一、問題產生的背景
在初四總複習中，我們在教學中發現有一類求線段和差極值的題目，學生常常找不到解題的突破口，教學難度及學生掌握難度較大。如：（中考數學選）如圖，已知直線y＝x＋1與y軸交於點a，與x軸交於點d，拋物線y＝x 2＋bx＋c與直線交於a、e兩點，與x軸交於b、c兩點，且b點座標為(1，0)．
（1）求該拋物線的解析式；
（3）在拋物線的對稱軸上找一點m，使|am－mc|的值最大，求出點m的座標．
問題的第三問常令許多同學甚至是優等生的同學都瞠目結舌。綜觀近幾年的數學中考題，此類題頻頻出現在選擇、填空、綜合題中。通過平日測試來看，此類題的失分很高，應該引起我們的重視。
二、造成學生對問題困惑的原因
我們一起研究分析後，發現幾何極值問題在教課書雖然沒有專題講解，但卻給出了它的模型。學生對幾何極值模型的陌生，及教師在複習時對教材例習題的拓展延伸程度不夠，是導致學生對這類問題困惑的根本原因。
課本中的例題與習題，都是通過篩選的題目的精華，在解題的思路和方法上具有典型性和代表性，在由知識轉化為能力的過程中具有示範性和啟發性．它們的解題方法和結論本身都具有廣泛遷移的可能．
現實教學過程中，教師對教材例題、習題開發的意識不強，在備課中不能對例題、習題進行深層次的挖掘、拓展、再創造，在授課時也往往出現一筆帶過、草草了事的教學現狀，根本沒有很好的利用例題、習題的所潛在的價值，而教材例題、習題的開發能促使學生的學習方式由「重結論輕過程」向「過程與結果」並重的方向發展，使學生挖掘隱含問題的本質屬性，從而達到「做一題，通一類，會一片」的解題境界．正如數學教育家波利亞指出的：「乙個有責任性的教師窮於應付繁瑣的數學內容和過量的題目，還不如適當選擇某些有意義但有不太複雜的題目去幫助學生發掘題目的各個方面，在指導學生的解題過程中，提高他們的才智和解題能力．
三、問題前後知識的聯絡：
課本題目再現：魯教版七年級教材第一冊第一章第三節第軸對稱的性質15頁試一試：如圖所示，要在公路帝修建乙個蔬菜收購站，由蔬菜基地a，b向收購站運送蔬菜，收購站應建在什麼地方，才能使從a,b到它的距離之各最短？
本題涉及的知識不是乙個簡單的軸對稱變換，其變化過程實際是求一類幾何極值的過程，此題模式是求幾何幾何的典型模式。
本題的解答是：作出點a 的軸對稱點a1，連線a1b 交直線l於點e，則點e為所求的奶站位置。 利用這一題例的結論，可以解決一些同根異形關聯題。
此題的結論廣泛應用於三角形、四邊形及函式中幾何極值的求解。複習時遇到這類題目，可以引起我們很多的聯想，比如：這個模型成立的條件和依據是什麼？
涉及到哪些知識點?應用了怎樣的數學思想和方法？求和的最大值這樣求，那麼差的極值是什麼情況？
求幾何極值都有那幾類問題？初中涉及到求解幾何極值都有那些依據？有那些常見的圖形？
有那些常見的方法？用函式知識能否解答？進而思考在初中數學中極值情況有哪些方法?
幾何有極值問題又會讓我們想起幾何定值問題，那麼定值問題又如何去研究？有無規律？此問題有那些變式？
都可以怎樣變？乙個乙個的數學問題可以引領我們進入乙個讓我們極為興奮的數學王國中去，把所學的知識連成線，連成串，讓我們去感受數學的精彩繽紛的魅力。
四、解決本問題的設想：引領學生建立模型，通過對模型的熟練應用，適當的對原模型進行拓展的延伸，建立更完整的知識體系，達到解決問題的目的。
三、解決問題的策略
（一）引領學生建立數學模型
數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫並"解決"實際問題的一種強有力的數學手段。用模型分析實際事物，鍛鍊我們的創新能力，建立的模型是分析事物的很好的方法，在教學中我們可以選擇適當的建模專題，引導學生通過討論、分析和研究，熟悉並理解數學模型。
1、模型一
a、理論依據：兩點之間，線段最短
b、用途：求兩條線段和的最小值
當p運動到e時，pa＋pb最小
課本原型：如圖所示，要在街道旁修建乙個奶站，向居民區a、b提供牛奶，奶站應建在什麼地方，才能使從a、b 到它的距離之和最短？
本題的解答是：作出點a 的軸對稱點a1，連線a1b 交直線l於點e，則點e為所求的奶站位置。 利用這一題例的結論，可以解決一些同根異形關聯題。
把模型一時行拓展延伸，不難會得到如下新模型：
2、模型二
a、理論依據：三角形兩邊之差小於第三邊
b、用途：求兩條線段差的最大值
當q運動到f時，（qd－qc）最大
二、引領學生應用模型
1、引領解題
例：在對拋物線的稱軸上存在一點p，使得△pbc的周長最小，請求出點p的座標 ..
