2＝，
x1x2＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋
＝－·＋
＝＝＝0，
所以co⊥ob.
綜上所述，co⊥ob.
4．(2016·合肥模擬)在平面直角座標系xoy中，已知橢圓c：＋＝1(a＞b≥1)的離心率e＝，且橢圓c上一點n到q(0,3)距離的最大值為4，過點m(3,0)的直線交橢圓c於點a，b.
(1)求橢圓c的方程；
(2)設p為橢圓上一點，且滿足＋＝t (o為座標原點)，當|ab|＜時，求實數t的取值範圍．
解：(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2，
則橢圓方程為＋＝1，即x2＋4y2＝4b2.
設n(x，y)，則
|nq|＝＝＝
＝.當y＝－1時，|nq|有最大值，則＝4，
解得b2＝1，
∴a2＝4，
故橢圓c的方程是＋y2＝1.
(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x，y)，
直線ab的方程為y＝k(x－3)，
由整理得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0.
則x1＋x2＝，
x1x2＝，
δ＝(－24k2)2－16(9k2－1)(1＋4k2)＞0，
解得k2＜.
由題意得＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，
則x＝(x1＋x2)＝，
y＝(y1＋y2)＝[k(x1＋x2)－6k]＝.
由點p在橢圓上，得＋＝4，
化簡得36k2＝t2(1＋4k2)．①
由|ab|＝|x1－x2|＜，
得(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＜3，將x1＋x2，x1x2代入得
(1＋k2)＜3，
化簡得(8k2－1)(16k2＋13)＞0，
則8k2－1＞0，即k2＞，
∴＜k2＜.②
由①得t2＝＝9－，
由②得3＜t2＜4，
∴－2＜t＜－或＜t＜2.
故實數t的取值範圍為(－2，－)∪(，2)．
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如圖所示，設f(－c,0)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點，直線l：x＝－與x軸交於p點，mn為橢圓的長軸，已知|mn|＝8，且|pm|＝2|mf|.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點p的直線m與橢圓相交於不同的兩點a，b.
①證明：∠afm＝∠bfn；
②求△abf面積的最大值．
解：(1)∵|mn|＝8，
∴a＝4，
又∵|pm|＝2|mf|，
∴e＝.
∴c＝2，b2＝a2－c2＝12.
∴橢圓的標準方程為＋＝1.
(2)①證明：當ab的斜率為0時，顯然∠afm＝∠bfn＝0，滿足題意；
當ab的斜率不為0時，
設a(xa，ya)，b(xb，yb)，
ab的方程為x＝my－8，
代入橢圓方程整理得(3m2＋4)y2－48my＋144＝0.
δ＝576(m2－4)＞0，
得m2＞4，
ya＋yb＝，
yayb＝.
則kaf＋kbf＝＋＝＋＝＝，
而2myayb－6(ya＋yb)＝2m·－6·＝0，
∴kaf＋kbf＝0，
∴∠afm＝∠bfn.
綜上可知，∠afm＝∠bfn.
②s△abf＝s△bfp－s△afp＝|pf|·|yb－ya|
＝，即s△abf＝
＝≤＝3，
當且僅當3＝，
即m＝±時(此時適合於δ＞0的條件)取到等號．
∴△abf面積的最大值是3.
課時跟蹤檢測60最值 範圍 證明問題
課時跟蹤檢測 六十 最值 範圍 證明問題 分 卷，共2頁 第 卷 夯基保分卷 1.已知拋物線c x2 2py p 0 其焦點f到準線的距離為.1 試求拋物線c的方程 2 設拋物線c上一點p的橫座標為t t 0 過p的直線交c於另一點q，交x軸於m，過點q作pq的垂線交c於另一點n，若mn是c的切線，...
課時跟蹤檢測 五十三 最值 範圍 證明問題 選用
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