廣東省惠州市第一中學張云義 516001
摘要：本文從乙個小問題的分析，對動能定理的常用表述提出了疑問，並從動能定理的推導過程進行分析，提出了對動能定理表述的修正意見。
（一） 問題的引出
動能定理通常的表述是：合外力對物體所作的功等於物體動能的增量（普通物理學，第一冊，程守洙、江之永編，2023年修訂本，高等教育出版社）。在中學物理課本中也都普遍地採用了這一表述。
我認為這種表述值得討論。先從一道小問題說起。
質量m的小車靜止於光滑水平地面，一質量m的物塊以水平初速v0滑上小車。小車與物塊間的摩擦係數為μ。若物塊不會從小車上滑下，則至小車與物塊達到共同速度時，小車滑行的距離。
這是非常普遍的兩物體相互作用一種情境。有關這一問題的其他量的計算就不提了，來看看關於小車滑行距離的計算。
解：由動量守恆可以計算小車與物塊的共同速度v.
m v0=(m+m)v, 得v= m v0/(m+m1)
以小車為研究物件，設s為小車前進的距離
由動能定理：fs=mv2/22)
f=μn=μmg
得s= mv2/2μmg=mm v02/2μg (m+m)2 (3)
結論是正確的，第（2）式的關係也是正確的，這一關係式我們可以通過牛頓第二定律推得。但是否符合上述的動能定理的表述呢？（2）式左側的表示式是不是合外力的功呢？
看看功是如何定義的。
力對物體做的功等於力在作用點位移方向的分量和作用點位移大小的乘積。（也可以表達為：力與力的作用點的位移向量的標積。）
如果力是變力，定義元功：da=fds=fcosθds 則功a：
功的定義中，位移指的是力的作用點的位移，而不是受力物體的位移。
上一問題的（2）式的左側，s指的是物體的位移，而不是力的作用點的位移（因為摩擦力的作用點隨著小物塊m相對滑動而在移動）。故（2）式左側的表示式並不是合外力的功。
即：（2）式所表示的並不是合外力的功等於物體動能的改變。換一種說法：在這裡，合外力的功並不等於物體動能的增量。
（二） 對矛盾的初步分析
通過對（2）式的分析，可以發現其等式關係是成立的。由牛頓第二定律：
f=ma4)
及運動學公式v2—0=2as (5)
可以唯一的得到（2）式的關係。
fs=mv2/2是牛頓第二定律的必然結論。但它又與動能定理的表述不相符。如果不是牛頓第二定律不正確，那就是動能定理表達的不對。顯然我們要研究動能定理的表達是不是有了問題。
以（2）式為例，為了使動能定理不與牛頓定律的結論相背，我們只有兩種選擇：
1． 認為功的定義不恰當，應改為：力在物體位移方向上的分量與物體位移的乘積。（即：力與受力物體位移的標量積。）
2． 不改變功的定義，修正動能定理的表述，動能定理左側所指的並不是合外力的功。
第1種選擇正確嗎？
看這一情境：
一小球鏈結一彈簧，在外力的作用下壓縮彈簧頂在牆壁上。外力突然撤去，彈簧將伸長，小球動能增加。
在彈簧伸展的過程中，如果以彈簧和小球作為乙個整體，其所受合外力是牆壁對它的壓力，若認為功是力與物體位移的乘積，則在此，牆壁對系統做了功，其大小等於受力物件動能的增量。
顯然，這是不對的。功是能量變化的量度和能量改變的途徑。在這裡，如果牆壁對系統做了功，則系統的能量必然會增加，牆壁的能量必然會減小。
然而，事實上，系統的能量並沒有增加，只有彈性勢能與動能相互轉化。
可見必然是動能定理的表述需要修正。
（三）動能定理的推導和動能定理的含義
我們還是看一下動能定理的推導過程，尋找為什麼在上一問題會出現矛盾。
物體在外力的作用下運動，令物體的速度向量為v,速度大小為v,
方程兩側各乘以m/2
則上式變為
6)由牛頓第二定律：
7)由（6）（7）式
8）由（8）得 dek=fds=fds cosθ (θ為f與ds的夾角)
積分得2
9） 1
這就是動能定理，是牛頓第二定律的直接推論。
從上述推導的過程我們可以發現，位移s所指的是物體的位移。
關鍵原因在於：牛頓第二定律是質點的運動規律。加速度a指的是受力物件質心的加速度，因而在上面推導的過程中的速度v,位移s指的都是受力物件質心的速度和位移。
（9）式右側表示式的含義為：力與位移向量的標積（即力沿物體質心位移方向的分量與位移的乘積）沿運動路徑的線積分。
如果研究的物件可以看作質點的話，那麼質點的位移也就是其所受合外力的位移。動定理（9）式中右側的表示式就是合外力的功。動能定理可以表述成：合外力對物體所作的功等於物體動能的增量。
但是如果研究物件是乙個不能看作為質點的系統，系統所受外力作用點的位移不一定等於系統質心的位移，那麼，動能定理（9）式中右側的表示式就不是外力對系統所做的功了。「合外力對物體所作的功等於物體動能的增量」不成立。
因此動能定理準確的表述應該為：
力與位移向量的標積沿運動路徑的線積分等於物體質心動能的增量。
在中學階段通常遇到的情境是：外力恆定，運動軌跡為直線，此時動能定理可以簡化為：在質心位移方向上的合外力與質心位移的乘積等於物體質心動能的增量。
合外力的功不一定等於物體動能的增量，其根本原因在於，外力的功不一定僅轉化為物體的動能；物體動能的增加不一定是外力做功的結果，可以是內力做功（這種情形較常見，如走路、彈跳等）。物體的動能也不一定就是其質心的動能。
2．《新概念物理教程-力學》趙凱華、羅蔚茵，高等教育出版社，2023年7月，北京。
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