探索型問題這類問題往往涉及面很廣，主要是探索題設結論是否存在，或是否成立，或是讓學生自己先猜想結論，再進行研究從而得出正確的結論等等，這些題通常有一定的難度，幾乎在全國各地的中考數學試卷中都能見到。
1、（2006浙江舟山）如圖1，在直角座標系中，點a的座標為（1，0），以oa為邊在第四象限內作等邊△aob，點c為x軸的正半軸上一動點（oc>1），鏈結bc，以bc為邊在第四象限內作等邊△cbd，直線da交y軸於點e．
（1）試問△obc與△abd全等嗎？並證明你的結論．
（2）隨著點c位置的變化，點e的位置是否會發生變化，若沒有變化，求出點e的座標；若有變化，請說明理由．
（3）如圖2，以oc為直徑作圓，與直線de分別交於點f、g，設ac=m，af=n，用含n的代數式表示m．
[解析] （1）兩個三角形全等
∵△aob、△cbd都是等邊三角形
∴oba=∠cbd=60°
∴∠oba+∠abc=∠cbd+∠abc
即∠obc=∠abd
∵ob=ab，bc=bd
△obc≌△abd
（2）點e位置不變
∵△obc≌△abd
∴∠bad=∠boc=60°
∠oae=180°-60°-60°=60°
在rt△eoa中，eo=oa·tan60°=
或∠aeo=30°，得ae=2，∴oe=
∴點e的座標為（0，）
（3）∵ac=m，af=n，由相交弦定理知1·m=n·ag，即ag=
又∵oc是直徑，∴oe是圓的切線，oe2=eg·ef
在rt△eoa中，ae==2
（）2=（2-）（2+n）
即2n2+n-2m-mn=0
解得m=.
2、（2006浙江金華）如圖,平面直角座標系中,直線ab與軸,軸分別交於a(3,0),b(0,)兩點, ,點c為線段ab上的一動點,過點c作cd⊥軸於點d.
(1)求直線ab的解析式;
(2)若s梯形obcd＝,求點c的座標;
(3)在第一象限內是否存在點p,使得以p,o,b為頂點的
三角形與△oba相似.若存在,請求出所有符合條件
的點p的座標;若不存在,請說明理由.
[解析] （1）直線ab解析式為：y=x+．
（2）方法一：設點ｃ座標為（x， x+），那麼od＝x，cd＝x+．
∴＝＝．
由題意： ＝，解得（捨去）
∴ ｃ（２，）
方法二：∵ ,＝，∴．
由oa=ob，得∠bao＝30°，ad=cd．
∴ ＝cd×ad＝＝．可得cd＝．
∴ ad=１，od＝２．∴c（２，）．
（３）當∠obp＝rt∠時，如圖
①若△bop∽△oba，則∠bop＝∠bao=30°，bp=ob=3，
∴（3，）．
②若△bpo∽△oba，則∠bpo＝∠bao=30°,op=ob=1．
∴（1，）．
當∠opb＝rt∠時
③ 過點p作op⊥bc於點p(如圖)，此時△pbo∽△oba，∠bop＝∠bao＝30°
過點p作pm⊥oa於點m．
方法一： 在rt△pbo中，bp＝ob＝，op＝bp＝．
∵ 在rt△pｍo中，∠opm＝30°，
∴ om＝op＝；pm＝om＝．∴（，）．
方法二：設ｐ（x ， x+），得om＝x ，pm＝x+
由∠bop＝∠bao,得∠pom＝∠abo．
∵tan∠pom=== ，tan∠aboc==．
∴x+＝x，解得x＝．此時
④若△pob∽△oba(如圖)，則∠obp=∠bao＝30°，∠pom＝30°．
∴ pm＝om＝．
∴ （，）（由對稱性也可得到點的座標）．
當∠opb＝rt∠時，點p在ｘ軸上,不符合要求.
