幾何中的最值問題（中考專題講義）
1. 如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內離杯底4cm的點c處有一滴蜂蜜，此時乙隻螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點a處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為______cm．
第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖
2. 如圖,點p是∠aob內一定點，點m、n分別在邊oa、ob上運動，若∠aob=45°，op=3，則△pmn周長的最小值為
3. 如圖，正方形abcd的邊長是4，∠dac的平分線交dc於點e，若點p，q分別是ad和ae上的動點，則dq+pq的最小值為 .
4. 如圖，在菱形abcd中，ab=2，∠a=120°，點p、q、k分別為線段bc、cd、bd上的任意一點，則pk+qk的最小值為 .
5. 如圖，當四邊形pabn的周長最小時，a
第5題圖第6題圖第7題圖
6. 在平面直角座標系中，矩形oacb的頂點o在座標原點，頂點a、b分別在x軸、y軸的正半軸上，oa=3，ob=4，d為邊ob的中點. 若e、f為邊oa上的兩個動點，且ef=2，當四邊形cdef的周長最小時，則點f的座標為 .
7. 如圖，兩點a、b在直線mn外的同側，a到mn的距離ac=8，b到mn的距離bd=5，cd=4，p在直線mn上運動，則的最大值等於
8. 點a、b均在由面積為1的相同小矩形組成的網格的格點上，建立平面直角座標系如圖所示．若p是x軸上使得的值最大的點，q是y軸上使得qa+qb的值最小的點，則＝ ．
第8題圖第9題圖第10題圖第11題圖
9. 如圖，在△abc中，ab=6，ac=8，bc=10，p為邊bc上一動點，pe⊥ab於e，pf⊥ac於f，m為ef中點，則am的最小值為
10. 如圖，已知ab=10，p是線段ab上任意一點，在ab的同側分別以ap和pb為邊作等邊△apc和等邊△bpd，則cd長度的最小值為
11. 如圖，點p在第一象限，△abp是邊長為2的等邊三角形，當點a在x軸的正半軸上運動時，點b隨之在y軸的正半軸上運動，運動過程中，點p到原點的最大距離是________.若將△abp中邊pa的長度改為，另兩邊長度不變，則點p到原點的最大距離變為
12. 動手操作：在矩形紙片abcd中，ab=3,ad=5．如圖所示，摺疊紙片，使點a落在bc邊上的a′處，摺痕為pq，當點a′在bc邊上移動時，摺痕的端點p、q也隨之移動．若限定點p、q分別在ab、ad邊上移動，則點a′在bc邊上可移動的最大距離為
13. 如圖，直角梯形紙片abcd，ad⊥ab，ab=8，ad=cd=4，點e、f分別**段ab、ad上，將△aef沿ef翻摺，點a的落點記為p．
（1）當p落**段cd上時，pd的取值範圍為
（2）當p落在直角梯形abcd內部時，pd的最小值等於 .
第12題圖第13題圖
14. 如右圖在△abc中，∠bac=120°，ab=ac=4，m、n兩點分別是邊
ab、ac上的動點，將△amn沿mn翻摺，a點的對應
點為a′，連線ba′，則ba′的最小值是
幾何中的最值問題（作業）
1． 如圖，在梯形abcd中，ab∥cd，∠bad=90°，ab=6，對角線ac平分∠bad，點e在ab上，且ae=2（ae＜ad），點p是ac上的動點，則pe＋pb的最小值是
第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖
2． 在邊長為2cm的正方形abcd中，點q為bc邊的中點，點p為對角線ac上一動點，連線pb、pq，則△pbq周長的最小值為cm（結果不取近似值）.
3． 如圖，一副三角板拼在一起，o為ad的中點，ab=a．將△abo沿bo對折於△a′bo，點m為bc上一動點，則a′m的最小值為
4． 如圖，在銳角△abc中，，∠bac=45°，∠bac的平分線交bc於點d，點m，n分別是ad和ab上的動點，則bm+mn的最小值為
5． 如圖在rt△acb中，∠acb=90°，ac=6，bc=8，p、q兩點分別是邊ac、bc上的動點，將△pcq沿pq翻摺，c點的對應點為，連線a，則a的最小值是
6． 如圖，在△abc中，∠acb=90°，ac=4，bc=2，
點a、c分別在x軸、y軸上，當點a在x軸上
運動時，點c隨之在y軸上運動，在運動過程中，
點b到原點的最大距離是第5題圖第6題圖
7． 一次函式y1=kx-2與反比例函式y2=（m<0）的圖象交於a，b兩點，其中點a的座標為（-6，2）
（1）求m，k的值；
（2）點p為y軸上的乙個動點，當點p在什麼位置時|pa-pb|
的值最大？並求出最大值.