第一步尋找、構造幾何模型
要求△pbc的周長最小，只要pb+pc最小就好了！
第二步：轉化圖形，進行計算
把pb+pc轉化為pa+pc ！當p運動到h時，pa+pc最小
2、反思解題方法：此類試題往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、座標軸、拋物線等為背景，但都有乙個「軸對稱性」的圖形共同點，解題時只有從變化的背景中提取出「建奶站問題」的數學模型，再通過找定直線的對稱點把同側線段和轉換為異側線段和或差，實現「折」轉「直」即可解決。有時問題是求三角形周長或四邊形周長的最小值，一般此時會含有定長的線段，依然可以轉化為「建奶站問題」。
3、變換模型應用的場景：
【關聯題1】應用於三角形中
（2011湖北黃石市中考題）
如圖4，在等腰⊿abc 中，∠abc=120°，點p 是底邊ac 上乙個動點，m、n 分別是ab、bc 的中點，若pm+pn 的最小值為2，則⊿abc 的周長是（ ）
析解：把等腰⊿abc 沿ac 翻摺可得一菱形，由上面【關聯題1】的解答可知，pm+pn 的最小值就是菱形的邊ab 的長，故ab=2，由ab=bc=2，∠abc=120°易求得 ，因此⊿abc 的周長是( )。
【關聯題2】應用於四邊形中
（2009湖北荊門市中考題） 如圖2，菱形abcd 的兩條對角線分別長6 和8，點p是對角線ac 上的乙個動點，點m、n 分別是邊ab、bc 的中點，則pm+pn 的最小值是
【關聯題3】應用於圓中
（2010樂山市中考題）如圖3，mn 是⊙o的直徑，mn=2，點a 在⊙o 上，∠amn=30°，b 為弧an 的中點，p是直徑mn 上一動點，則pa+pb 的最小值為（ ）
析解：鏈結oa，由∠amn=30°得∠aon=60°，取點b 關於mn 的對稱點b＇，[中國教育文庫鏈結ob＇、ab＇，ab＇交mn 於點p，則ab＇的長為pa+pb 的最小值，且易知∠aob＇=90°，即△aob＇為等腰rt△，故
【關聯題4】應用於函式中
（2010濟寧市中考題）如圖，正比例函式的圖象與反比例函式在第一象限的圖象交於點，過點作軸的垂線，垂足為，已知的面積為1.
（1）求反比例函式的解析式；
（2）如果為反比例函式在第一象限圖象上的點（點與點不重合），且點的橫座標為1，在軸上求一點，使最小.
（威海市2009 年中考題） 如圖5，在直角座標系中，點a，b，c 的座標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過a，b，c 三點的拋物線的對稱軸為直線l，d 為對稱軸上l 一動點，(1)求拋物線的解析式；
(2)求當ad+cd 最小時點d 的座標；
(3) 以點a 為圓心，以ad 為半徑作⊙a，①證明：當ad+cd 最小時，直線bd 與⊙a 相切。
②寫出直線bd 與⊙a 相切時，d 點的另乙個座標。
析解：（1）可設y=a(x+1)(x-3)，再代入點c 座標，即可求得y=-x2+2x+3。
（2）利用點a、b 關於直線l：x=1 對稱，鏈結bc 交l 於d，則此時ad+cd 取得最小值；設l與x軸交點為e，由⊿bed∽⊿boc 可求得de=2，bd=2姨2 =ad，所以d 的座標為(1，2)。
（3）①如圖6,鏈結ad，由點a、b、d、e 的座標易知⊿ade 和⊿bde 均為等腰rt△，故∠ade=∠bde=45°所以∠adb=90°，所以直線bd 與⊙a 相切。
②由對稱性知點d 的另乙個座標是（1，-2）。
【關聯題5】應用於實際問題
（2011濟寧市）去冬今春，濟寧市遭遇了200年不遇的大旱，某鄉鎮為了解決抗旱問題，要在某河道建一座水幫浦站，分別向河的同一側張村a和李村b送水。經實地勘查後，工程人員設計圖紙時，以河道上的大橋o為座標原點，以河道所在的直線為x軸建立直角座標系（如圖）。兩村的座標分別為a（2，3），b（12，7）。
(1)、若從節約經費考慮，水幫浦站建在距離大橋o多遠的
地方可使所用輸水管道最短？
在x軸、y軸上是否分別存在點m、n，使得四邊形mnfe的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由.
八、平行性練習題：
1、（2023年濱州市）如圖，等邊△abc的邊長為6，ad是邊bc上的中線，m是ad上的動點，e是邊ac上的一點，若ae=2，em+cm的最小值為________。
2、如圖，菱形abcd中，∠bad=600，m是ab的中點，p是對角線ac上的乙個動點，若pm+pb的最小值是3，則ab長為________.
3、如圖，⊙o的半徑為2，點a，b，c在⊙o上，oa⊥ob,∠aoc=600，p是ob上一動點，pa+pc的最小值為________。
4．在正方形abcd中，點e是bc上的一定點，且be=10，ec=14，點p是bd上的一動點，則pe+pc的最小值是 ．
6、【威海中考】如圖，已知直線y＝x＋1與y軸交於點a，與x軸交於點d，拋物線y＝x 2＋bx＋c與直線交於a、e兩點，與x軸交於b、c兩點，且b點座標為(1，0)．
（1）求該拋物線的解析式；
（3）在拋物線的對稱軸上找一點m，使|am－mc|的值最大，求出點m的座標．
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中考中的最值問題列印
最值問題 一 學習目標 1.初步學會利用三角形 軸對稱性質等知識，求線段和的最小值 2.經歷問題 的過程，培養畫示意圖的習慣 3.感受圖形變換 轉化數形結合等思想方法，體驗數學思考的嚴謹性.三 學習方法 問題引導式 四 學習過程 一 變式訓練 1.已知ab與直線相交於點c，點p為直線上一動點，1 如...