綜合得，符合條件的點有四個，分別是：
（3，），（1
3、（2006湖南常德）如圖，在直角座標系中，以點為圓心，以為半徑的圓與軸相交於點，與軸相交於點．
（1）若拋物線經過兩點，求拋物線的解析式，並判斷點是否在該拋物線上．
（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上求一點，使得的周長最小．
（3）設為（1）中的拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點，使得四邊形是平行四邊形．若存在，求出點的座標；若不存在，說明理由．
[解析] （1），
，又在中，，
的座標為
又兩點在拋物線上，
解得拋物線的解析式為：
當時，點在拋物線上
（2）拋物線的對稱軸方程為
在拋物線的對稱軸上存在點，使的周長最小．
的長為定值要使周長最小只需最小．
鏈結，則與對稱軸的交點即為使周長最小的點．
設直線的解析式為．
由得直線的解析式為
由得故點的座標為
（3）存在，設為拋物線對稱軸上一點，在拋物線上要使四邊形為平行四邊形，則且，點在對稱軸的左側．
於是，過點作直線與拋物線交於點
由得從而，故在拋物線上存在點，使得四邊形為平行四邊形．
4、（2006湖南常德）把兩塊全等的直角三角形和疊放在一起，使三角板的銳角頂點與三角板的斜邊中點重合，其中，，，把三角板固定不動，讓三角板繞點旋轉，設射線與射線相交於點，射線與線段相交於點．
（1）如圖9，當射線經過點，即點與點重合時，易證．此
時， ．
（2）將三角板由圖1所示的位置繞點沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為．其中
，問的值是否改變？說明你的理由．
（3）在（2）的條件下，設，兩塊三角板重疊面積為，求與的函式關係式．
[解析] （1）8
（2）的值不會改變．
理由如下：在與中，
即（3）情形1：當時，，即，此時兩三角板重疊部分為四邊形，過作於，於，
由（2）知：得
於是情形2：當時，時，即，此時兩三角板重疊部分為，
由於，，易證：，
即解得於是綜上所述，當時，
當時，法二：鏈結，並過作於點，在與中， 即
法三：過作於點，在中，
於是在與中
即5、（2006湖北宜昌）如圖，點o是座標原點，點a（n，0）是x軸上一動點(n＜0）以ao為一邊作矩形aobc，點c在第二象限，且ob＝2oa．矩形aobc繞點a逆時針旋轉90o得矩形agde．過點a的直線y＝kx＋m 交y軸於點f，fb＝fa．拋物線y=ax2+bx+c過點e、f、g且和直線af交於點h，過點h作hm⊥x軸，垂足為點m．
(1)求k的值；
(2)點a位置改變時，△amh的面積和矩形aobc 的面積的比值是否改變？說明你的理由．
[解析] （1）根據題意得到：e（3n，0）， g（n，－n）
當x＝0時，y＝kx＋m＝m，∴點f座標為（0，m）
∵rt△aof中，af2＝m2＋n2，
∵fb＝af，
∴m2＋n2＝(-2n－m)2，
化簡得：m＝－0.75n，
對於y＝kx＋m，當x＝n時，y＝0，
∴0＝kn－0.75n，
∴k＝0.75
（2）∵拋物線y=ax2+bx+c過點e、f、g，
∴解得：a＝，b＝－，c＝－0.75n
∴拋物線為y=x2－x－0.75n
解方程組：
得：x1＝5n，y1＝3n；x2＝0，y2＝－0.75n
∴h座標是：（5n，3n），hm＝－3n，am＝n－5n＝－4n，
∴△amh的面積＝0.5×hm×am＝6n2；
而矩形aobc 的面積＝2n2，∴△amh的面積∶矩形aobc 的面積＝3:1，不隨著點a的位置的改變而改變．
6、（2006山東日照）如圖（1），在以ab為直徑的半圓o內有一點p，ap、bp的延長線分別交半圓o於點c、d．求證：ap·ac+bp·bd=ab2．
證明：鏈結ad、bc，過p作pm⊥ab，則∠adb=∠amp=90ｏ，
∴點d、m在以ap為直徑的圓上；同理：m、c在以bp為直徑的圓上．
由割線定理得： ap·ac=am·ab，bp·bd=bm·ba，
所以，ap·ac+bp·bd=am·ab+bm·ab=ab·（am+bm）=ab2．
當點p在半圓周上時，也有ap·ac+bp·bd=ap2+bp2=ab2成立，那麼：
（1）如圖（2）當點p在半圓周外時，結論ap·ac+bp·bd=ab2是否成立？為什麼？
（2）如圖（3）當點p在切線be外側時，你能得到什麼結論？將你得到的結論寫出來．
[解析] （1）成立．
證明：如圖（2），∵∠pcm=∠pdm=900，
∴點c、d在以pm為直徑的圓上，
∴ac·ap=am·md，bd·bp=bm·bc，
∴ac·ap+bd·bp=am·md+bm·bc，
由已知，am·md+bm·bc=ab2，
ap·ac+bp·bd=ab2．
（2）如圖（3），過p作pm⊥ab，交ab的延長線於m，鏈結ad、bc，
則c、m在以pb為直徑的圓上，∴ap·ac=ab·am，①
d、m在以pa為直徑的圓上，∴bp·bd=ab·bm，②
由圖象可知：ab=am-bm，③
由①②③可得：ap·ac-bp·bd=ab·（am-bm）=ab2．
7、（2006江西南昌）問題背景；課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：
①如圖1，在正三角形abc中，m，n分別是ac、ab上的點，bm與cn相交於點o，若∠bon=60°．則bm=cn：
②如圖2，在正方形abcd中，m、n分別是cd、ad上的點．bm
與cn相交於點o，若∠bon=90°．則bm=cn.
然後運用類似的思想提出了如下命題：
③如圖3，在正五邊形abcde中，m、n分別是cd，de上的點，bm與cn相交於點o，若∠bon=108°，則bm=cn.
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