8． 已知點a（3，4），點b為直線x=-1上的動點，設b（-1，y）．
（1）如圖1，若點c（x，0）且-1＜x＜3，bc⊥ac，求y與x之間的函式關係式；
（2）如圖2，當點b的座標為（-1，1）時，在x軸上另取兩點e，f，且ef=1．線段ef在x軸上平移，線段ef平移至何處時，四邊形abef的周長最小？求出此時點e的座標．
圖1圖2
9． 如圖，已知平面直角座標系中a，b兩點的座標分別為a（2，-3），b（4，-1）.
（1）若p（p，0）是x軸上的乙個動點，則當p=________時，△pab的周長最短；
（2）若c（a，0），d（a+3，0）是x軸上的兩個動點，則當a=________時，四邊形abdc的周長最短；
（3）設m，n分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這樣的點m（m，0），n（0，n），使四邊形abmn的周長最短？若存在，請寫出m和n的值；若不存在，請說明理由.
10、如圖3－92是半圓與矩形結合而成的窗戶，如果窗戶的周長為8公尺(m)，怎樣才能得出最大面積，使得窗戶透光最好？
11、a如圖，∠mon=90°，矩形abcd的頂點a、b分別在邊om，on上，當b在邊on上運動時，a隨之在邊om上運動，矩形abcd的形狀保持不變，其中ab=2，bc=1，運動過程中，點d到點o的最大距離為【 】
a． b． c． 5 d．
12、在銳角三角形abc中，bc=，∠abc=45°，bd平分∠abc，m、n分別是bd、bc上的動點，則cm+mn的最小值是
13、如圖，圓柱底面半徑為，高為，點a、b分別是圓柱兩底面圓周上的點，且a、b在同一母線上，用一棉線從a順著圓柱側面繞3圈到b，求棉線最短為
14、在△abc中，ab＝5，ac＝3，ad是bc邊上的中線，則ad的取值範圍是
15、（2011廣西貴港2分）如圖所示，在邊長為2的正三角形abc中，e、f、g分別為ab、ac、bc的中點，點p為線段ef上乙個動點，連線bp、gp，則△bpg的周長的最小值是
16、在銳角△abc中，ab=4，bc=5，∠acb=45°，將△abc繞點b按逆時針方向旋轉，得到△a1bc1．
（1）如圖1，當點c1**段ca的延長線上時，求∠cc1a1的度數；
（2）如圖2，連線aa1，cc1．若△aba1的面積為4，求△cbc1的面積；
（3）如圖3，點e為線段ab中點，點p是線段ac上的動點，在△abc繞點b按逆時針方向旋轉過程中，點p的對應點是點p1，求線段ep1長度的最大值與最小值．
一、知識點睛
幾何中最值問題包括：「面積最值」及「線段（和、差）最值」.
求面積的最值，需要將面積表達成函式，借助函式性質結合取值範圍求解；
求線段及線段和、差的最值，需要借助「垂線段最短」、「兩點之間線段最短」及「三角形三邊關係」等相關定理轉化處理.
（一）一般幾何處理方法：
常用定理：
1、兩點之間，線段最短（已知兩個定點時）2、垂線段最短（已知乙個定點、一條定直線時）
3、三角形三邊關係（已知兩邊長固定或其和、差固定時）
（二）運用代數證法：
① 運用配方法求二次三項式的最值；② 運用一元二次方程根的判別式。
【精講精練參***】
1. 15 2．6 3． 4． 5． 6．（，0） 7．5 8．3 9． 10．5 1112．2
13．(1)；(2)
14.【作業參***】
1． 2． 3． 4．4 5．26．
7．（1）；（2）當點p的座標為（0，-10）時，|pa-pb|的最大值為；
8．（1）；（2）．
9.（1）；（2）；（3）
10、分析與解設x表示半圓半徑，y表示矩形邊長ad，則必有2x+2y+πx=8，
若窗戶的最大面積為s，則
幾何最值問題
中考專題 幾何最值問題 模型一 加和求最小值 如圖,直線ab的同側有兩點c d，在ab上求作一點，使pc pd最小。中考實戰演練1 如圖1，已知平面直角座標系中兩點a 4，2 b 2，1 在x軸上求一點p,使pa pb最小。如圖2，正方形abcd邊長為8，de 2，p為對角線ac上任一點，求pd p...
平面幾何中的最值
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