第4講直接證明與間接證明
分層訓練a級基礎達標演練
(時間：30分鐘滿分：60分)
一、填空題(每小題5分，共30分)
1．下列各式中對x∈r都成立的序號是________．
①lg(x2＋1)≥lg(2x) ②x2＋1＞2x
③≤1x＋≥2
解析 ①④中x必須大於0，故①④排除，②中應x2＋1≥ 2x，故②不正確．
答案 ③
2．下列命題：
①三角形中至少有乙個內角不小於60°；
②四面體的三組對稜都是異面直線；
③閉區間[a，b]上的單調函式f(x)至多有乙個零點；
④設a，b∈z，若a＋b是奇數，則a，b中至少有乙個為奇數；
其中假命題的序號是________．
解析 a＋b為奇數a，b中有乙個為奇數，另乙個為偶數，故④錯誤．
答案 ④
3．命題「如果數列的前n項和sn＝2n2－3n，那麼數列一定是等差數列」是________命題(填「真」、「假」)．
解析 ∵sn＝2n2－3n，
∴sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，
∴an＝sn－sn－1＝4n－5(n＝1時，a1＝s1＝－1符合上式)．
又∵an＋1－an＝4(n≥1)，∴是等差數列．
答案真4．設a、b、c均為正實數，則三個數a＋、b＋、c＋，則下列關於a，b，c三個數的結論，正確的序號是________．
①都大於2 ②都小於2
③至少有乙個不大於2 ④至少有乙個不小於2
解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋＋＝＋＋≥6，
當且僅當a＝b＝c時，「＝」成立，故三者不能都小於2，即至少有乙個不小於2.
答案 ④
5．已知函式f(x)＝x，a，b是正實數，a＝f，b＝f()，c＝f，則a、b、c的大小關係為________．
解析 ∵≥≥，又f(x)＝x在r上是減函式．
∴f≤f()≤f.
答案 a≤b≤c
6．定義一種運算「*」：對於自然數n滿足以下運算性質：
(ⅰ)1] .
解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得
n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n-1).
又∵1*1=1,∴n*1=n.
答案 n
二、解答題(每小題15分，共30分)
7．已知數列的前n項和為sn，且滿足an＋sn＝2.
(1)求數列的通項公式；
(2)求證數列中不存在三項按原來順序成等差數列．
(1)解當n＝1時，a1＋s1＝2a1＝2，則a1＝1.又an＋sn＝2，所以an＋1＋sn＋1＝2，兩式相減得an＋1＝an，所以是首項為1，公比為的等比數列，所以an＝.
(2)證明反證法：假設存在三項按原來順序成等差數列，記為ap＋1，aq＋1，
ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈n*)，則2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①
又因為p＜q＜r，所以r－q，r－p∈n*.
所以①式左邊是偶數，右邊是奇數，等式不成立，所以假設不成立，原命題得證．
8．(2012·南通模擬)設等差數列的前n項和為sn，且a5＋a13＝34，s3＝9.
(1)求數列的通項公式及前n項和公式；
(2)設數列的通項公式為bn＝，問是否存在正整數t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈n*)成等差數列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請說明理由．
解 (1)設等差數列的公差為d，則由得解得故an＝2n－1，sn＝n2.
(2)假設存在正整數t.由(1)知bn＝，
要使b1，b2，bm成等差數列；
則需2b2＝b1＋bm，
即2×＝＋，整理，得m＝3＋.
當t＝2時，m＝7；當t＝3時，m＝5；當t＝5時，m＝4.
故存在正整數t，使得b1，b2，bm成等差數列．
分層訓練b級創新能力提公升
1．如果a＋b＞a＋b，則a、b應滿足的條件是
解析首先a≥0，b≥0且a與b不同為0.
要使a＋b＞a＋b，只需(a＋b)2＞(a＋b)2，即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b應滿足a≥0，b≥0且a≠b.
答案 a≥0，b≥0且a≠b
2．已知函式f(x)滿足f(p＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，則
解析由f(p＋q)＝f(p)f(q)，令p＝q＝n，得f2(n)＝f(2n)，
原式＝＋＋＋
＝2f(1)＋＋＋
＝8f(1)＝24.
答案 24
3．(2011·遼寧卷)已知函式f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x.
(1)討論f(x)的單調性；
(2)設a>0，證明：當0f；
(3)若函式y＝f(x)的圖象與x軸交於a，b兩點，線段ab中點的橫座標為x0，證明：f′(x0)<0.
(1)解 f(x)的定義域為(0，＋∞)．
f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.
①若a≤0，則f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
②若a>0，則由f′(x)＝0得x＝，且當x∈時，
f′(x)>0；當x>時，f′(x)<0.
∴f(x)在上單調遞增，
在上單調遞減．
(2)證明設函式g(x)＝f－f，
則g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，
g′(x)＝＋－2a＝.
當00，
而g(0)＝0，∴g(x)>0，
故當0f.
(3)證明由(1)可得，當a≤0時，函式y＝f(x)的圖象與x軸至多有乙個交點．
∴a>0，從而f(x)的最大值為f，且f>0.
不妨設a(x1,0)，b(x2,0)，0由(2)得f＝f>
f＝f(x1)＝0.
從而x2>－x1，於是x0＝>.
由(1)知f′(x0)<0.
高中數學直接證明與間接證明
13.3 直接證明與間接證明 一 填空題 1 用反證法證明命題 已知a，b n，若ab可被5整除，則a，b中至少有乙個能被5整除 時，反設是 解析由反證法的定義得，反設即否定結論 答案 a，b都不能被5整除 2.用反證法證明 若整係數一元二次方程c 有有理數根,那麼a b c中至少有乙個偶數時,下列...
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高中數學第十四章導數 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有了解導數概念的某些實際背景 數學探索版權所有理解導數的幾何意義 數學探索版權所有掌握函式，y c c為常數 y xn n n 的導數公式，會求多項式函式的導數 數學探索版權所有理解極大值 極小值 最大值 最小值的概念，並會用導數求多項式...
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