1．(2012·廣州模擬)命題「如果數列的前n項和sn＝2n2－3n，那麼數列一定是等差數列」是否成立( )
a．不成立b．成立
c．不能斷定 d．能斷定
2．要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明( )
a．2ab－1－a2 b2≤0
b．a2＋b2－1－≤0
c.－1－a2b2≤0
d．(a2－1)(b2－1)≥0
3．(2012·深圳模擬)用反證法證明某命題時，對結論：「自然數a，b，c中恰有乙個偶數」正確的反設為( )
a．a，b，c中至少有兩個偶數
b．a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數
c．a，b，c都是奇數
d．a，b，c都是偶數
4．(2013·銀川模擬)設a，b，c是不全相等的正數，給出下列判斷：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＞b，a＜b及a＝b中至少有乙個成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立，
其中正確判斷的個數為( )
a．0 b．1
c．2 d．3
5．(2012·汕頭模擬)分析法又稱執果索因法，若用分析法證明：「設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證a．a－b>0b．a－c>0
c．(a－b)(a－c)>0 d．(a－b)(a－c)<0
6．不相等的三個正數a，b，c成等差數列，並且x是a，b的等比中項，y是b，c的等比中項，則x2，b2，y2三數( )
a．成等比數列而非等差數列
b．成等差數列而非等比數列
c．既成等差數列又成等比數列
d．既非等差數列又非等比數列
7．設a＝＋2，b＝2＋，則a，b的大小關係為________．
8．(2012·清遠質檢)在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠a為鈍角的結論，則三邊a，b，c應滿足________．
9．(2012·肇慶模擬)已知點an(n，an)為函式y＝圖象上的點，bn(n，bn)為函式y＝x圖象上的點，其中n∈n*，設cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關係為________．
10．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，
求證：＋＜＋.
11．求證：a，b，c為正實數的充要條件是a＋b＋c＞0，且ab＋bc＋ca＞0和abc＞0.
12．設f(x)＝ex－1.當a＞ln 2－1且x＞0時，證明：f(x)＞x2－2ax.
1．已知函式y＝f(x)的定義域為d，若對於任意的x1，x2∈d(x1≠x2)，都有f<，則稱y＝f(x)為d上的凹函式．由此可得下列函式中的凹函式為( )
a．y＝log2x b．y＝
c．y＝x2 d．y＝x3
2．(2012·邯鄲模擬)設a，b是兩個實數，給出下列條件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；
⑤ab>1.
其中能推出：「a，b中至少有乙個大於1」的條件是______．(填序號)
3．已知二次函式f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸有兩個不同的交點．若f(c)＝0，且0＜x＜c時，f(x)＞0.
(1)證明：是函式f(x)的乙個零點；
(2)試比較與c的大小．
答案課時跟蹤檢測(四十一)
a級1．選b ∵sn＝2n2－3n，∴sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝sn－sn－1＝4n－5(當n＝1時，a1＝s1＝－1符合上式)．
∴an＋1－an＝4(n≥1)，∴是等差數列．
2．選d 因為a2＋b2－1－a2b2≤0(a2－1)(b2－1)≥0.
3．b 「恰有乙個偶數」的對立面是「沒有偶數或至少有兩個偶數」．
4．選c ①②正確；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同時成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正確的判斷有2個．
5．選c (a＋c)2－ac<3a2
a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0
－2a2＋ac＋c2<0
2a2－ac－c2>0
(a－c)(2a＋c)>0(a－c)(a－b)>0.
6．選b 由已知條件，可得
由②③得代入①，
得＋＝2b，即x2＋y2＝2b2.
故x2，b2，y2成等差數列．
7．解析：a＝＋2，b＝2＋兩式的兩邊分別平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，顯然，＜.∴a＜b.
答案：a＜b
8．解析：由餘弦定理cos a＝＜0，
所以b2＋c2－a2＜0，即a2＞b2＋c2.
答案：a2＞b2＋c2
9．解析：由條件得cn＝an－bn＝－n＝，
∴cn隨n的增大而減小．
∴cn＋1答案：cn＋110．證明：要證＋＜＋，只需證(＋)2＜(＋)2，
即a＋d＋2＜b＋c＋2，
因a＋d＝b＋c，只需證＜，
即ad＜bc，設a＋d＝b＋c＝t，
則ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)·(c＋d－t)＜0，
故ad＜bc成立，從而＋＜＋成立．
11．證明：必要性(直接證法)：
∵a，b，c為正實數，∴a＋b＋c＞0，
ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，
因此必要性成立．
充分性(反證法)：
假設a，b，c是不全為正的實數，
由於abc＞0，
則它們只能是兩負一正，
不妨設a＜0，b＜0，c＞0.
又∵ab＋bc＋ca＞0，∴a(b＋c)＋bc＞0，且bc＜0，
∴a(b＋c)＞0.①
又∵a＜0，∴b＋c＜0.∴a＋b＋c＜0
這與a＋b＋c＞0相矛盾．
故假設不成立，原結論成立，即a，b，c均為正實數．
12．證明：欲證f(x) ＞x2－2ax，
即ex－1 ＞x2－2ax，
也就是ex－x2＋2ax－1＞0.
可令u(x)＝ex－x2＋2ax－1，則u′(x)＝ex－2x＋2a.
令h(x)＝ex－2x＋2a，則h′(x)＝ex－2.
當x∈(－∞，ln 2)時，h′(x)＜0，函式h(x)在(－∞，ln 2]上單調遞減，當x∈(ln 2，＋∞)時，h′(x)＞0，函式h(x)在[ln 2，＋∞)上單調遞增．
所以h(x)的最小值為h(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.
因為a＞ln 2－1，所以h(ln 2) ＞2－2ln 2＋2(ln 2－1)＝0，即h(ln 2)＞0.
所以u′(x)＝h(x)＞0，即u(x)在r上為增函式．
故u(x)在(0，＋∞)上為增函式．
所以u(x)＞u(0)．
而u(0)＝0，所以u(x)＝ex－x2＋2ax－1＞0.
即當a＞ln 2－1且x＞0時，
f(x)＞x2－2ax.
b級1．選c 可以根據圖象直觀觀察；對於c證明如下：
欲證f<，
即證2<.
即證(x1＋x2)2<2x＋2x.
即證(x1－x2)2>0.顯然成立．故原不等式得證．
2．解析：若a＝，b＝，則a＋b>1，
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；
對於③，即a＋b>2，則a，b中至少有乙個大於1，
反證法：假設a≤1且b≤1，
則a＋b≤2與a＋b＞2矛盾，
因此假設不成立，故a，b中至少有乙個大於1.
答案：③
3．解：(1)證明：∵f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點，
∴f(x)＝0有兩個不等實根x1，x2.
∵f(c)＝0，
∴x1＝c是f(x)＝0的根．
又x1x2＝，
∴x2＝，
∴是f(x)＝0的乙個根．
即是函式f(x)的乙個零點．
(2)假設＜c，∵＞0，
∴由0＜x＜c時，f(x)＞0，知f＞0，
這與f＝0矛盾，∴≥c.
又∵≠c，∴＞c.
課時跟蹤檢測 四十一 直接證明和間接證明
1 2013 廣州模擬 命題 如果數列的前n項和sn 2n2 3n，那麼數列一定是等差數列 是否成立 a 不成立b 成立 c 不能斷定 d 能斷定 2 要證 a2 b2 1 a2b2 0，只要證明 a 2ab 1 a2 b2 0 b a2 b2 1 0 c.1 a2b2 0 d a2 1 b2 1 ...
課時跟蹤檢測 四十一直接證明與間接證明
1 分析法又稱執果索因法，若用分析法證明 設a b c，且a b c 0，求證 a 索的因應是 a a b 0b a c 0 c a b a c 0 d a b a c 0 解析 選c ab2 ac 3a2 a c 2 ac 3a2a2 2ac c2 ac 3a2 0 2a2 ac c2 02a2 ...
課時跟蹤檢測 三十九 直接證明和間接證明
1 用反證法證明 若整係數一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有有理數根，那麼a，b，c中至少有乙個是偶數 用反證法證明時，應假設 2 設a，b，c是不全相等的正數，給出下列判斷 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b，a a c，b c，a b不能同時成立，其中正確判斷的個數為 3 ...